文档内容
专题 17 一次函数与方程、不等式的六种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点..........................................................................................2
类型二、利用图象法解一元一次方程................................................................................................................3
类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解.............................................................................................5
类型四、图象法解二元一次方程组...................................................................................................................7
类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集...........................................................................................10
类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集...............................................................................................12
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................16
解题知识必备
1.一次函数与一元一次方程的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解；
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.
2.一次函数与二元一次方程的关系
1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直
线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
3. 一次函数与不等式的关系
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．压轴题型讲练
类型一、由一元一次方程的解求直线与x轴的交点
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程 的解为 ，则直线
一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程 的解是 ，则直线 一定经过点
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程 的解为 ，则一次函数 的图象与
x轴的交点坐标为 ．
类型二、利用图象法解一元一次方程
例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数 的图象如图所示，则方程 的解为
（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线 经过点 ，则方程 的解为
（ ）A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线 过点 和点 ，则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线 经过点 ，则关于x的方程 的解
是（ ）
A． B． C． D．
类型三、两条直线的交点与二元一次方程组的解
例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数 与 （ 是常数，且 ）的图象的
交点坐标是 ，则方程组 的解是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点
，则关于x、y的方程组 的解是 ．
2．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如果函数 与 的图像的交点坐标是 ，那
么方程组 的解是 ．
3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于 、 的二元一次方程组 的解是 ，则
一次函数 和 的图象的交点坐标为 ．类型四、图象法解二元一次方程组
例题：（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，两个一次函数图象的交点坐标为 ，则关于 ，
的方程组 的解为 .
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，一次函数 与 的图象交于点 ，则关于
x，y的方程组 的解为 ．
2．（2025·山东聊城·一模）如图，直线 与 相交于点P，则关于x，y的方程组
的解为 ．
3．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数 与 的图象交于 ，则关于 ， 的方程
组 的解为 ．类型五、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
例题：（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式
的解集为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，一次函数 的图象与y轴的交点为 ，则不
等式 的解集是 ．
2．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线 与坐标轴的两个交点分别为
，则不等式 的解集为 ．3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则不等式
的解集是 ．
类型六、根据两条直线的交点求不等式的解集
例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，与 轴
分别交于点 ， ．请结合图象，写出当 时 的取值范围 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）一次函数 与 的图象如图所示，其交点为
，则不等式 的解集为 ．
2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，一次函数 与 相交于点，则关于 的不等式 的解集是 ．
3．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）我们曾研究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了
解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式 的解
集是函数 图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在x轴上方（或x轴下
方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
__________．
（2）如图2，观察图象，不等式 的解集是__________．
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①结合图象，直接写出关于x的不等式组 的解集是__________．
②在x轴上是否存在点P，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明
理由．压轴能力测评（15题）
一、单选题
1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若 是方程 的解， 则直线 的图象与x轴交点的
坐标为 （ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若函数 和函数 的图象如图所示，其交点为 ，
则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数 与 的图象如图所示，下列结论错误的是
（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．关于x，y的方程组 的解为
D．
4．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示．则下列结论中：① 随 的增大而增大；② ；③．当 时， ；④关于 ，的方程组 的解为 ，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数 （ 是常数，且 ）与正比例函数
（m是常数，且 ）的图象相交于点 ，下列判断不正确的是（ ）
A．关于 的方程 的解是
B．当 时，
C．关于 的方程组 的解是
D．当 时，函数 的值比函数 的值小
二、填空题
6．（2025·天津·模拟预测）直线 与 轴的交点坐标为 ．
7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数 的图像如图所示，则不等式
的解集为 ．
8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ， 和，则关于x的方程 的解为 ．
9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点
，则方程组 的解为 ．
10．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）如图， 直线 和直线 分别与x轴交于
和 两点，则不等式组 的解集为
三、解答题
11．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点A，与x轴分
别交于点B，C．
(1)求点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出当 时x的取值范围．12．（24-25八年级下·全国·期末）在以下平面直角坐标系中，
(1)画出函数 与 的图象；
(2)根据图象写出方程组 的解；
(3)根据图象写出不等式 的解集．
13．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，直线 与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上
有一点 ，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
(1)求A､B两点的坐标；
(2)求 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
(3)当t为何值时 ，并求此时M点的坐标．
14．（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）观察图象填空：(1)如图1，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是______．
(2)如图2，两条直线的交点坐标为______，方程 的解是______；不等式 的解是
______．
(3)如图3，一次函数 和 的图象相交于点A，分别与 轴相交于点 和点 ．结合图象，
直接写出关于 的不等式组 的解集是______．
15．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线
相交于点 ，与 轴、 轴分别交于 两点．
(1)若点 的坐标分别为 ．直接写出下列各小题答案．
方程 的解是______．
方程组 的解是______．
不等式 的解集是______．
不等式 的解集是______．
(2)若点 的坐标分别为 ，直线 的表达式为 ，求 的面积；
(3)在（ ）的基础上，点 是 轴上的一点，且使得 是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点 的坐标．
