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专题17.7 勾股定理的逆定理（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】勾股数
1.勾股数：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数有：3,4,5；
5,12,13； 8,15,17； 7,24,25； 9,40,41等.
2.判断方法：
（1）确定三个正整数a,b,c；
（2）确定最大数c；
（3）判断较小两数的平方和a2+b2是否等于c2.
【知识点二】勾股定理的逆定理
1.文字表述：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形.
2.符号语言：如果△ABC的三边长分别是a,b,c，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，∠C为
直角.
【知识点三】勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别
1. 联系：①二者都与三角形的三边有关且都包含等式a2+b2=c2；
②二者斗鱼直角三角形有关；③二者是互逆定理.
2. 区别：
勾股定理 勾股定理的逆定理
二者的条件和结论相反
①勾股定理是以“一个直角三角形”为条 ①勾股定理的逆定理是以“一个三角形的
件，进而得到这个直角三角形三边的数量 三边a,b,c满足a2+b2=c2”为条件，进而得
关系，即a2+b2=c2； 到这个三角形是直角三角形；
②勾股定理是直角三角形的性质 ②勾股定理的逆定理是直角三角形的判定
方法
【考点目录】
【考点1】勾股数； 【考点2】用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；
【考点3】用勾股定理的逆定理求解； 【考点4】勾股定理的逆定理的应用；
【考点5】勾股定理的逆定理的拓展.【考点一】勾股数
【例1】（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）满足 的三个正整数，称
为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______．
（2）任取两个正整数m和n（ ），请你证明这三个整数 ， ， 是勾股数．
【答案】（1）①6；②12；③17；（2）见分析
【分析】本题考查勾股数：
（1）根据勾股数的定义求解即可；
（2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可．
（1）解：①∵ ，
∴6，8，10是勾股数；
故答案为：6
②∵ ，
∴5，12，13是勾股数；
故答案为：12
③∵ ，
∴8，15，17是勾股数．
故答案为：17；
（2）证明：∵ ，
，
∴ ，
∴三个整数 ， ， 是勾股数；
【变式1】（2024上·江西萍乡·八年级统考期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一
定是勾股数的为（ ）A． ， ， B． C． ， ， D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的概念，注意：一组数若为勾股数，扩大或缩小相同的倍数后仍然是
勾股数．根据勾股数的概念进行分析，从而得到答案．
解：正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则： ，
A． ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， 不一定是勾股数，故A错误；
B． ， ， ，
∵ ，
∴ 不一定是勾股数，故B错误；
C． ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， 一定是勾股数，故C正确；
D． ， ， ，
∵ ，
∴ 不一定是一组勾股数 ，故D错误．
故选：C．
【变式2】（2023上·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）下面各组a、b、c，是勾股数的
是 ．（填序号）
（1） ， ，
（2） ， ，
（3） ， ，
（4） ， ，
【答案】（1）（2）【分析】此题考查的知识点是勾股数．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三
边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形，据此逐项判定即可．
解：（1） ，能构成勾股数，故符合题意；
（2） ，能构成勾股数，故符合题意；
（3） ，不能构成勾股数，故不符合题意．
（4） ， ， 均不是整数，故不符合题意；
故答案为：（1）（2）．
【考点二】用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
【例2】（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正
方形的顶点.求 的度数.
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出 、 、 ，得到 ，
，再结合勾股定理逆定理判断 为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
解：由题知， ，
，
，
， ，
， 为直角三角形，即 ，
．
【变式1】（2023下·北京西城·八年级校考期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶
点称为格点，点A、B、P均在格点上，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，取格点 ，连接 和 ，证明 得到 ，再
由平行线的性质得到 ，则可得 ，再证明 是等腰直角三角形即
可求解．
解：如图所示，取格点 ，连接 和
由网格的特点可知 ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定
等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
【变式2】（2017下·北京东城·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为 ，则 是 三角形．
【答案】直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出 、 、 的长，再根据勾股定理的逆定理判
断出 的形状．
解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
故答案为：直角
【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
【考点三】用勾股定理的逆定理求解
【例3】（2019上·江西南昌·八年级校联考期中）如图， 为等边三角形 内一点，分别连接
， ．以 为边作等边三角形 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．【答案】（1）见分析；（2） ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理．
（1）利用 可证得 ，从而证得 ；
（2）根据（1）的结论结合勾股定理的逆定理可证得 为直角三角形，从而可求得答案．
解：（1）证明：∵ 、 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
而 ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ．
【变式1】（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示， ， ， ，， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 ，求解 ，证明 ，延长 至 ，使
，连接 ， 证明 为等边三角形，可得 ，从而可得答案．
解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
延长 至 ，使 ，连接 ，而
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C【点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形
的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式2】（2023上·贵州毕节·八年级校考期中）如图，在 中，D是 边上一点，
， ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理的综合运用：先由三边的数值关系，得
，根据勾股定理列式计算，即可作答．
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
故 ，
∴ ，
故答案为：4．
【考点四】勾股定理的逆定理实际应用
【例4】（2024上·陕西汉中·八年级统考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，
在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图，已知 ， ， ， ，施
工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了 ．
（1）施工人员测量的是________两点之间的距离，确定 的依据是________；
（2）若平均每平方米的材料成本加施工费为160元，请计算绿化这块空地共需花费多少元？【答案】（1） ，勾股定理逆定理；（2）绿化这块空地共需花费18240元．
【分析】（1）本题考查了勾股定理逆定理的应用，根据三角形三条边为 、 、 ，如果满足
，则这个三角形为直角三角形，即可解题．
（2）本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，连接 ，根据勾股定理得到 的长，根据勾
股定理的逆定理可得到 ．再利用三角形面积公式即可解题．
（1）解：要确定 ，即要满足 ，
测量出 的距离是否满足 即可．
故答案为： ，勾股定理逆定理．
（2）解：连接 ，如图所示：
， ， ，
，
， ，有 ，
，
，
平均每平方米的材料成本加施工费为160元，
（元），
答：绿化这块空地共需花费18240元．【变式1】（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速
海里，乙船时速 海里，两个小时后，两船相距 海里，已知甲船的航向为北偏东 ，则乙船的航向
为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东 或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出
即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
解：由题意得， 海里， 海里， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 三点共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴乙船的航向为南偏东 或北偏西 ，
故选： ．
【变式2】（2023上·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，
除了 是完全固定的钢架外， ， ， 属于位置可变的定长钢架．如图1所示， ，
， ，伸缩杆 的两端分别固定在 ， 两边上，其中 ， ．
当伸缩杆 打开最大时，如图2所示， 成 ，此时 ，则可变定长钢架 的长度
为 ．当伸缩杆完全收拢时， ，则此时床高（ 与 之间的距离）为 ．【答案】 8 12
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学
模型是解题的关键．
当伸缩杆 打开最大时，先证明 是直角三角形，由勾股定理，得 ，即可由
求得 长；当伸缩杆完全收拢时， ，过点C作 于H，过点D作
于F，由平行线间的距离，可得 ， ， ，再由勾股定理，得
，即 ，即可求得 ，即可由
求解．
解：如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 成 ，
∴ 是直角三角形，由勾股定理，得
∴ ；
当伸缩杆完全收拢时， ，过点C作 于H，过点D作 于F，如图，
∵ ， 于H，过点D作 于F，
∴ ， ，
∴ ，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
∴
故答案为：8；12．
【考点五】勾股定理的逆定理的拓展
【例5】（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在 中， ，设 为最长边，
当 时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究
的形状（按角分类）．
（1）当 三边分别为6、8、9时， 为________三角形；当 三边分别为6、8、11时，为________三角形；
（2）猜想：当 ________ 时， 为锐角三角形；当 ________ 时， 为钝角三
角形；（填“>”或“<”或“=”）
（3）判断：当 时，
当 为直角三角形时，则 的取值为________；
当 为锐角三角形时，则 的取值范围________；
当 为钝角三角形时，则 的取值范围________．
【答案】（1）锐角；钝角；（2） ；（3）① ；② ；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三
角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出 ，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范
围．
（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当 三边分别为6、8、9时， 为锐角三角形
当 三边分别为6、8、11时， 为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当 时， 为锐角三角形；
当 时， 为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时， ；
当 为锐角三角形时， ，
；
当 为钝角三角形时， ，
则 的取值范围为 ，
两边之和大于第三边，．
【变式1】（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）若一个三角形的三条边的长度分别为 ，则
这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大
小关系即可得解．若三角形的三边分别是 、 、 ， 是三角形的最长边，则有：（1） 这
个三角形是锐角三角形；（2） 这个三角形是直角三角形；（3） 这个三角形
是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题
的关键．
解：∵ ，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【变式2】（2020·浙江湖州·统考模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB
＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若 ，则PA的长为 ．
【答案】1或 或 ．
【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点
P在这AC边上时，进行讨论即可求解．
解：∵Rt ABD≌Rt BAC，AD＝3，AB＝4，
△ △
∴AC＝BD＝ ＝5，
当点P在这AB边上时，∵ ，AB＝4，∴PA＝1；
当点P在这AD边上时，∵ ，
∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2，
解得PA＝ ；
当点P在这AC边上时，
PE＝ AP，AE＝ AP，BE＝4﹣ AP，
∵ ，
∴ ，
∴5PA2+4PA﹣10＝0，
解得PA＝ （舍去），PA＝ ．
故PA的长为1或 或 ．
故答案为：1或 或 ．
【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定
等于斜边长的平方．注意分类思想的应用．
