文档内容
第18 章 平行四边形（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点一】平行四边形
1.平行四边形定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.
2.平行四边形性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
（2）角：对角相等，邻角互补.
（3）对角线：互相平分.
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分层全等的两部分图形.
3.平行四边形判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4.平行四边形的面积
平行四边形的面积=底×高.
5.两条平行线间的距离
在两条平行线中，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等.
【要点二】矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质
（1）边：对边平行且相等.
（2）角：四个角都是直角.
（3）对角线：对角线相等且互相平分，
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.
3.矩形的判定
（1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形.
【要点三】菱形
1.菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质（1）边：四条边都相等.
对边平行.
（2）角：对角相等.
（3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角.
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.
3.菱形的判定
（1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形.
（3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形.
4.菱形的面积
菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.
即
【要点四】正方形
1.正方形的定义
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的性质
（1）边：四条边都相等.
对边平行.
（2）角：四个角都是直角.
（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边
的夹角为45°）.
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴.
3.正方形的判定
（1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形.
（2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形.
（3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形.
（4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
（5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平行四边形ABCD中， ,则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知 ，添加下列条件，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．3．在菱形 中，对角线 和 相交于点 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
5．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点E，连接 ，若
， ，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位： ）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻
度2和8，D为 的中点，若 ，则， 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点 在 的边 上，连接 ，作 交 于点 ，点 是 的中点，且
，若 ，则 的长为（ ）A．10 B．9 C． D．8
8．如图，在长方形内画了一些线段，有3块面积分别为321、9、123的四边形、三角形、三角形，那
么图中阴影部分的面积是（ ）
A．453 B．624 C．642 D．660
9．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以 的三条边为边长向外作正方形 ，正
方形 ，正方形 ，连接 ．若 ，则 的面积为（ ）
A．40 B．32 C．24 D．18
10．如图，在 中，点M，N分别是 上的点，且 ，其交点为P，设
，则（ ）．
A． B． C． D．不能确定二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图,在平行四边形ABCD中,以顶点A为圆心,AD长为半径,在AB边上截取AE=AD,用尺规作图法作
出∠BAD的角平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是 ．
12．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则 的长是
．
13．如图，在平行四边形 中，点E在边 上，连接 并延长至点F，使 ，连接
并延长至点G，使 ，连接 若 ， ，则 的度数为
14．如图，菱形 中，对角线 与 相交于点O，若 ， ，则 的长为
．
15．如图，菱形 的边长为2， ， 是 边上一点，将三角形 沿 翻折，点
落在点 处， 交 于点 ，则 的长为 ．16．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形 ，连接 ，点
M在点B的左侧的数轴上， ，则点M表示的数是 ．
17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图
所示，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ，过点D作 的垂线交小正方
形对角线 的延长线于点G，连结 ，延长 交 于点H．若 ，则 的值为 ．
18．如图，正方形 的边长为2． 为与点 不重合的动点，以 为一边作正方形 ．设
，点 、 与点 的距离分别为 、 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在平行四边形 中，E，F是对角线 上两个点，且 ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
20．（8分）如图，在 中，过点D作 于点E，点F在边 上， ，连接
．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）已知 ， 是 的平分线，若 ，求 的长度．
21．（10分）如图，平行四边形 的对角线 相交于点O， ．（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，试探究四边形 的形状．
22．（10分）如图所示，在 中，点O是 边上一个动点，过点O作直线 ，设
交 的平分线 于点E，交 的外角平分线 于点F．
（1）求证： ．
（2）当点O运动到何处时，四边形 是矩形？并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下， 满足什么条件时，四边形 是正方形，并证明你的结论．23．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接
CD．
（1）求证：AO＝EO；
（2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．
24．（12分）（1）如下页图（1），四边形 是矩形，O，B，D三点的坐标分别是
．求点C的坐标．
（2）如下页图（2），四边形 是菱形，C，D两点的坐标分别是 ，点A，B在坐标轴
上，求A，B两点的坐标．
（3）如下页图（3），四边形 是正方形，O，D两点的坐标分别是 ．求B，C两点
的坐标．参考答案：
1．B
【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合题目条件对角的和为 ，即可求得 的度数．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选:B．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键．
2．C
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．掌握平行四
边形的判定方法，是解题的关键．
解：A、 ，
，
，，
，
四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、 ，
，不能判定四边形 是平行四边形，故选项C符合题意；
D、 ，
，
又∵ ，
四边形 是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形的性质得到 ，利用勾股定理得出 ，即可得
出结论．
解： 是菱形， ， ，
，
，
，
，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行四边形及特殊的平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，本选项符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边
上的中线性质求得 ，由菱形的性质得出 ， ， ，则 ，由直
角三角形斜边上的中线性质得出 ，再由菱形的面积求出 ，即可得出答案．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵菱形的面积 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可．
解：根据题意得： ，
∵D为 的中点， ，
∴ ，
故选：A．7．B
【分析】延长 交 于点 ，可推出四边形 是平行四边形，得 ；根据“点 是
的中点”可得 、 ，设 ，根据 即可求解．
解：延长 交 于点 ，如图：
∵ ， ，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∵点 是 的中点且 ，
，
∵点 是 的中点且 ，
，
，
设 ，
，
解得： ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线定理、等腰三角形的性质等，熟记相关知识点
是解题关键．
8．A
【分析】本题考查了矩形的性质和面积，根据长方形的面积等于 与 的面积和，得
与 重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即 解答
即可．
解：如图：∵长方形的面积等于 与 的面积和，∴ 与 重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即：
.
故选A.
9．B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出
辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．延长 ，过点E作 于点M，证明
，得出 ，根据三角形面积公式求出 ．
解：延长 ，过点E作 于点M，如图所示：
则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的判定定理．连接 ，作 于点
E， 于点F．根据平行四边形的性质可得 ，从而得到 ，再由角平
分线的判定定理，即可求解．
解：连接 ，作 于点E， 于点F．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：B
11．8
【分析】首先证明线段AG与线段DE互相垂直平分，利用勾股定理求出AH即可解决问题；
解：分别以D和E作为圆心，以略长于EH的长度为半径作弧，交于点F，连接AF并延长，交CD于
G，则AG即为∠BAD的角平分线，设AG交BD于H，则AG垂直平分线线段DE（等腰三角形三线合一），
∴DH=EH=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AGD=∠GAB，
∵∠DAG=∠GAB，
∴∠DAG=∠DGA，
∴DA=DG，
∵DE⊥AG，
∴AH=GH（等腰三角形三线合一），
在Rt△ADH中，AH= ，
∴AG=2AH=8，
故答案为8．
【点拨】本题考查作图-复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；
12．4
【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，推出OA＝
OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝2，即可得出答案．
解：∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴AC＝2AO＝4
故答案为：4．
【点拨】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的
长．
13．
【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题
的关键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．
解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
， ，
是 是中位线，
，
故答案为：
14．8
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分得到
，利用勾股定理求出 ，则 ．
解：∵菱形 中，对角线 与 相交于点O，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
15． /【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．设 ，根据菱形的性质可得
，再根据折叠的性质可得 ， 是等腰直角三角形，从而得到
，再由 ，求出x的值，即可求解．
解：设 ，
∵菱形 的边长为2， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∵ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
∴ ．
故答案为：
16． /
【分析】本题考查实数与数轴，正方形的性质，先根据勾股定理计算 的长，可得 ，再确
定 点表示的数．
解：由勾股定理得正方形对角线 的长度为： ，
∴ ，∴ ，
又∵点M在原点O的左侧，
∴点M表示的数为： ，
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的判定以及性质和勾股定理，过点G作 交 的延长
线于点T，设 与 交于点M， 交 的延长线于点N，设 ，则 ，由 ，
可得四边形 是矩形，由 证得四边形 是正方形，从而 ，
，由勾股定理求得 和 ，即可求出答案．
解：过点G作 交 的延长线于点T，设 与 交于点M， 交 的延长线于点N，
如图所示∶
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ， ，根据勾股定理，得
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接 、 、 ，证
可得 ，当 、 、 、 四点共线时，即得最小值；
解：如图，连接 、 、 ，
∵
∴
在 和 中，
∵
∴
∴
∴当 时，最小，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由平行四边形的性质可得 、 即 ，然后证得
即可证明结论；
（2）由 可得 ，进而求得 ，再根据 可得 ，
最后根据三角形内角和定理即可解答．
解：（1）证明：∵平行四边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，
灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
20．（1）见分析；（2）【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再结合 证明为矩形；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质求出 ，再用勾股定理求出 ，结合矩形的性质可得
， ，再解 求出 即可．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∵ ，
∴ 且
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形
∴ ， ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理
等，综合应用上述知识是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）四边形 为菱形，理由见分析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，再利用等式的性质可得 ，然后再利用 判定 即可；
（2）根据 可得四边形 是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形
是菱形可得四边形 为菱形．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：四边形 为菱形，
理由：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是
平行四边形．
22．（1）见分析；（2）当点O运动到 的中点时，四边形 是矩形；（3） 满足
的直角三角形时，四边形 是正方形．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出 ， ，得出 ，同理得出
，即可得出结论；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）当点O运动到 的中点时，且 满足 的直角三角形时，四边形 是正方
形．由（2）知，当点O运动到 的中点时，四边形 是矩形，由平行线的性质得出 ，
得出 ，即可证明．
（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ；
（2）解：当点O运动到 的中点时，四边形 是矩形．
∵当点O运动到 的中点时， ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：当点O运动到 的中点时，且 满足 的直角三角形时，四边形 是
正方形．
∵由（2）知，当点O运动到 的中点时，四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
【点拨】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
23．（1）见分析；（2）平行四边形，理由见分析
【分析】（1）△AOB≌△EOB，即可得到结论；
（2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=AB，根据垂直
平分线的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AD=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论．
解：（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠EBO，
∵AE⊥BD，
∴∠AOB=∠EOB=90°，
∵BO=BO，
∴△AOB≌△EOB，
∴AO=EO；
（2）平行四边形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠BCD，
∵∠ABD=∠EBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∵OA=OE，OB⊥AE，
∴AB=BE，
∴AD=BE，
∵BE=CE，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴AD=EC，
∵AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
【点拨】考查等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关
键．
24．（1） ；（2） ；（3）【分析】（1）利用矩形的性质（矩形的对边相等）求出CD、CB即可得出点B的坐标；
（2）利用菱形的性质（对角线互相垂直平分）求出OA、OB即可得出点A、B的坐标；
（3）利用正方形的性质（正方形的四条边都相等）求出OB、BC、CD即可得出点B、C的坐标．
解：
（1）如图（1）所示：
点 ， ，
∵
， ，
∴四边形OBCD是矩形，
∵ ， ，
∴
点 ；
∴
（2）如图（2）所示：
四边形ABCD是菱形，
∵ ， ，
∴
点 ， ，
∵
， ，
∴
点 ，点 ；
∴
（ ）如图（3）所示：
四3边形OBCD是正方形，
∵ ，
∴
点 ，
∵
，
∴ ，
∴点 ，点 ．
∴
【点拨】题目主要考查了矩形、菱形、正方形的基本性质，解题的关键在于熟练掌握基础知识，并运
用于题目中．
