平行四边形的判定
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·宁波中考)如果三角形的两条边分别为 4 和 6,那么连接该
三角形三边中点所得三角形的周长可能是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.(2013·枣庄中考)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,
AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,
则△CDE的周长为( )
A.20 B.12 C.14 D.13
3.如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,
CD=3,则EF的长是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·烟台中考)如图, ABCD 的周长为 36.对角线
▱AC,BD 相交于点 O.点 E 是 CD 的中点.BD=12.则△DOE 的周长为
.
5.如图所示,在四边形 ABCD 中,P 为对角线 BD 的中点,E,F 分别为
AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE的度数是 .
6.如图,△ABC 的周长是 32,以它的三边中点为顶点组成第 2
个三角形,再以第 2 个三角形的三边中点为顶点组成第 3 个
三角形,…,则第n个三角形的周长为 .
[来源:学|科|网]
三、解答题(共26分)
7.(8 分)已知,如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是
AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
8.(8分)已知,如图,在 ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与
▱BE交于点G.求证:GF=GC.
【拓展延伸】
9.(10分)已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋
转,且 AD=BC,连接 DC.过 AB,DC 的中点 E,F 作直线,直线 EF 与直线
AD,BC分别相交于点M,N.
(1)如图 1,当点 D 旋转到 BC 的延长线上时,点 N 恰好与点F 重合,取
AC 的中点 H,连接 HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可
得∠AMF与∠ENB有何数量关系?(不需证明).
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(2)当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时,∠AMF 与∠ENB 有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.
答案解析
1.【解析】选 B.设三角形的三边分别是 a,b,c,令 a=4,b=6,则
2<c<10,12<三角形的周长<20,
故6<中点三角形周长<10.
2.【解析】选C.∵AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC,
∴BD=CD=4,
∵点E为AC的中点,∴CE=5,DE= AB=5,
∴△CDE的周长为CD+DE+EC=4+5+5=14.
3.【解析】选D.连接DE并延长交AB于H.
∵AB∥CD,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE.∵E是AC的中点,∴AE=EC,∴△DCE≌△HAE.
∴DE=HE,DC=AH.
∵F是BD的中点,∴EF是三角形DHB的中位线,
∴EF= BH,又∵BH=AB-AH=AB-DC=2,
∴EF=1.
【归纳整合】与中位线定理有关的辅助线作法
(1)如果有中线可将中线延长一倍.
(2)如果有线段倍分问题时可考虑作中位线.
(3)如果有中点,可在同一三角形一边上取中点,作中位线,或构造一
个三角形,使图形中的线段为所构造三角形的中位线.
4.【解析】∵ ABCD的周长为36,∴BC+CD=18.
▱
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴O是BD的中点,∴OD=6,
又∵E是CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,∴OE= BC,DE= CD,∴OE+DE=9,
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15.
答案:15
5.【解析】因为P,E分别是 BD,AB的中点,所以PE是△ABD的中位线,
所以PE= AD.
同理可得:PF= BC.
又∵AD=BC,∴PE=PF,
[来源:Zxxk.Com]
即∠PFE=∠PEF=18°.
答案:18°
6.【解析】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边的边长
都等于最大三角形对应各边边长的一半,那么第二个三角形的周长
=△ABC的周长× =32× ,
第三个三角形的周长=△ABC的周长× × =32× ,...,
第n个三角形的周长=32× =26-n.
答案:26-n7.【证明】连接AC.
∵E,F分别是AB,BC的中点,
∴EF∥AC,EF= AC.
同理可得GH∥AC,GH= AC.
∴EF∥GH且EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
8.【证明】取BE的中点H,连接FH,CH,
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∵F是AE的中点,∴FH∥AB,FH= AB,
∵CD∥AB,CD=AB,CE= CD,
∴CE∥FH,且CE=FH,
[来源:学科网ZXXK]
∴四边形CEFH是平行四边形,∴GF=GC.
9.【解析】(1)图1:∠AMF=∠ENB.
(2)图2:∠AMF=∠ENB;
图3:∠AMF+∠ENB=180°.
证明:如图,取AC的中点H,
连接HE,HF.∵F是DC的中点,H是AC的中点,
∴HF∥AD,HF= AD,
∴∠AMF=∠HFE,
同理,HE∥CB,HE= CB,∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE,
∴∠ENB=∠AMF.
