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第十八章 四边形章节 达标检测
一、选择题：
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据正方形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定进行逐
一判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故 A选项错误，不符合题
意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故C选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
2．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形
（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）
A．测量四边形画框的两个角是否为90°
B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分
C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等
D．测量四边形画框的四边是否相等
【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断
即可．
【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为 90°，不能判定为矩形，故选项 A不符
合题意；
B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；
C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为
矩形，故选项C不符合题意；
D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形
ABCD的周长为（ ）cm．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
【分析】设∠A 的平分线交 BC 于点 E，可证明 AB＝EB，再分两种情况讨论，一是 EB＝
4cm，EC＝3cm，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm；二是EB＝3cm，EC＝4cm时，则AB＝EB
＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝4cm，EC＝3cm时，如图1，
则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm，
∴2AB+2BC＝2×4+2×7＝22（cm）；
当EB＝3cm，EC＝4cm时，如图2，
则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，
∴2AB+2BC＝2×3+2×7＝20（cm），
∴平行四边形ABCD的周长为22cm或20cm，
故选：D．
5．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出 BC，然后由菱形的面积
即可得出结果．
【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵菱形ABCD的面积＝ ×6×8＝24，
∴AH＝ ，
故选：C．
6．如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝
4，若菱形ABCD的面积为32 ，则CD的长为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得 AC长，再根据勾股定理求
得CD长．
【解答】解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝ ，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝ （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，由 得，
＝32 ，
∴AC＝8 ，
∴OC＝ ＝4 ，
∴CD＝ ＝8，
故选C．
7．如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P．则下列结论
不成立的是（ ）
A．AE＝DF B．PC＝PD
C．AE⊥DF D．S ＝S
△ADP 四边形PFBE
【分析】先利用SAS证明△AFD≌△BEA即可得到AE＝DF，∠FDA＝∠EAB，S ＝S 进而
△AFD △BEA
推出∠EAB+∠AFD＝90°，S ＝S ，即可判断A、C、D，而B无法证明即成立，由
△ADP 四边形PFBE
此即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴AF＝BE，
∴△AFD≌△BEA（SAS），
∴AE＝DF，选项A正确，不符合题意；
∴∠FDA＝∠EAB，
又∵∠FDA+∠AFD＝90°，
∴∠EAB+∠AFD＝90°，∴∠APF＝90°，AE⊥DF，选项C正确，不符合题意：
由△AFD≌△BEA得S ＝S ，
△AFD △BEA
∴S ﹣S ＝S ﹣S ，即S ＝S ，选项D正确：
△AFD △APF △BEA △APF △ADP 四边形PFBE
只有选项B无法证明其成立，
故选：B．
8．如图，在菱形 ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形
CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
A．5.5 B．4 C．2 D．6
【分析】由菱形的性质得AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得AF＝
FO＝OE＝AE，OH＝CH＝GC＝GO，再证四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，
∵AE＝AF，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
∵AE＝AF，
∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，
解得：AE＝5.5，
故选：A．9．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作 CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与
A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（ ）
①∠DCF＝ ∠BCD；②EF＝CF；③S ＜2S ；④∠DFE＝4∠AEF
△BEC △CEF
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与
性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝ ∠BCD，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DMF中，
，∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝ EM＝FE，故②正确；
∵EF＝FM，
∴S ＝S ，即S ＝2S ，
△EFC △CFM △ECM △CEF
∵△AEF≌△DMF，
∴S ＝S ，
△AEF △DMF
∴S ＝S ，
△ECM 四边形AECD
∵S ＜S ，
△ABC 四边形AECD
故S ＜2S ；，
△ABC △CEF
∵S ＜S ，
△BEC △ABC
∴S ＜2S ；
△BEC △CEF
故③成立；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正确．
正确的有①②③，
故选：B．10．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，
PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接 AC，PB，AC 交 BD 于 O，根据 S ＝S +S ，从而 BE•OC＝ BE•PR+
△BCE △BPC △BPE
，进一步得出结论．
【解答】解：如图，
连接AC，PB，AC交BD于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝ BC＝ ，
∴OC＝ AC＝ ，
∵S ＝S +S ，
△BCE △BPC △BPE∴ BE•OC＝ BE•PR+ ，
∵BC＝BE，
∴BE•OC＝BE•PR+BE•PQ，
∴PR+PQ＝OC＝ ，
故选：A．
二．填空题：
11．如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为
60° ， 120° ．
【分析】证明△ACD是等边三角形，则∠D＝60°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝ ＝10（cm），AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
又∵AC＝10cm，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠DAB＝120°，
故答案为：60°，120°．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，2AM＝3MD，点E、F分别是BM、CM的
中点，若EF＝5，则AM的长为 6 ．【分析】先证EF是△BCM的中位线，得出EF＝ BC，则BC＝10，再由平行四边形的性质得
AD＝BC＝10，然后由2AM＝3DM，推出AD＝ AM，即可得出答案．
【解答】解：∵点E、F分别是BM、CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∴EF＝ BC，
∴BC＝2EF＝2×5＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，
∵2AM＝3DM，
∴DM＝ AM，
∴AD＝AM+DM＝AM+ AM＝ AM，
∴ AM＝10，
∴AM＝6，
故答案为：6．
13．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，
她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 5 ．【分析】根据菱形的性质得出 AB＝BC，求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质
得出AB＝BC＝AC＝5，根据旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，再根据勾股定理求出
A′C′即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AC＝5，
∴AB＝BC＝5，
∵四边形A′B′C′D′为正方形，
∴∠A′B′C′＝90°，
由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，
∴A′C′＝ ＝5 ，
故答案为：5 ．
14．如图，菱形 ABCD的周长为 20，面积为 24，P是对角线 BD上一点，分别作 P点到直线
AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 4. 8 ．
【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S ＝12.5，进而利用三角形面积求法得
△ABD
出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S ＝12，
△ABD
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴ ×AB×PE+ ×PF×AD＝12，∴ ×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ．点D为边AB上一个动点，作
DE⊥BC、DF⊥AC，垂足为E、F，连结EF．则EF长度的最小值为 ．
【分析】解直角三角形求出AC和AB，求出四边形CFDE是矩形，根据矩形的性质得出CD＝
EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，此时EF有最小值，根据三角形的面积公式求出CD长几颗．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ，
∴AC＝ ＝2，AB＝2AC＝4，
连接CD，
∵DF⊥AC，∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
当CD⊥AB时，CD长最小，此时EF有最小值，
∵S ＝ ＝ ，
△ACB
∴ ＝ CD，
∴CD＝ ，
∴EF长度的最小值是 ，故答案为： ．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝ ，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，
则AG的长为 ．
【分析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理即
可得到结论．
【解答】解：过E作EH⊥AG于H，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AE平分∠BAG交BC于点E，
∴BE＝EH，
在Rt△ABE与Rt△AHE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AH＝AB＝8，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴EH＝CE，
在Rt△EHG与Rt△ECG中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴GH＝CG＝ ，∴AG＝AH+GH＝8+ ＝ ，
故答案为： ．
三．解答题：
17．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）由（1）中全等三角形的对应角相等推知：∠AEB＝∠DFC＝140°，则∠DEA＝40°；
然后根据等腰△ADE的性质和三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵BE＝DF，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，则∠AEB＝∠DFC＝140°．∴∠DEA＝40°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠DEA＝40°．
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝100°．
18．如图，在正方形 ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点 F在BC的延长线上，且 BE＝
EF．
（1）求证：DE＝EF；
（2）若BE＝3，求DF的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形证明AB＝CB＝AD＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，即可
证明△BCE≌△DCE，得BE＝DE，而BE＝EF，所以DE＝EF；
（2）先证明∠DCF＝90°，∠CFE＝∠CDE＝∠CBE，则∠CDE+∠DGE＝∠CFE+∠FGC＝
90°，得∠DEF＝90°，即可根据勾股定理求出DF的长．
【解答】（1）证明：如图，设EF交CD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC＝45°，∠DCE＝∠DAC＝45°，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE，∵BE＝EF，
∴DE＝EF．
（2）解：∵∠CBE＝∠CDE，∠CBE＝∠CFE，
∴∠CDE＝∠CFE，
∵∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，∠DGE＝∠FGC，
∴∠CDE+∠DGE＝∠CFE+∠FGC＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∵BE＝EF＝DE＝3，
∴DF＝ ＝ ＝3 ，
∴DF的长是3 ．
19．如图，已知平行四边形ABCD中，延长AB至点E，使BE＝AB，连接BD和CE．
（1）求证：△DAB≌△CBE
（2）请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件，使四边形DBEC成为菱形；请结合补充
条件证明；
【分析】（1）由“SAS”可证△DAB≌△CBE；
（2）先证四边形DBEC是平行四边形，通过证明△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝BE，
可得结论．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠CBE＝∠DAB，在△DAB和△CBE中，
，
∴△DAB≌△CBE（SAS）；
（2）补充条件为：AB＝AD且∠A＝60°．
证明：∵平行四边形ABCD，
∴DC∥BE，DC＝AB＝BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∵AB＝AD且∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
又∵BE＝AB，
∴BD＝BE，
∴平行四边形DBEC是菱形．
20．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于
点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．
【分析】（1）由“AAS”证△AOE≌△COF，得OF＝OE，证出四边形 AFCE是平行四边形，
再证CE＝CF，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得出OE＝ AO＝ ，则EF＝2OE＝2 ，由菱形面
积公式即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝CO＝ AC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OE＝ AO＝ ，
∴EF＝2OE＝2 ，
∴四边形AFCE的面积＝ AC×EF＝ ×2×2 ＝2 ．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）①对角线AC，BD满足 A C ＝ 2B D 时，四边形DEBF是矩形；
②对角线AC，BD满足 AC⊥B D 时，四边形DEBF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出 OB＝OD，OA＝OC，证出OE＝OF，那么两组对角线
互相平分，得出四边形DEBF是平行四边形；
（2）①由平行四边形对角线相等即可证明四边形 ABCD是矩形；②由对角线互相垂直且平
分即可证明．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E、F分别为OA、OC的中点，
∴ ， ，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：①当AC＝2BD时，平行四边形DEBF是矩形；理由如下：
∵AC＝2BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴平行四边形DEBF是矩形；
故答案为：AC＝2BD．
②当AC⊥BD时，平行四边形DEBF是菱形；理由如下：
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴BD⊥EF，
∴平行四边形DEBF是菱形，
故答案为：AC⊥BD．
22．已知：如图，在正方形 ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且
AE＝BF．
（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；
（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；
（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质，得到∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，结合AE＝BF，证
明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质即可解决问题；
（2）根据勾股定理可得AE＝10，然后根据三角形的面积即可解决问题；
（3）证明△BAP≌△ADN（ASA），可得AN＝BP，AP＝DN，由AE＝BF，可得EN＝PF，根据
点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），可得P、E不重合，所以PN≠PF，进而可
以解决问题．
【解答】解：（1）AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，
根据勾股定理得：AE＝ ＝10，
∵S ＝ AB•BE＝ AE•BP，
△ABE
∴8×6＝10BP，
∴BP＝4.8，
∴BP的长度为4.8；（3）四边形FMNP不能成为正方形，理由如下：
由（1）知：AE⊥BF，
∴∠APF＝90°，
∵FM⊥DN，DN⊥AE，
∴∠FMN＝∠MNP＝90°，
∴四边形FMNP是矩形，
∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°，
∴∠BAP＝∠ADN，
在△BAP和△ADN中，
，
∴△BAP≌△ADN（ASA），
∴AN＝BP，AP＝DN，
∵AE＝BF，
∴AE﹣AN＝BF﹣BP，
∴EN＝PF，
∵点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），
∴P、E不重合，
∴PN≠PF，
∴四边形FMNP不能成为正方形．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C
同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．
（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始
终是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为矩形？
（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的
速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到GF
＝HE，利用内错角相等得GF∥HE，根据平行四边形的判定可得结论；
（2）如图1，连接GH，分AC﹣AE﹣CF＝8、AE+CF﹣AC＝8两种情况，列方程计算即可；
（3）连接AG、CH，判定四边形AGCH是菱形，得到AG＝CG，根据勾股定理求出 BG，得到
AB+BG的长，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝10cm，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝ AB，CH＝ CD，
∴AG＝CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
∴AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴△AGF≌△CHE（SAS），
∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH（或得∠EFG＝∠FEH），
∴GF∥HE，
∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝8cm，
∴当EF＝GH＝8cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①若AE＝CF＝2t，则EF＝10﹣4t＝8，解得：t＝0.5，
②若AE＝CF＝2t，则EF＝2t+2t﹣10＝8，解得：t＝4.5，
即当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；
（3）如图2，连接AG、CH，
∵四边形GEHF是菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∵AF＝CE
∴OA＝OC，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则BG＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝ ，
∴BG＝8﹣ ，∴AB+BG＝6+ ，
t＝ ÷2＝ ，
即t为 秒时，四边形EGFH是菱形．
