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平行四边形的判定
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·荆门中考)四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,给出
下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.
从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
2.若以 A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点要画平行四边形,则第
四个顶点不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2013·鄂州中考)如图,已知直线 a∥b,且 a 与 b 之间
的距离为 4,点 A 到直线 a 的距离为 2,点 B 到直线 b 的距
离为 3,AB=2 .试在直线 a 上找一点 M,在直线 b 上找
一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小,则此时AM+NB=( )A.6 B.8 C.10 D.12
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·三明中考)如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,请你添加一个
条件,使得四边形ABCD成为平行四边形,你添加的条件是 .
5.如图,在平行四边形ABCD中,AE=CG,DH=BF,连接EF,FG,GH,HE,则四
边形EFGH是 .
6.(2013·十堰中考)如图, ABCD 中,∠ABC=60°,E,F 分别在 CD 和
▱
BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF= ,则AB的长是 .三、解答题(共26分)
7.(8 分)在 ABCD 中,分别以 AD,BC 为边向内作等边△ADE 和等边
▱
△BCF,连接BE,DF.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
8.(8 分)如图所示,AB,CD 交于点 O,AC∥DB,AO=BO,E,F 分别为 OC,OD
的中点,连接AF,BE,求证AF∥BE.
【拓展延伸】9.(10 分)如图 1,在△OAB 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以 OB
为一边,在△OAB外作等边三角形 OBC,D是OB的中点,连接AD并延长
交OC于E.
(1)求点B的坐标.
(2)求证:四边形ABCE是平行四边形.
(3)如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为
FG,求OG的长.
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答案解析1.【解析】选 B.从四个条件中任选两个,共有 6 种选法.若选②、③
或选②、④,则不能使四边形 ABCD 是平行四边形.其他 4 种选法,即
选①、②或①、③或①、④或③、④,则均能使四边形 ABCD 为平行
四边形.
2.【解析】选C.根据题意画出图形,如图所示:
分三种情况考虑:①以 CB 为对角线作平行四边形 ABD C,此时第四个
1
顶点D 落在第一象限;
1
②以AC为对角线作平行四边形 ABCD ,此时第四个顶点 D 落在第二象
2 2
限;
③以AB为对角线作平行四边形 ACBD ,此时第四个顶点 D 落在第四象
3 3
限,则第四个顶点不可能落在第三象限.
3.【解析】选 B.作点 A 关于直线 a 的对称点 A',连接
A'B 交直线 b 于点 N,过点 N 作 NM⊥直线 a,连接 AM,此
时AM+MN+NB的值最小.
∵A到直线a的距离为2,a与b之间的距离为4,
∴AA'=MN=4,
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∴四边形AA'NM是平行四边形,
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∴AM+NB=A'N+NB=A'B,
过 点 B 作 BE⊥ AA', 交 AA' 于 点 E, 易 得 AE=2+4+3=9,AB=2
,A'E=2+3=5,
在Rt△AEB中,BE= = ,
在Rt△A'EB中,A'B= =8.
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4.【解析】已知 AB∥CD,可根据有一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形来判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定.
答案:AB=CD(答案不唯一)
5.【解析】易证△AHE≌△CFG,△DHG≌△BFE,
∴HE=FG,EF=GH,四边形EFGH是平行四边形.
答案:平行四边形
6.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=CD.∵AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点.
∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°.
∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60°,∴∠CEF=30°.
∵EF= ,∴CE=2,∴AB=1.
答案:1
7.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形,
∴DE=BF,AE=CF,∠DAE=∠BCF=60°.∵∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE,
∴∠DCF=∠BAE.∴△DCF≌△BAE(SAS).
∴DF=BE.∴四边形BEDF是平行四边形.
8.【证明】如图所示,连接 AD,CB,AE,BF,∵AC∥DB,∴∠1=∠2.又
∵AO=BO,∠3=∠4,∴△ACO≌△BDO(AAS).∴AC=DB.∴四边形ADBC是
平行四边形.∴OC=OD.
∵ 点 E,F 分 别 为 OC,OD 的 中 点 ,∴ OE= OC,OF=
OD.∴OE=OF.∵OA=OB,∴四边形AFBE是平行四边形.∴AF∥BE.
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9.【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8,
∴AB=4,OA=4 ,∴B(4 ,4).
(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8.∵D点为OB的中点,∴OD=4.
又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,
∴AD= OB=OD,
∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.
又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,
∴OE=4,∴E(0,4),
∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB,
∴四边形ABCE是平行四边形.
(3)∵GA=GC,∴GA2=GC2.
即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(4 )2=(8-OG)2,∴OG=1.
