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第18章 平行四边形单元检测
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分）
1．（3分）在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．3：4：3：4 B．5：2：2：5 C．2：3：4：5 D．3：3：4：4
▱
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是：3：4：3：4．
故选：A．
▱
2．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则
菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．4 D．8
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得 BO＝OD，AO＝OC，在
Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝OD＝ AC＝2，AO＝OC＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝ ，
∴菱形的周长为4 ．
故选：C．
3．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据正方形、菱形，矩形以及平行四边形的判定定理进行判断．
【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，故本选项正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；故选：C．
4．（3分）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线
相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB
∴EH＝ BD，
同理FG＝ BD，HG＝ AC，EF＝ AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
5．（3分）已知平行四边形的两邻边长分别为18和12，若两长边的距离是6，则两短边的
距离为（ ）
A．5 B．10 C．9 D．8
【分析】根据平行四边形的面积等于底×高，可得出两短边的距离．
【解答】解：如图，由题意得，AB＝12，BC＝18，AF＝6，
则S平行四边形 ＝BC×AF＝CD×AE，即18×6＝12×AE，
解得：AE＝9．
即两短边的距离为9．
故选：C．
6．（3分）一组邻边相等的矩形是（ ）
A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．菱形【分析】根据矩形性质得出四边形是平行四边形和∠B＝90°，根据AB＝AD和正方形的
判定推出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，四边形ABCD也是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）．
故选：B．
7．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】根据正方形的判定与，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，进行逐
一判断即可．
【解答】解：A．四个角都相等的四边形是矩形，故选项A正确；
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项B错误；
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项C正确；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故选项D正确．
故选：B．
8．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，CD＝6，则
△ABO的周长是（ ）
▱
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6，再由已知
求出AO+BO的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴△ABO的周长＝AO+OB+AB＝8+6＝14．
故选：D．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，
以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为（ ）A． B． C． D．4
【分析】首先根据已知得出DE最小时D，E的位置，进而利用三角形面积求出CF的长，
进而得出答案．
【解答】解：如图所示：过点A作AN⊥CB于点N，
过点C作CF⊥AB于点F，当ED⊥AB于点D时，此时DE最小，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，AN⊥CB，
∴NB＝CN＝2，
∴AN＝ ＝4 ，
∴AN×BC＝CF×AB，
∴CF＝ ＝ ，
∵四边形CDBE是平行四边形，CF⊥AB，ED⊥AB，
∴CF＝DE＝ ．
即DE的最小值为： ．
故选：C．
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，则图中的平行四边形的
个数共有 9 个．
【分析】根据平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形；有两组
对边相互平行的四边形是平行四边形）解答．【解答】解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边 BEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF 和
ABCD都是平行四边形，共9个．
故答案是：9．
11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，∠BOE＝30°，OD＝2，
cos∠ADB＝ ．则CD＝ ．
【分析】先由已知条件求出∠ADB＝30°，再由平行四边形的性质得出∠ADB＝∠CBD
＝30°，证出OE是△BCD的中位线，得出OE∥CD，证出BC＝CD，得出四边形ABCD
是菱形，得出AC⊥BD，根据三角函数即可求出CD．
【解答】解：∵cos∠ADB＝ ，
∴∠ADB＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD＝2，
∴∠ADB＝∠CBD＝30°，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∴∠CDB＝∠BOE＝30°，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
12．（3分）如图，已知菱形 ABCD，通过测量、计算得菱形 ABCD的面积约为 2.6
cm2．（结果保留一位小数）【分析】连接AC、BD，测量出AC，BD的长，再由菱形的面积公式即可得出答案．
【解答】解：连接AC、BD，如图所示：
测量得：AC≈3.05cm，BD≈1.7m，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD≈ ×3.05×1.7≈2.6（cm2）；
故答案为：2.6．
13．（3分）若矩形的一个角的平分线分一边为 4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为
22 或 20 cm．
【分析】本题需分两种情况解答．
即矩形的一个角的平分线分一边为 4cm和3cm，或者矩形的角平分分一边为 3cm和
4cm．
当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm和3cm时，矩形的周长为 2×（3+4）+2×4＝
22cm；
当矩形的角平分分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3＝20cm．
【解答】解：分两种情况：
当矩形的一个角的平分线分一边为 4cm和3cm时，矩形的周长为 2×（3+4）+2×4＝
22cm；
当矩形的角平分分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3＝20cm．
14．（3分）如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件是：
AD ∥ BC ．（答案不唯一）
【分析】根据平行四边形的判定，可补充条件是：AD∥BC，AB＝CD，∠A+∠B＝
180°，∠C+∠D＝180°
【解答】解：根据平行四边形的判定，还需补充的一个条件是：AD∥BC（答案不唯
一）．故答案为AD∥BC．
15．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形
ABCD的周长为40，则OH的长等于 5 ．
【分析】首先求得菱形的边长，则OH是直角△AOD斜边上的中线，依据直角三角形的
性质即可求解．
【解答】解：AD＝ ×40＝10．
∵菱形ANCD中，AC⊥BD．
∴△AOD是直角三角形，
又∵H是AD的中点，
∴OH＝ AD＝ ×10＝5．
故答案是：5．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，请添加一个条
件，使得四边形EBFD为平行四边形，则添加的条件是 FC ＝ AE （答案不唯一，添
加一个即可）．
【分析】根据平行四边形的性质可得 DC＝AB，DC∥AB，添加FC＝AE，即可得DF＝
BE，进而可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵FC＝AE，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形EBFD为平行四边形．
故答案为：FC＝AE．
17．（3分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝
6，DB＝8，则四边形ABCD的周长为 2 0 ．【分析】首先根据平行四边形的对角线互相平分，求得OA＝3，OB＝4．在三角形AOB
中，根据勾股定理的逆定理可判定三角形AOB是直角三角形．再根据对角线互相垂直
的平行四边形是菱形，得到四边形ABCD是菱形．根据菱形的四条边都相等，从而求得
该四边形的周长．
【解答】解：由平行四边形的性质得：OA＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，
在△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形，
故此四边形的周长为20．
故答案为：20．
18．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线
段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中
点，则EF长度的最大值为 3 ．
【分析】根据三角形的中位线定理得出 EF＝ DN，从而可知DN最大时，EF最大，因
为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN＝DB＝6，从而求得EF的最大值
为3．
【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝ DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝ ＝6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．三、解答题（本题共计7小题，共计66分，）
19．（9分）在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足
为E，DE＝6cm，求BC的长．
【分析】利用三角形的中位线定理求解即可．
【解答】解：连接CD．
∵∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AD，
∵DE⊥AC，
∴AE＝EC，
∴BC＝2DE＝12cm．
20．（9分）如图，已知平行四边形 ABCD中，∠BCD＝90°，CE⊥BD于E，CF平分
∠DCE与DB交于点F，
（1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF．
【分析】（1）要求证：BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明
∠BCE＝∠BDC就可以；
（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，
根据三角形的面积等于 BD•CE＝ BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可
以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股
定理就可以求出，由此解决问题．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC＝90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．
又∵∠DCF＝∠ECF，
∴∠CFB＝∠CDB+∠DCF＝∠ECB+∠ECF＝∠BCF．
∴BF＝BC；
（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝ ＝ ＝5．
又∵BD•CE＝BC•DC，
∴CE＝ ＝ ．
∴BE＝ ＝ ＝ ．
∴EF＝BF﹣BE＝3﹣ ＝ ．
∴CF＝ ＝ ＝ cm．
21．（9分）如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过
点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．
【分析】（1）由条件可证得四边形 CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得
∠COD＝90°，则可证得四边形CODE为矩形；
（2）由菱形的性质可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，则可求得OD的长，
则可求得答案．
【解答】（1）证明：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形CODE是矩形；
（2）解：
∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝OC＝ AC＝ ×6＝3，OD＝OB，∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝ ＝4，
∴DO＝BO＝4，
∴四边形CODE的周长＝2×（3+4）＝14．
22．（9分）如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝ ，AO＝2，OB＝
1．
▱
求证：
（1）AC⊥BD；
（2） ABCD是菱形．
▱
【分析】（1）根据AB＝ ，AO＝2，OB＝1利用勾股定理的逆定理可判断出△AOB
的形状，证得AC⊥BD；
（2）再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
【解答】解：（1） ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝ ，AO＝2，OB
＝1，
▱
∵（ ）2＝22+12，即AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴AC⊥BD；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
23．（9分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE．
求证：四边形BCED为矩形．
【分析】要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE又DE＝BC．
∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中，
∵AC＝AB，AD＝AE，∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝∠BAE，
∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD＝BE．
∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与边AD、BC相交
于E、F，垂足为O，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AFCE的边长．
【分析】（1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线
平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO＝CO，
且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形 AOE与三角形
COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE＝FC，由一组对边平行且相等的四边
形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可
得证；
（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾
股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据
对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BCA，∠AEF＝∠CFE，
∵EF垂直平分对角线AC，
∴OA＝OC，EF⊥EC，
∴△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵∠AOF＝90°，∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
在Rt△ABF中，设AF＝FC＝x，则BF＝8﹣x
∴AB2+BF2＝AF2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴菱形AFCE的边长等于5．
25．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，
运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q
的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；
（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是 15 cm，面积是
cm2．
【分析】（1）根据题意用t表示出BQ、AP、CQ，根据矩形的判定定理列出方程，解
方程得到答案；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形、勾股定理列式计算即可；
（3）根据（2）中求出的t的值，求出CQ，根据菱形的周长公式、面积公式计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，
解得，t＝3，
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，
即 ＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，
解得，t＝ ，故当t＝ 时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝ 时，CQ＝6﹣t＝ ，
∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4× ＝15，
菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝ ×3＝ ，
故答案为：15； ．
