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第17章 勾股定理单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）在Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2等于
（ ）
A．8 B．4 C．6 D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可知BC2=AB2+AC2，
进而可知AB2+AC2+BC2=BC2+BC2．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，斜边为BC，
∴BC2=AB2+AC2，
∵BC=2，
∴4=AB2+AC2，
∴AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=4+4=8，
故选A．
2．（3分）（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我
国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所
示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，
那么a+b的值为（ ）
A．2❑√3 B．❑√7 C．2❑√2 D．❑√10
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及完全平方公式．根据大正方形的面积即可求得c2，利用
勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据
(a+b) 2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．【详解】解：如图，∵大正方形的面积是7，
∴c2=7
，
∴a2+b2=c2=7，
5
∵直角三角形的面积是(7−2)÷4= ，
4
1 5
∴直角三角形的面积是 ab= ，
2 4
5
∴ab= ，
2
(a+b) 2=a2+b2+2ab=c2+2ab
5
=7+2×
2
=12，
∴a+b=2❑√3，
故选：A．
3．（3分）（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任
意两个格点间的距离不可能是（ ）
A．❑√6 B．❑√8 C．❑√9 D．❑√13
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用直角三角形的勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离为❑√22+22=❑√8，❑√32+12=❑√10，❑√9=3，
1，2，❑√32+32=3❑√2，❑√22+12=❑√5，❑√22+32=❑√13．∴任意两个格点间的距离不可能是❑√6，
故选：A．
4．（3分）（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三
角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，根据已知条件以及勾股定理可得S +S =S −S ，根据正方
A B D C
形的面积可得到结果，正确应用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
∴S +S =S −S ，
A B D C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，
∴S =S −S −S =20−5−4=11，
B D C A
故选：D．
5．（3分）（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村
庄，已知DA=10km，CB=15 km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得
C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（ ）km．
A．5 B．10 C．15 D．25
【答案】C
【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设AE=x，则BE=25−x，
由勾股定理得：
在RtΔADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，在RtΔBCE中，
，
CE2=BC2+BE2=152+(25−x) 2
由题意可知：DE=CE，
所以： ，
102+x2=152+(25−x) 2
解得：x=15km．
所以，E应建在距A点15km处．
故选：C．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6．（3分）（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于
点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点
E，则点E表示的实数是（ ）
A．2❑√5 B．❑√5+1 C．2 D．❑√5﹣1
【答案】D
【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴ ，
AC=❑√AB2+BC2=❑√5
∴AD=AE=AC−CD=❑√5−1，
∴E表示的数为：❑√5−1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．（3分）（23-24八年级·安徽淮北·期中）我国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定
理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系，逐项推理论
证判断即可．
【详解】解：A．大正方形的面积为： ，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面
(a+b) 2
1
积为： ab×4+c2=2ab+c2，∴(a+b) 2=2ab+c2，∴a2+b2=c2故本选项不符合题意；
2
1 1
B．梯形的面积为： (a+b)(a+b)= (a2+b2)+ab，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组
2 2
1 1 1 1 1
成，则其面积为： ab×2+ c2=ab+ c2，∴ab+ c2= (a2+b2)+ab，可以证明勾股定理，故本选项
2 2 2 2 2
不符合题意；
C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
D．图中图形面积等于边长为c的正方形面积，加上两个直角边分别为a、b的长方形面积，即其面积为：
a+b 1
c2+ab，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为： (a+b)+ c2，∴
2 2
a+b 1
(a+b)+ c2=ab+c2，∴a2+b2=c2故本选项不符合题意；
2 2故选：C．
8．（3分）（23-24八年级·天津西青·期末）如图所示，已知 ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为
AD上任一点，则MC2-MB2等于（ ） △
A．9 B．35 C．45 D．无法计算
【答案】C
【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代
入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45．
故选C
【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.
9．（3分）（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，
使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（ ）A．3 B．❑√6 C．❑√10 D．9
【答案】C
【分析】做点F做FH⊥AD交AD于点H，因此要求出EF的长，只要求出EH和HF即可；由折叠的性
质可得BE=DE=9-AE，在Rt△ABE中应用勾股定理求得AE和BE，同理在Rt△BC′F Rt△ABE中应用
勾股定理求得BF，在Rt△EFH中应用勾股定理即可求得EF．
【详解】过点F做FH⊥AD交AD于点H．
∵四边形EFC′B是四边形EFCD沿EF折叠所得，
∴ED=BE，CF=C′F，BC′=CD=3
∵ED=BE，DE=AD-AE=9-AE
∴BE=9-AE
∵Rt△ABE，AB=3，BE=9-AE
∴
(9−AE) 2=32+AE2
∴AE=4
∴DE=5
∴C′F=BC−BF=9−BF
∴Rt△BC′F，BC′=3,C′F=9−BF
∴
(9−BF) 2+32=BF2
∴BF=5，EH=1
∵Rt△EFH，HF=3，EH=1∴
EF=❑√EH2+H F2=❑√32+12=❑√10
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题．
10．（3分）（23-24八年级·山东滨州·期末）在ΔABC中，D是直线BC上一点，已知AB=15，AD=12
，AC=13，CD=5，则BC的长为（ ）
A．4或14 B．10或14 C．14 D．10
【答案】A
【分析】根据AC=13，AD=12，CD=5，可判断出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，继而可
得出BC的长度．
【详解】∵AC=13，AD=12，CD=5，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
由于点D在直线BC上，分两种情况讨论：
当点D在线段BC上时，如图所示，
在Rt△ADB中， ，
BD=❑√AB2−AD2=9
则BC=BD+CD=14；
②当点D在BC延长线上时，如图所示，
在Rt△ADB中， ，
BD=❑√AB2−AD2=9
则BC=BD−CD=4．故答案为：Ａ．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·北京·期中）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S ，以CD为斜边作等腰直
1
角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S ，…按此规律继续下去，
2
则S 的值为
2025
(1) 2024
【答案】
2
【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的
关键．
(1) n−1
根据题意表示出S ，S ，S 的值，找到规律S = ，根据规律计算即可．
1 2 3 n 2
【详解】解：由题意可知，面积为S 的正方形的边长为1，S =1，
1 1
1 1
面积为S 的正方形的边长为 ，S = ，
2 ❑√2 2 2
1 (1) 2
面积为S 的正方形的边长为 ，S = ，
3 ❑√2×❑√2 3 2
1 (1) 3
面积为S 的正方形的边长为 ，S = ，
4 ❑√2×❑√2×❑√2 4 2
.....．
(1) n−1
一般规律为：S =
n 2
(1) 2025−1 (1) 2024
，则S = = ．
2025 2 2
(1) 2024
故答案为： ．
2
12．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）直角三角形的两条直角边为a和b，斜边长为6，若a+b=8，
则a3b+ab3= ．
【答案】504【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式、求代数式的值，先由勾股定理得出a2+b2=36，利用完全
平方公式的变形得出 ，再将式子变形为 ，整体代入计算即可得解．
ab=14 a3b+ab3=ab(a2+b2)
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边为a和b，斜边长为6，
∴a2+b2=62=36，
∵a+b=8，
(a+b) 2−(a2+b2) ，
∴ab= =14
2
，
∴a3b+ab3=ab(a2+b2)=14×36=504
故答案为：504．
13．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）《九章算术》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一道
有趣的题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各
几何? ”其大意如下：已知甲、乙两人同时从一地出发，甲的速度为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现
在的米类似），乙的速度为3步/秒．乙一直向东行走，甲向南行走10步后，偏离原方向，朝北偏东的方
向直行一段后与乙相遇，问甲、乙各行走了多少步?设乙经过x秒后两人相遇，则根据题意，可列方程为
．
【答案】
(7x−10) 2=102+(3x) 2
【分析】根据题意画出三角形ABC，用含x的代数式表示三边长，利用勾股定理可得方程．
【详解】解：如图，两人同时从A地出发，甲向南行走10步后到达C地后，偏离原方向．设x秒两人在B
处相遇，这时乙行驶AB=3x，甲共行驶AC+BC=7x，
∵AC=10，
∴BC=7x−10，
∵∠A=90°，由勾股定理得： ，
(7x−10) 2=102+(3x) 2
故答案为： ．
(7x−10) 2=102+(3x) 2
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理
是解决问题的关键．
14．（3分）（23-24八年级·北京丰台·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是
一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接
图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴
影部分的面积为S，那么S的值为 ．
【答案】21
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与△ABD全等的三角形和一个边长为BD的正方形组成
由题意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC−CD=3
1 1
∴S = AB⋅BD= ×3×2=3，
△ABD 2 2
S =BD2=32=9
小正方形
∴S=4S +S =4×3+9=21
△ABD 小正方形
故答案为：21．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系
是解题的关键．15．（3分）（23-24八年级·甘肃酒泉·期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面
建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） ．
【答案】4❑√13m
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理；
将圆柱侧面展开，得到长方形，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：把圆柱形储油罐的侧面展开，如图：
∵油罐底面周长是12米，高8米，
∴AC=12，BC=8，
∴ ，
AB=❑√AC2+BC2=❑√122+82=4❑√13m
即梯子最短需要4❑√13m，
故答案为：4❑√13m．
16．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）若 ，则 的最小值为 ．
a+b=12 ❑√a2+4+❑√49+b2
【答案】15．
【分析】构造Rt△AED和Rt△BEC，其中AE=a，AD=2，BE=b，CB=7，由图可知当点C、E、D三
点共线时DE+CE最小，然后根据勾股定理求解即可
【详解】解：构造Rt△AED和Rt△BEC，
其中AE=a，AD=2，BE=b，CB=7，
那么 ，
❑√a2+4+❑√49+b2=DE+CE
当点C、E、D三点共线时DE+CE最小，且
DE+CE=CD=❑√(7+2) 2+(a+b) 2
=❑√92+122
=15．
即 的最小值为15．
❑√a2+4+❑√49+b2
故答案为：15．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为
a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．构造出直角三角形是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·甘肃陇南·期中）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
AC=5，BC=12．求：
(1)求△ABC的面积；
(2)求线段AB的长：
(3)求高CD的长．
【答案】(1)30；
(2)13；
60
(3) ．
13【分析】（1）利用直角三角形的面积公式计算即可求解；
（2）根据勾股定理计算即可求解；
（3）利用三角形面积即可求解；
本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
1 1
∴S = AC·BC= ×5×12=30；
△ABC 2 2
（2）∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴ ；
AB=❑√AC2+BC2=❑√52+122=13
（3）解：∵CD⊥AB，
1
∴S = AB·CD，
△ABC 2
1
∴ ×13×CD=30，
2
60
∴CD= ．
13
18．（6分）（23-24八年级·山东淄博·期中）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如
图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°,AB=9m,DA=12m,BC=8m,CD=17m，求出
空地ABCD的面积．
【答案】空地ABCD的面积114m2
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判断得到
Rt△DBC，最后利用S =S +S 即可解答．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定
四边形ABCD △BAD △DBC
理及逆定理是解本题的关键．
【详解】解：如图，连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=92+122=152，
在△CBD中，CD2=172,BC2=82，
而82+152=172，
即BC2+BD2=CD2，
∴△DBC为直角三角形，
∴∠DBC=90°，
1 1 1 1
S =S +S = ⋅AD⋅AB+ DB⋅BC= ×12×9+ ×15×8=114(m2)，
四边形ABCD △BAD △DBC 2 2 2 2
答：空地ABCD的面积114m2．
19．（8分）（23-24八年级·宁夏固原·期中）在△ABC中， AB、BC、AC三边的长分别为 ❑√5、❑√10、
❑√13，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为
1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需
求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
(1)△ABC的面积为： ．
(2)若△≝¿三边的长分别为❑√5、❑√8、❑√17，请在图2的正方形网格中画出相应的△≝.
7
【答案】(1)
2
(2)见解析
【分析】本题考查作图−应用与设计、勾股定理；（1）利用构图法求解即可；
（2）利用勾股定理和构图法作图即可．
1 1 1 7
【详解】（1）解：由图可得，S =3×3− ×1×2− ×2×3− ×1×3= ，
△ABC 2 2 2 2
7
故答案为： ．
2
（2）解：如图，△≝¿即为所求；
20．（8分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．
数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些
数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理
（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=∠ACE=90°，（点B，C，D在一条直线上），
AB=CD=b，BC=DE=a，AC=EC=c．
证明：a2+b2=c2；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出 的结果．
(a+b+c) 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．（1）利用面积法证明即可；
（2）利用面积法计算即可．
1 1
【详解】（1）证明：梯形ABDE的面积=2× ab+ c2，
2 2
(a+b)×(a+b)
梯形ABDE的面积= ，
2
1 1 (a+b)×(a+b)
∴2× ab+ c2= ，
2 2 2
化简可得：a2+b2=c2；
（2）解：如图所示：
大正方形的面积 ；
=(a+b+c) 2
大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴ ．
(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
21．（8分）（23-24八年级·四川达州·期中）如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A
（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为
多少m？【答案】❑√85m
【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点A和点B所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接
AB，利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：由题意可知，仓库的长为8m、宽为6m、高为5m，点A是长的四等分点，点B是宽的三等
分点
如图1，此时AC=6m，CD=5m，BD=2m，
∴BC=BD+CD=7m，
；
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√85m
如图2，此时AF=6m，BG=EF=5m，FG=BE=2m，
∴AG=AF+FG=8m，
；
∴AB=❑√AG2+BG2=❑√89m
如图3，此时AN=6m，MN=5m，BM=2m，
∴AM=AN+MN=11m，
，
∴AB=❑√AM2+BM2=❑√125m
∵❑√85<❑√89<❑√125，
∴壁虎爬到蚊子处的最短距离为❑√85m．
22．（8分）（23-24八年级·辽宁大连·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用
代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸
引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使
AB=2，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
(2)应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.3m，将它往前推3m至C处时，水平距离CD=3m，踏
板离地的垂直高度CF=1.3m，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索AC的长．
【答案】(1)❑√13
(2)5m
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角
形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）先根据勾股定理计算出OC的长度，再根据C点在原点的左侧来确定点C表示的数；
（2）设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定理可得 ，解方程即
xm AD=(x−3)m (x−1) 2+32=x2
可得到结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
Rt△OAB OB=❑√OA2+AB2=❑√32+22=❑√13 OC=OB
又∵O为圆心，点C表示的数大于零，
∴点C表示的数是❑√13．
故答案为：❑√13；
（2）解：设秋千绳索AB的长度为xm，
由题意可得AC=AB=xm，
由题意知，四边形DCFE为矩形，BE=0.3m,CD=3m,CF=1.3m,∴DE=CF=1.3m,BD=DE−BE=1m,AD=AB−BD=(x−1)m,
在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，
即 ，
(x−1) 2+32=x2
解得x=5，
即AC的长度为5m，
答：绳索AC的长度为5m
23．（8分）（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，长方形ABCD中，AB=10，AD=4．E为CD边上一
点，CE=7．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时
间为t秒．
①当t为何值时，△PAE是等腰三角形；
②当t=______时，PE⊥AE．
5 35 5
【答案】（1）5；（2）2或 或 ；（3）
2 12 6
【分析】（1）求出DE=3，AD=4，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）①根据若△PAE是等腰三角形，分三种情况讨论：EP=EA，AP=AE和PE=PA时．分别进行求解
即可；②过点E作EM⊥AB，利用勾股定理可以表示出在Rt△PEA和Rt△PEM中，PE2=AP2−AE2
，PE2=PM2+EM2，联立方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，CD=AB=10，
∴DE=CD−CE=10−7=3，
在 中， ，
Rt△ADE AE=❑√DE2+AD2=❑√32+42=5
（2）①若△PAE为等腰三角形，则有三种可能.当EP=EA时，AP=6，BP=BA−AP=10−6=4
∴t=4÷2=2(s)，
当AP=AE=5时，BP=BA−AP=10−5=5，
5
∴t=5÷2= (s)，
2
当PE=PA时，过点E作EM⊥AB，
在Rt△EPM中，EM2+PM2=PE2，
∴ ，
42+(PA−3) 2=PE2
即 ，
42+(PA−3) 2=PA2
25 25 35
解得：PA= ， BP=BA−AP=10− = ，
6 6 6
35 35
∴t= ÷2= (s)
6 12
5 35
综上所述，符合要求的t值为2或 或 ；
2 12
②当PE⊥AE时，
在Rt△PEA中，PE2=AP2−AE2，
即 ，
PE2=(3+PM) 2−52
在Rt△PEM中，PE2=PM2+EM2，
即PE2=42+PM2，
∴ ，
(3+PM) 2−52=42+PM2
16
解得：PM= ，
3
16 5
∴BP=BA−PM−AM=10− −3= ，
3 35 5
∴t= ÷2= (s)，
3 6
5
∴当t= 时，PE⊥AE．
6
【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解.
