文档内容
21.2.1 直接开平方法
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一
元一次方程．
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然
后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形
如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=
（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移
动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P 、Q都从
B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
C
Q
A P B
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老师点评：
p p
问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ ）2 ．
2 2
问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
1
依题意，得： x·2x=8
2
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
2
即x =2 ，x =-2
1 2 2 2
11
可以验证，2 2 和-2 2 都是方程 x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
2
所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2．
2
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2 ，如果x换元为
2
2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
2
即2t+1=2 ，2t+1=-2
2 2
1 1
方程的两根为t = 2 - ，t =- 2 -
1 2 2 2
例1：解方程：x2+4x+4=1
分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x =-1，x =-3
1 2
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房
面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为 x．一年后人均住房面积就应该是 10+1 0x=10
（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x =0.2=20%，x =-2.2
1 2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x =-2.2应舍去．
2
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想
称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
教材练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月
份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是
（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
2那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
1 3
（1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2．56
2 2
3 3 3
x+ =±1.6，即x+ =1.6，x+ =-1.6
2 2 2
方程的根为x =10%，x =-3.1
1 2
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=± 转化为应用直接开平方法解形如
p
（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± ，达到降次转化之目的．
p
六、布置作业
1．教材复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
2
3．用配方法解方程x2- x+1=0正确的解法是（ ）．
3
A．（x- 1）2= 8，x= 1 ±2 2
3 9 3 3
1 8
B．（x- ）2=- ，原方程无解
3 9
C．（x- 2 ）2= 5，x = 2 + 5 ，x =2 5
1 2
3 9 3 3 3
2 5 1
D．（x- ）2=1，x = ，x =-
3 1 3 2 3
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足 +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
3a4
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
32．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，
木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩
形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
答案:
一、1．B 2．D 3．B
二、1．± 2．9或-3 3．-8
2
三、1．当n≥0时，x+m=± ，x = -m，x =- -m．当n<0时，无解
n 1 n 2 n
2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，
依题意，得：x（40-2x）=180
整理，得：x2-20x+90=0，x =10+ ，x =10- ；
1 10 2 10
同理x（40-2x）=200，x =x =10，长为40-20=20．
1 2
（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，
b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
3．因要制矩形方框，面积尽可能大，
所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．
4
