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专题17.9 勾股定理的逆定理（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021下·黑龙江绥化·六年级期末）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好
可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．10 C．7.5 D．13.5
2．（2019下·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，
1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
3．（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，在以下四个正方形网格中，各有一个
三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， ，且 ，下列结论中：① ；② ；③ ；④
．其中正确的结论是（ ）A．② B．①② C．①④ D．①③④
6．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
满足 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，点 在 内部，点 与点 关于 对称，点
与点 关于 对称．甲、乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若 ，则 是等边三角形；
乙：若 ，则 ．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8．（2022下·辽宁营口·八年级统考期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 ，
甲客轮沿着北偏东 的方向航行， 后到达小岛 ，乙客轮 到达小岛 ．若 ， 两岛的直线距离为
，则乙客轮离开港口时航行的方向是（ ）
A．北偏西 B．南偏西
C．南偏东 或北偏西 D．南偏东 或北偏西
9．（2018上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．4 C．1 D．2
10．（2019上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2
C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形
D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·四川达州·八年级校考期末）在 中， ， ， ，则 ．
12．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）若a、b、c是 的三边，且
，则 最大边上的高是 ．
13．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在 的网格中， ．
14．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ．将
沿射线 折叠，使点 与 边上的点 重合， 为射线 上一个动点，当 周长最小时， 的
长为 ．15．（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）如图，正方形 的面积是169平方厘米，正方形
面积是144平方厘米，正方形 的面积是25平方厘米，则阴影四边形 的面积是
平方厘米．
16．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，
B．其中 ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点
H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．则原路
线 千米．
17．（2022上·山东青岛·七年级统考期中）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离
开港口O，向北偏西 方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行
驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ．
18．（2019下·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点C为直线l上的一个动点，
于D点， 于E点， ， ，当 长为 为直角三角形．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在 中，已知 ，D是 边
上的一点， ， ， .
（1）求证： 是直角三角形； （2）求 的面积.
20．（8分）（2023上·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，已知点 是等边 内一点，连结 ，
， ，D为 外一点，且 ，连接 ， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， ，求 的度数．
21．（10分）（2024上·重庆万州·八年级统考期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距
离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁
的公路长．
22．（10分）（2020上·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y
轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝
45°．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（3）若 为直角三角形，求点P的坐标．
23．（10分）（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图1，在 中， ， ，点 为 内任意一动点，
（1）当 时，求 的度数；
（2）当点 满足 时，
①求 的度数；
②如图2，取 的中点 ，连接 ，试求 ， ， 之间的数量关系并说明理由．
24．（12分）（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）【问题初探】勾股定理神奇而美
妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两
个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在 边上，顶点C、D重合，连接 ．设
交于点G． ， ， ， ．请你回答
以下问题：
（1） 与 的位置关系为______．
（2）填空： ______（用含c的代数式表示）．（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板 ，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，
此时三角形 是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线 及点P，作等腰直角 ，使得点A、B分别在直线a、b上且 ．（尺规作
图，保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知 中， ， ， ，则 的面积 ______．
参考答案：
1．A
【分析】根据三角形的三边关系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以组成三角形，再根据勾股定理
逆定理可知该三角形为直角三角形，即可求得答案；
解：∵9=4+5
∴9cm的小棒不能组成三角形
∵
∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm和4cm
∴
故选A
【点拨】本题考查了三角形的性质，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
2．C
【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满
足条件的C点2个．所以共有6个．
解：∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，
∵点C到AB距离为5，AB=10，
∴点C在平行于AB的两条直线上，
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆
与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），
∴满足条件的C点共，6个．
故选C．
【点拨】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条． ABC是直角三角形，它的任
意一个顶点都有可能为直角顶点． △
3．C
【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理得到 ，再由三角形内角和定理进行计
算即可．
解：如图，设小正方形的边长为1，
则 ， ， ，
，
，
，
，
故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．A
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、三边长分别为 ，∵ ，
∴ 不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为 ， ，
∴ 是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为 ，∵ ，
∴ 是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为 ，∵ ，
∴ 是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 满足 ，那么这个
三角形就是直角三角形是解题关键．
5．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到
，进而证明 ，推出 是直角三角形，且 ，由四边形
内角和定理得到 ，再由 得到
，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到 ，即可判断③．
解：如图所示，连接 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，故①正确；∴ ，故②正确；
，故④错误；
根据现有条件无法得到 ，故③错误；
故选B．
6．B
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出
，从而可得出 ，即证明 为直角三角形，且a，b为直角边，最后根
据三角形面积公式求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且a，b为直角边，
∴ 的面积为 ．故选B．
【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题
关键．
7．C
【分析】连接 ，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得 ， ，
， ，推得 ， ，根据等腰三角形的性质和三
角形内角和定理可求得 ；若 ，求得 ，根据等边三角形的判定
即可证明甲同学的说法正确；若 ，根据勾股定理的逆定理可推得 ，即可证明乙同
学的说法正确．
解：连接 ，如图：
∵点 与点 关于 对称，点 与点 关于 对称，
即 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在等腰三角形 中， ，在等腰三角形 中， ，
则 ；
若 ，则 ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，故甲同学的说法正确；
若 ，
∵ ，
即 ，
则 ， ， 满足 ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
则 ，故乙同学的说法正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了对称的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意可得OA=30海里，OB= 40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角
形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
解：由题意得，
海里， 海里，
OA2+ OB2=302 + 402=2500， AB2=502=2500，
OA2+OB2=AB2，
∠AOB=90°，分两种情况：
如图1，
= 180°- 30° -90° =60°，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，
如图2，
∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30° =60°，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60° ，
综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关
键．
9．D
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别
求出 ABC和 ACD的面积，即可得出答案．
△ △解：在Rt ABC中，由勾股定理得：AC＝ ，
△
∵CD＝1，AD＝3，AC＝2 ，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S +S
ABC ACD
△ △
＝ AB•BC+ AC•CD
＝ ×2×2+ ×1×2
＝2+ ，
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出 ACD是直角三角形是解此题的关
键． △
10．D
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；
B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-
b2=c2”，故不符合题意；
C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．
11．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．解决问题的关键在于判断三角形是
否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法求三角形的高．熟练掌握勾股定理的逆定理判断三
角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求 是直角三角形， ，设 最大边上
的高为 ，依题意得， ，即 ，计算求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
设 最大边上的高为 ，
依题意得， ，即 ，
解得， ，
故答案为： ．
13．45
【分析】连接 ，根据网格判定 为等腰直角三角形，得出 ，根据平行线
的性质得出 ， ，根据 即可求出结果．
解：连接 ，如图所示：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：45．
【点拨】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，
解题的关键是作出辅助线，证明 为等腰直角三角形．
14．
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．
根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到 为直角三角形，设 ，则
，再利用勾股定理得到答案．
解：由题意得：
， 两点关于射线 对称，
，
为定值，要使 周长最小，
即 最小，
如图，当点 为 与射线 的交点时， 周长最小，
， ， ，
，
，
，
为直角三角形，
，，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
即 ，
解得： ，
，
故答案为： ．
15．
【分析】根据正方形 的面积、正方形 面积、正方形 的面积可以计算 ， ，
，进而判定 为直角三角形，即可求证 、 、 三点共线，且阴影部分的面积为 ，
即可解题．
解：根据正方形 的面积、正方形 面积、正方形 的面积可得 厘米，
厘米， 厘米，且满足 ，
为直角三角形， ，
、 、 三点共线， 、 、 三点共线，
为直角三角形， （厘米）， （厘米），
∴ （平方厘米）
（平方厘米）
∴ （平方厘米）．
∵ （平方厘米）
∴阴影四边形 的面积 （平方厘米）．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各
边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为 是解题的关
键．16． /
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明 是直角三角形且 ，设 千米，则
千米，最后在 运用勾股定理即可解答．
解：
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形且 ；
设 千米，则 千米，
在 中，由已知得 ，
由勾股定理得： ，
∴ ，解得x= ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本
题的关键．
17．北偏东
【分析】根据勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，求出 的度数即可．
解：由题意得， （海里）， （海里），
又∵ 海里，
∵ ，
即∴ ，
∵ ，
∴ ，
则B舰艇的航行方向是北偏东 ，
故答案为：北偏东 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出 是直角三角
形是解决问题的关键．
18．3或2或 ．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、
BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由 得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上： 的长为：3或2或 ．
故答案为：3或2或 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么
19．（1）见分析；（2）
【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理以及等腰三角形的性质，解题关键是利用勾股定理构造
方程求出腰长．
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设 ，则 ，利用勾股定理列方程求得 ，从而求得 ，再利用三角形
的面积公式求解即可．
解：（1）证明：∵ ， ， ，
∴在 中， ，即 ，∴ 是直角三角形；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
20．（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．
（1）根据等边三角形的性质得到 ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ， ，推出 是等边三角形，得到
， ，根据勾股定理的逆定理得到 ，于是得到结论．
解：（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 与 中 ，
∴ （SAS）；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
21．（1） ；（2）需要，
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过 作 ，因为 ，由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，通过三
角形的面积转化，即可求解；
（2）以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点E、F，连接 ， ，由等腰三 ，比
较 与 的大小即可判断，由勾股定理得 ，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能
作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）解：由题意得
， ， ，
如图，过 作 ，
，
，
是直角三角形，且 ，
，
，
解得： ，
答：山地C距离公路的垂直距离为 ；
（2）解：公路 有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点E、F，连接 ， ，
则 ，，
，
由（1）可知， ，
，
有危险需要暂时封锁，
在 中，
，
，
即需要封锁的公路长为 ．
22．（1）a＝2，b＝4；（2）P（﹣4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）
【分析】（1）a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0整理得（a﹣2）2+|2a+b|＝0，再根据非负数的性质求得a，b的
值即可；
（2）点 P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°，得到OP＝OB＝4，即可得到P点坐标；
（3）由题意可知△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，则分∠ABP＝90°或∠BAP＝90°两种情况进行
讨论即可.
解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，
∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，
∴a＝2，b＝4．
（2）由（1）知，b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵点 P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB＝45°，
∴OP＝OB＝4，
∴P（﹣4，0）；
（3）由（1）知 a＝﹣2，b＝4，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，
①当∠ABP＝90°时，
∵∠BAP＝45°，
∴∠APB＝∠BAP＝45°，
∴AB＝PB，
过点 P 作 PC⊥OB 于 C，
∴∠BPC+∠CBP＝90°，
∵∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠BPC，
在△AOB和△BCP中，
∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，
∴△AOB≌△BCP（AAS），
∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝2，
∴P（﹣4，2）；
②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA 于 D，
同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS），
∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝AD﹣OA＝2，
∴P'（﹣2，2）；
综上，满足条件的点 P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，非负数的性质等，解
此题的关键在于熟练掌握其知识点.
23．（1） ；（2）① ② ，理由见分析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到 ，然后求出 和 的度
数，利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）①作 且使 ，连接 、 ，则有 ，然后推导出
，然后得到 ，进而计算解题；②延长 至 ，使 ，连接 ，得
到 ，然后得到 ， ，再证明 ，根据①中的
即可得到结论．
（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：①作 且使 ，连接 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由为：
由①知 ，
∴ ，∴ 在一条直线上，
延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的
内角和定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．问题初探：（1） ；（2） ；（3）见分析；问题再探：见分析；问题拓展：9【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到
，根据垂直的定义得到 ；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形 的面积，于是得到结论．
问题再探：如图，过点P作 直线 于点F交直线a于点E，截取 ， ，连接
即可；
问题拓展：过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，证明
，得 ，根据勾股定理得
，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
解：问题初探：（1） ；
证明： ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；,
（2）∵ ，，
故答案为： ；,
（3）证明：∵四边形 的面积
，
∴四边形 的面积
，
∴ ，
即 ．
问题再探：解：如图， 即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作 交 延长线于点E，过点C作 于点D，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，的面积
．
故答案为：9．
