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专题17.6 勾股定理（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·宁夏·统考中考真题）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把
和 角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，
这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于 ， 两点，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023·山东日照·统考中考真题）已知直角三角形的三边 满足 ，分别以 为边作
三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 ，均
重叠部分的面积为 ，则（ ）
A． B． C． D． 大小无法确定
3．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在 中， ，以点 为圆心，
适当长为半径作弧，分别交 于点 ，分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧在 的内部相交于点 ，作射线 ，交 于点 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在 中， ，以点A为圆
心，适当长为半径画弧，分别交 于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧在 的内部相交于点P，画射线 与 交于点D， ，垂足为E．则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形
不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为 ，满足已知条件的三角形有两个
（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在 ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则 ABC的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
7．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图， 中， ，AD平分 与BC相交于点D，点
E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若 的面积是24， ，则PE的长
是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
8．（2021·西藏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC
上一动点，点M在线段AB上，当AM＝ AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2 ＋2 D．3 ＋3
9．（2021·陕西·统考中考真题）如图， 、 、 、 是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、
C、E共线．若 ， ，则线段 的长度为（ ）A．6 cm B．7 cm C ． D．8cm
10．（2021下·全国·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，
沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF= ，则BC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知 是 的角平分线， ， 分别是
和 的高， ， ，则点E到直线 的距离为 ．
12．（2023·江苏南通·统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上
第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中 ， 均小于 ，
， ， 是大于1的奇数，则 （用含 的式子表示）．
13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在 中，以A为圆心， 长为半径作弧，交 于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点P，作直线 ，交 于点
E，若 ， ，则 ．
14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中， ，点 在边 上．
将 沿 折叠，使点 落在点 处，连接 ，则 的最小值为 ．
15．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图， 中， ，以点B为圆心，适
当长为半径画弧，分别交 于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧交于点E，作射线 交 于点D，则线段 的长为 ．
16．（2023·山东东营·统考中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北
偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
17．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为 ，在杯内
壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相对
的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）18．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在 中， ，点D为 的中点，过点C作
交 的延长线于点E，若 ， ，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
点 均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段 关于直线 对称的线段 ；
（2）将线段 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段 ，画出线段 ；
（3）描出线段 上的点 及直线 上的点 ，使得直线 垂直平分 ．20．（8分）（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在 中， ，点 在 边
上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 的长；
（3）点 在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如
果不存在，请说明理由．
21．（10分）（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形 中，点E是边 上一点，且
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 时，求 的面积．22．（10分）（2023·山东临沂·统考中考真题）如图， ．
（1）写出 与 的数量关系
（2）延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ．求证： ．
（3）在（2）的条件下，作 的平分线，交 于点 ，求证： ．
23．（10分）（2023·四川达州·统考中考真题）如图，在 中， ．
（1）尺规作图：作 的角平分线交 于点 （不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求 的面积．24．（12分）（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公
因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值
及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由
四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是
a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将 因式分
解，再求值．参考答案：
1．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ，由含30度角直角三角形的性质可得
，由勾股定理可得 的长，即可得到结论．
解：如图，在 中， ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含 角直角三角形的性质，熟练掌握勾股
定理是解题的关键．
2．C
【分析】根据题意，由勾股定理可得 ，易得 ，然后用 分别表示 和 ，即
可获得答案．
解：如下图，
∵ 为直角三角形的三边，且 。
∴ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出 和 是解题关键．
3．D
【分析】过点D作 于M，由勾股定理可求得 ，由题意可证明 ，则
可得 ，从而有 ，在 中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
解：过点D作 于M，如图，
由勾股定理可求得 ，
由题中作图知， 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
即 的长为为 ；
故选：D．
【点拨】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
4．C
【分析】由作图方法可知， 是 的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利
用勾股定理求出 ，利用等面积法求出 ，由此求出 即可判断C、D．
解：由作图方法可知， 是 的角平分线，
∴ ，故A结论正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故B结论正确，不符合题意；
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C结论错误，符合题意；
∴ ，故D结论正确，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知
识是解题的关键．
5．C
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△ABC是一个钝角三角形时，根据含30°的
1
直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
解：如图，当△ABC是一个直角三角形时，即 ，
，；
如图，当△ABC是一个钝角三角形时，
1
过点C作CD⊥AB，
1
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为 或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握
知识点是解题的关键．
6．D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明 ADC是等腰直
△
角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝ AC＝2 ，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝ AC＝2 ，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积 ．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性
质是解本题的关键．
7．A
【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，
BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S EGD=3，然后证 EGP≌ FDP（AAS），得
△
GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定△理即可△求出PE长．
解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分 与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S ABD= =12，
△∵E是AB的中点，
∴S AED= =6，
△
∵G是AD的中点，
∴S EGD= =3，
△
∵E是AB的中点，G是AD的中点，
∴EG BC，EG= BD= CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中点，
∴DF= CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S EGD= =3，即 ，
△
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE= =2.5，
故选：A．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三
角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
8．B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点
B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3 ，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2 ，
所以PB＋PM的最小值为2 ．
解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得： ，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝ AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中， ，
∴PB＋PM的最小值为2 ，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋
PM的最小值为B'M的长．
9．D
【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明 ，即可证明 ，
进一步计算即可得出答案．解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，
∵， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中；
，
∴ ，
∴BF=CG，
∵ ，
∴ 均为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确
画出辅助线是解决本题的关键．
10．B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由
折叠的性质可知 ,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知 ,所以
,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°
是解题的关键．
11． /
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到 的距离等于点D到 的
距离 的长度，然后根据勾股定理求出 ，最后根据等面积法求解即可．
解：∵ 是 的角平分线， ， 分别是 和 的高， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
设点E到直线 的距离为x，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12．
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到 ， 为直角边， 为斜边，根据勾股定理即可
得到 的值．
解：由于现有勾股数a，b，c，其中 ， 均小于 ，
， 为直角边， 为斜边，
，
，
得到 ，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，分清楚 ， 为直角边， 为斜边是解题的关键．
13．4
【分析】利用圆的性质得出 垂直平分 和 ，运用勾股定理便可解决问题.
解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点P，
∴ 垂直平分 ,即 ，
∴ ，
又∵在 中，以A为圆心， 长为半径作弧，交 于C，D两点，其中 ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.
14．【分析】由折叠性质可知 ，然后根据三角不等关系可进行求解．
解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可知 ，
∵ ，
∴当 、 、B三点在同一条直线时， 取最小值，最小值即为 ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三
角不等关系是解题的关键．
15．
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将 的面积分解成 的面积和 面积和，转
化成以 为未知数的方程求出 ．
解：如图：过点 作 于点 ，
，
由题意得： 平分 ，
，
，
，
，
，，
；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角
三角形的面积转换是解题的关键．
16．50
【分析】根据题意画出图形，易证 是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
解：如图，根据题意，得 ， ， ， ，
∵
∴
∴
∴在 中，
即A，C两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
【点拨】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明 是直角三角形是解题的关键．
17．10
【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可
知 的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
解：如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接
，由题意得： ，
，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计
算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
18． / /1.5
【分析】先根据 证明 ，推出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据中
点的定义即可求 的长．
解： ，
，
点D为 的中点，
，
又 ，
，
，
中， ， ，
，
．故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明 是解
题的关键．
19．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到 关于直线 的对称点， ，连接 ，则线段 即
为所求；
（2）根据平移的性质得到线段 即为所求；
（3）勾股定理求得 ， ，则 证明
得出 ，则 ，则点 即为所求．
（1）解：如图所示，线段 即为所求；
（2）解：如图所示，线段 即为所求；
（3）解：如图所示，点 即为所求如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴
∴ ，
∴ 垂直平分 ．
【点拨】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（1）见分析；（2） ；（3）存在，
【分析】（1）由 即可证明 ；
（2）证明 （ ），勾股定理得到 ，在 中，勾股定理即可求解；
（3）证明 ，即可求解．（1）解：由题意，可知 ， ， ．
．
即 ．
．
（2） 在 中， ，
．
．
，
， ．
．
．
在 中， ．
（3）由（2）可知， ．
当 最小时，有 的值最小，此时 ．
为等腰直角三角形，
．
．
即 的最小值为 ．
【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由 求出 ，然后利用 证明 ，可得 ，
再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作 于F，根据等腰三角形的性质和含 直角三角形的性质求出 和 ，然
后利用勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式计算即可．
解：（1）证明：∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点E作 于F，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含 直角
三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
22．（1） ，；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）勾股定理求得 ，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明 ，得出 ，则 ，即可得证；（3）延长 交于点 ，延长 交 于点 ，根据角平分线以及平行线的性质证明 ，
进而证明 ，即可得证．
（1）解：∵
∴ ，
∵
∴
即 ；
（2）证明：如图所示，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ， ,
∴
∴
∴
∴
（3）证明：如图所示，延长 交于点 ，延长 交 于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判
定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们
长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交 于点P，则 即为所求；
（2）过点P作 ，根据 和题中条件可求出 的面积，再结合角平分线
的性质即可求解．
（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们 长
度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交 于点P，则 即为所求．
（2）解：过点P作 ，如图所示，
由（1）得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题主要考查作图—基本作图，解题关键是掌握角平线的尺规作图及角平分线的性质．24．（1） ；（2） ；（3） ，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到 ，
，整体代入得出答案即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根据题意得 ， ，∴原式 ．
【点拨】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正
确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
