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21.2.1 平行四边形及其性质
目标导航:
1. 理解平行四边形的定义及性质；
2. 理解两条平行线之间的距离的概会求平行四边形的面积.
分类训练
【题型1】平行四边形的对边平行且相等
1.（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图， 是 的对角线， 是直线 上两点，且
．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定．根据平行四边形的性质，可得AB//
CD，AB=CD从而得到 ，进而得到 ，即可求证．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图， 的对角线 与 交于点O，点M，N在 上，且
，求证： ．【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等
三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，AB//CD，AB=CD通过证明 ，根据
全等三角形的性质可求解；
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， .
∴∠ABM=∠CDN
∵ ，
∴ ，
∴ ．
3.（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在 中，E，F是对角线 上的两点，且 ．求
证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握以上性质．
根据平行四边形的性质得出相等的角和边，然后利用 证明 即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD
∴ .
在 和 中，∴ .
∴ ．
4．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在 中，已知E为 的中点，连接 并延长交
的延长线于点F，连接 ，求证： ；
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的对边平行的性质，根据平行四边形的性质可得 ，根据已
知可得 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】证明；∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
5．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，点 是平行四边形 的边 延长线上一点，且
．求证： ．【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和
全等三角形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的性质得出 ， ， ，得到 ，然后证明出
即可．
【详解】解：证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
又 ，
，
在 和 中，
．
【题型2】平行四边形对角相等，邻角互补
6.（24-25八年级下·江苏·月考）如图，将平行四边形 的一边 延长至点E，若 ，则
．
【答案】 /60度
【分析】根据平行四边形的对角相等求出 的度数，再根据平角等于 ，列式计算即可得解．
【详解】解：∵平行四边形 中， ，，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
7．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是
．
【答案】100°
【分析】根据平行四边形的性质判断即可；
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
∴∠B的度数是：100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．．
8.（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形 中，以点 为圆心， 的长为半径画弧
交对角线 于点 ，若 ， ，则 ．
【答案】 /126度
【分析】根据题意得 ，平行四边形的性质得到 ，再根据三角形内角和定理
得到 ，即可解答．
【详解】∵以点 为圆心， 的长为半径画弧交对角线 于点 ，
∴ ，∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．
9.（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中，连接 ，作 于点E， 于点
F， 与 相交于点H，求证： ．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得到 ，然后证明出 ，得到然后由平行四边形的性质得到
．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ．
10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图在平行四边形 中， 连接 并延长交
的延长线于点F．(1)求证：
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利
用平行四边形性质和全等三角形证明线段关系，再结合等腰三角形性质求角度．
（1）利用平行四边形对边平行且相等，结合全等三角形判定 证明 ，得出 ，
再根据平行四边形 ，证得 ；
（2）由（1）结论及 推出 ，得到等腰三角形 ，结合 ，利用三角形内角
和求出 ．
【详解】（1）证明：四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 和 中，
，
，
（2）由（1）知，
，
∴ ，
∴ ，
，
【题型3】平行四边形的对角线互相平分11.（24-25八年级下·贵州黔西·期末）如图， 的对角线 与 相交于点 ，若
，则 的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解 ，再利用
勾股定理求解 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
12．（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相相交于点O，
过点O任作一条直线分别交 ， 于点E，F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平
行且相等，对角线互相平分；全等三角形对应边相等．
（1）根据平行四边形的性质得出 ，则 ，即可根据
求证 ；（2）根据全等三角形的性质得出 ，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴四边形 的周长 ．
13．（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知：如图，点O是 对角线的交点，过点O作直线分别交
的延长线于点E、F．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到
，再证明 得到 ，据此根据线段的和差关系可
证明结论．
【详解】证明：∵点O是 对角线的交点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
14.（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点E是
上一点，连接 并延长，交 于点 ．若 ，求 的长度．
【答案】3
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，证明
即可求解．
【详解】解： 在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，即 的长度为3．
15.（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图， 的对角线 、 相交于点O，E、F是 的
对角线 上的两点，且 ，连接 、 、 、 ．求证： ．
【答案】见解析【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定．
首先由四边形 是平行四边形得到 ， ，然后得到 ，证明出四边形 是
平行四边形，即可得到 ．
【详解】∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∵
∴
∴四边形 是平行四边形
∴ ．
【题型4】两条平行线间的距离及平行四边形的面积
16.（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平行四边形 中， 平分
交 于点O，则 的面积是 ．
【答案】12
【分析】由平行四边形等对边平行得 ，由角平分线的性质得 ，即可知
，从而得 ，由菱形的对角线互相垂直且平分得 ，进而解答即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
，
，
，
平行四边形 是菱形，
四边形 是菱形，且 、 ，
，
，故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质
是解题的关键．
17．（24-25八年级下·江苏南京·期末）将 张宽为 的小长方形按如图摆放在 中，则 的面
积为 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，根据矩形的性质及平行四边形
的性质即可解答．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵小长方形的宽为 ，
∴根据图形可知小长方形的长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴平行四边形 的面积为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，熟练掌握平行四边形
的性质是解题的关键．
18．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，正方形 和 ，点 在 边上，若正方形
和 的面积分别是 、 的大小关系是 ．
【答案】
【分析】连接 交 于 ，根据正方形以及平行四边形的面积计算公式，即可得到 、 的大小关系．
【详解】解：如图所示，连接 交 于 ，则 ，
正方形 的面积 ，
的面积 ，
，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了正方形和平行四边形的性质及面积的计算，解决问题的关键是能够熟练运用正方
形的性质．
19.（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在 中，对角线 交 于点 ，过点 作
于点 ， 交 于点 ，若 面积是 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】由 可证 ，可得 ，由平行四边形的面积公式可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
面积是 ，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连接 并延长
交 于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，则阴影部分的面积为
．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，连接 ，根据平行四边形的性质，则 ， ，根据点 是 的中点，则
，根据全等三角形的判定和性质，则 ， ，再根据平行四边形的判定和性
质，则四边形 是平行四边形，得到 ，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形
是平行四边形， ，根据阴影部分的面积为： ，即可．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ．
故答案为： ．
综合提升
一、单选题
1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的
平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S
1
与▱HCFM的面积S
2
的大小关系是( )
A．S＞S B．S＜S C．S＝S D．2S＝S
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形HBEM、GMFD，证 ABD≌△CDB，得出 ABD
和 CDB的面积相等；同理得出 BEM和 MHB的面积相等， GMD和 F△DM的面积相等，相减△即可求
出△答案． △ △ △ △
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在 ABD和 CDB中；
△ △
∵ ，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即 ABD和 CDB的面积相等；
同△理 BEM△和 MHB的面积相等， GMD和 FDM的面积相等，
故四△边形AEM△G和四边形HCFM的△面积相等，△即S
1
=S
2
．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出
ABD和 CDB的面积相等， BEM和 MHB的面积相等， GMD和 FDM的面积相等，注意：如果两
△三角形全等△，那么这两个三角形△的面积相△等 △ △
2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在平行四边形 中，过点 作 于 ，作
于 ，且 ， ， ，则平行四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，先根据平行四边形的性质可得 ，再根据直角
三角形的两锐角互余、角的和差可得 ，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得
，从而可得 ，最后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】设 ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又 ，，
解得 ，
即 ，
是等腰直角三角形，
，
，
平行四边形ABCD的面积是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股
定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形 中，对角线 、 相交于 ，过点 作
交 于点 ，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明 是直角三角形是解
题的关键．连接 ，根据已知条件证明 是直角三角形，进而可得 是等腰直角三角形，根据
勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
平行四边形 中， ，
垂直平分 ，， ， ，
， ，
， ，
，
是直角三角形， 是等腰直角三角形，
．
故选B．
二、填空题
4．（23-24八年级下·吉林四平·期中）在平行四边形 中，若 ，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键，根据平行四边形对
角相等可得 ．
【详解】解：在平行四边形 中，若 ，则 ．
故答案为：30．
5．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A(﹣1,0)、B(﹣2,﹣3)、C(2,﹣
1)，那么第四个顶点D的坐标是 ．
【答案】(3,2)
【分析】连接AC，BD，两线交于点M，设D点坐标为 ，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】连接AC，BD，两线交于点M，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD的交点M为AC、BD的中点，
∵ ， ， ，
设D点坐标为 ，
∴根据中点坐标公式有： ，
解得 ，
∴ D点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、中点坐标公式的知识，掌握中点坐标公式是解答本题的关键．
6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形 的对角线交于点 ，且 ，若它的对
角线的和是32，则 的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
由平行四边形的性质得出 ， ， ，求出 ，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，， ， ．
，
．
的周长 ．
故答案为：20．
三、解答题
7．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若
▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，求四边形EFCD的周长．
【答案】12
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到
AEO≌△CFO，求出OE=OF=1.5，即可求出四边形的周长．
△【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在 AEO和 CFO中，
△ △
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三
角形全等是解决问题的关键．
8．（24-25八年级下·上海长宁·期中）如图，在□ 中， 、 的平分线分别交对边于点 、 ，
交四边形的对角线 于点 、 ．求证： ．【答案】证明见解析.
【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根据全等三角形的对应边相等，从
而得到AH=CG，则AH+HG=CG+HG，即 ．
【详解】证明：∵平行四边形 ,
∴ ,AD∥CB，∠ADC=∠CBA
∵ 、 分别为角平分线，
∴ , ，
在 △ADH和△CBG中
∴
∴ ．
∴AH+HG=CG+HG，即 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题
的关键．
9．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ，
，垂足分别为 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 时，求 的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用
即可证明 ；
（2）利用平行四边形对角线互相平分可求 ，因为 ，由勾股定理可求 ，
则平行四边形 的面积 可求．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS）；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 的面积 ．
10．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图1，已知平行四边形 ， 是 的角平分线，交
于点 ．(1)求证： ．
(2)如图2所示，点 是平行四边形 的边 所在直线上一点，若 ，且 ， ，求
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要运用平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及
三角形面积公式来解题．
（1）通过平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义和等角对等边证明 ；
（2）利用平行四边形性质和等腰三角形性质得出角度关系，进而判断 为直角三角形，通过勾股定
理求出 的长度，最后根据三角形面积公式求解 的面积．
【详解】（1）证明： 是 的角平分线，
，
在平行四边形 中， ，
，
，
，
（2）解：由（1）可知 ，且 ，
，
，
为等腰三角形，
设 ， ，
， ，
又 ，
，
，
，
即 为直角三角形，
，
过点 作 ，， ， ，
，
．
11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在平行四边形 中，对角线 交于点O，
延长 到点E，使 ，连接 交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，
熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得 ，推出 ，结合 ，利
用 证明 ，即可得出结论；
（2）易证 是等边三角形，得到 ，由（1）知 ，即 ， ，
即 ，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
即 ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
由（1）知 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
12．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，点 、 分别
为 、 的中点，延长 交 于点 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）由平行四边形的性质推出 ， ，判定 ，得到 ，即可证
明 ；
（2）判定 垂直平分 ，推出 ，因此 是等腰直角三角形，得到 ．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
、 分别为 、 的中点，
， ，
，
， ，
，
，
；
（2）解： ，
，
由（1）知 ，
，
垂直平分 ，
，
是等腰直角三角形，
．
