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§1.1 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
就称集合A为集合B的子集，记作 A ⊆ B (或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 x ∉ A ，就称集合A是集合B的真子集，记
作 A B (或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集．
3．集合的基本运算
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表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∪ B
交集 { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∩ B
补集 { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ∁U A
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于( )
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
答案 B
解析 由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝
{1,2}，故选B.
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是( )
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案 C
解析 (1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．
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3．设全集 U＝R，集合 A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则 A∪B＝________，
∁U
(A∩B)＝________.
答案 {x|x≥－1} {x|x<2或x≥3}
解析 因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
∁U
(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素
个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，
故集合A∩B有两个元素．
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为( )
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
答案 C
解析 ∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限
制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(
)
A．0∉M B．{0}∈M
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C．{1}⊆M D．1⊆M
答案 ABD
解析 对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；
对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；
对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；
对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误．
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(
)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，
即集合B中含有4个元素．
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的
是( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．B⊆A
答案 C
解析 由题设，可得A＝{x|x>2}，
又B＝{x|x≥－3}，
所以A是B的真子集，
故A，B，D错误，C正确．
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有
________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．
答案 15 (－∞，－2)∪[－1,0]
解析 A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个)．
由B⊆A，
得①若B＝∅，则2m＋1－2}
C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}
答案 C
解析 观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分
表示的集合为(∁U A)∩B.
∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，
∴
∁U
A＝{x|x<－2或x≥4}，
又B＝{x|y＝}⇒B＝{x|x≥－2}，
∴(∁U A)∩B＝{x|x≥4}．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁R A)∪B＝R，则实
数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a
的取值范围是( )
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 A
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解析 由题意可得A＝{x|11}，
所以1≤a<4.
题型四 集合的新定义问题
例5 (1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当
b≠0时，∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是( )
A．0是任何数域的元素
B．若数域F有非零元素，则2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
答案 ABD
解析 对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；
对于 B，若 a∈F 且 a≠0，则 1＝∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得 2
023∈F，故B正确；
对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但∉P，故P不是数域，故C错误；
对于D，若a，b是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，所以有理数集是
数域，故D正确．
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且
规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A
的累积值为n.
①若n＝3，则这样的集合A共有________个；
②若n为偶数，则这样的集合A共有________个．
答案 2 13
解析 ①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；
②因为集合M的子集共有24＝16(个)，
其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，
所以“累积值”为偶数的集合共有13个．
思维升华 解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义
和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非
空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越
大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，
依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．
答案 {2,4}
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解析 根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，
{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．
故排在第6位的子集为{2,4}．
课时精练
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 ∁U M＝{1,3}，则( )
A．2∈M B．3∈M
C．4∉M D．5∉M
答案 A
解析 由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1m}，若A∩(∁R B)＝∅，则实数m的取
值范围为( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 由题知A∩(∁R B)＝∅，得A⊆B，则m≤1.
7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 AD
解析 因为A∪B＝A，所以B⊆A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．
综上，m＝0或3.
8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(
)
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A
答案 CD
解析 令 U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但 A∩B≠ ∅，
A∩B≠B，故A，B均不正确；
由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，
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∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，
由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，
∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．
9．(2023·金华模拟)已知集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则 S∩(∁U T)＝
________，集合S共有________个子集．
答案 {1,5} 8
解析 由题意可得∁U T＝{1,4,5}，
则S∩(∁U T)＝{1,5}．
集合S的子集有23个，即8个．
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则
Venn图中阴影部分的集合为________．
答案 {－1,2,3}
解析 集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3m＋1解得m>4；
若B≠ ∅，则解得0≤m≤2，
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)．
13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log
2
x<3}，A＝{1,2,3}，
∁U
(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可
能为( )
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
答案 BD
解析 由log x<3得00}满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案 BD
解析 对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A
错误；
对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，
N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)
使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；
对于选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，
N也没有最小元素，故D正确．
16．我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|
n－2 023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N的“长度”的最
小值为________．
答案 2 021
解析 由题意得，M的“长度”为2 022，N的“长度”为2 023，
要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2 024}的两端．
当m＝0，n＝2 024时，得M＝{x|0≤x≤2 022}，N＝{x|1≤x≤2 024}，
则M∩N＝{x|1≤x≤2 022}，此时集合M∩N的“长度”为2 022－1＝2 021；
当m＝2，n＝2 023时，M＝{x|2≤x≤2 024}，N＝{x|0≤x≤2 023}，
则M∩N＝{x|2≤x≤2 023}，此时集合M∩N的“长度”为2 023－2＝2 021.
故M∩N的“长度”的最小值为2 021.
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