文档内容
专题 03 平行四边形
（考题猜想，10 种易错重难点与解题模型 47 题）
题型一：证明平行四边形（易错）
1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在 中， ， 交于点O， 于E， 交
于F，求证：四边形 是矩形．
【答案】见解析
【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和
判定证明
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质；熟练掌握矩形的判定，证明三
角形全等是解决问题的关键．
由 证明 ，得出对应边相等 ，证出四边形 为平行四边形，再由 求
出 ，根据矩形的判定得出即可．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
四边形 为矩形．
2．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，求证：四边
形 是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们
之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．由四边形 是平行四边形，即可得
， ，又由 、 分别为边 、 的中点，可得四边形 是平行四边形，进而得出
答案．
【详解】证明：因为四边形 是平行四边形，
所以 ， ．
又因为 、 分别是 、 的中点，
所以 ， ，
则 ．
又 ，
所以四边形 是平行四边形．
3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形 的对角线 相交于点O， 平分
， ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟
记菱形的判定与性质是解本题的关键；
（1）证明 ，结合平行四边形的性质证明 ，可得 ，从而可得结论；
（2）证明 ，四边形 是矩形，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵平行四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形
∵ ，
∴四边形 是矩形，∴ ．
4．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形 中，点 是 的中点，延长 至点 ，使得
，连接 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 平分 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由矩形的性质可得 ， ， ，由两直线平行内错角相等可得
，利用线段中点的有关计算及已知条件 可得 ，由对顶角相等可得
，利用 可证得 ，于是可得 ，进而可证得四边形
是平行四边形，由于 ，于是结论得证；
（2）由 平分 可得 ，由矩形的性质可得 ， ， ，
，由两直线平行内错角相等可得 ，进而可得 ，由等角对等边可
得 ，利用线段中点的有关计算及已知条件 可得 ，于是可得
，利用勾股定理可得 ，进而可得 ，由（1）可得
，于是可得 ，利用菱形的性质可得 ，据此即可得出答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
点 是 的中点， ，
，又 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形；
（2）解： 平分 ，
，
四边形 是矩形，
， ， ， ，
，
，
，
点 是 的中点， ，
，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
菱形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等
三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等
知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形 中，过点D作 于点E，点
F在边 上，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 平分 ， ， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、等
腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分
线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证；
（2）先证明 ，由平行四边形的性质，得到 ，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）∵平行四边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知：四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
6．（23-24八年级下·广东江门·期中）综合与实践
如图，在 中， ，过点C的直线 ，D为 边上一点，过点D作 ，
交直线 于点E，垂足为点F，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当D在AB中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在（2）的条件下，当 _____ 时，四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形；理由见解析
(3)45
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是正方形、证明四边
形是菱形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与
性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）由题意得出 ，结合 即可证明四边形 是平行四边形；
（2）先证明四边形 是平行四边形，结合 即可得出四边形 是菱形；
（3）当 时，求出 ，结合菱形的性质求出 即可解
答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 中， ，过点C的直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：四边形 是菱形；理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，D在 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：当 时，四边形 是正方形；理由如下：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
答案为：45．
题型二：60°菱形问题（易错）
7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
交于点O，若四边形 是矩形， 交 于点F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质：
（1）先证明四边形 是平行四边形，矩形的性质得到 ，即可得证；
（2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出 的长，利用菱形的面积公式求解
即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积
8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在菱形 中， 为对角线， 是 上的点，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、用勾股定理
解三角形
【分析】（1）利用菱形的性质中每一条对角线平分一组对角且四条边都相等证得 即可求解；
（2）连接 交 于点 ，利用菱形的性质推得 是等边三角形，通过勾股定理求得 ，
再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，即可求出 的长．
【详解】（1）解： 四边形 是菱形， 为对角线，
， ，
在 和 中，
，
，
．
（2）解：如图，连接 交 于点 ，四边形 是菱形，
， ， ， ，
，
是等边三角形，
， ，
在 中， ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，
熟练掌握菱形的性质等知识是解题关键．
9．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点 是菱形 对角线 上任意一点，连接 ， ，
．点 是 延长线上一点，连接 ，交 于点 ，且 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，请直接写出 ， ， 的数量关系，不需要证明．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、全等的性质
和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性
质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接 ，证明 得出 ，再由等边对等角得出 ，由平行
线的性质结合三角形内角和定理得出 ，即可得出答案；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ， ，再证明 为等边三角形，得出 ，即可得解．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，
如图，在 上截取 ，连接 ，
，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ，
∴ 、 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
．
10．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形 的边长为2， ，点 、 分别
是边 、 上的两个动点， ，连接 ．
(1) 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在 运动的过程中，四边形 的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明
理由．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)不发生变化，
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）连接 ，证明 ，推出 可得结论；
（2）利用全等三角形的性质得到四边形 的面积是边长为2的等边三角形的面积即可得到结论．
【详解】（1）是，理由如下：
如图，连接 ，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∴ ， 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）四边形 的面积不发生变化，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即四边形 的面积是边长为2的等边三角形的面积，
∴ 不发生变化，
过点A作 于点H，
由（1）得： 是等边三角形，则有： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴
11．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在 中， ， 是 的中点，过点 作
，且 ，连接 ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于
斜边的一半
【分析】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握各
定理是解题的关键：
（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；
（2）过E作 交 的延长线于F，根据菱形的性质及 ，得到 是等边三角形，求
得 ，利用勾股定理在 中， 求出 ，在 中，求出
．
【详解】（1）证明：∵ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵在 中， ， 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）过E作 交 的延长线于F，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，∴ ，
在 中， ， ，
∴ ．
题型三：四边形中折叠问题（难点）
12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图．将长方形 沿着对角线 折叠，使点C落在 处，
交 于点E．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见详解
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查矩形的折叠、勾股定理，等腰三角形的性质和判定，熟记矩形的性质并根据勾股定
理列方程求解是解题关键．
（1）利用折叠的性质及等角对等边解决问题即可．
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
由折叠可知， ，
∵在长方形 中， ，
，
，
，
即 是等腰三角形；
（2）解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得：
即 ，
解得： ，
∴ ，∴ ；
13．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在矩形 中，若点E是线段 上的一动点，将 沿直线
翻折，C点的对应点为F点．
(1)若点F落在矩形内，且满足 ，请用尺规在图1中作出F点（尺规作图，要求保留作图痕迹，不
必写作法）．
(2)如图2，已知 ， ，若点F恰好落在线段 上，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、二次根式的混合运算、作线段(尺规作图)
【分析】（1）分别以 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ，F点即为所作；
（2）设 ，过 作 于点 ，交 于点 ，求出 ， ，然后在
中，利用勾股定理构建方程，求解即可．
【详解】（1）解：所作图形如图所示，
；
（2）解：由折叠的性质得 ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
，
解得： ，
即 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，尺规作图，二次根式的混合运算等知识，作出
合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图1，矩形 ，以 边为底向内作等腰 ， ，
延长 与边 交于点 ，连接 ，把 沿 翻折，点 的对应点 恰好落在 上．
(1)① ；（用含 的式子表示）
②若 ， ，求 的长；
(2)如图2，以 边为底向外作等腰 ，且 ，连接 、 ，将 沿 翻折，点 得对
应点 恰好落在 上， ．求 得长．
【答案】(1)① ②
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、二次根式的混合运算、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解
答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）①首先推导出 ， ，利用 ，得到
，进一步解答即可；
②设 ， ，得到 ，同理 ，利用勾股定理求得
， ， ，解答即可得解；
（2）过点 作 ，在 上截取 ，连接 ，推导出 ，进而得到
，继续推导出 ， ，得到 ， ，
， ，在 中，利用勾股定理得： ， ，在 中，根据勾股
定理得： ．
【详解】（1）① 四边形 是矩形，，
，
，
由折叠的性质可知， ，
，
，
；
故答案为： ；
②设 ， ，
，
在矩形 中， ， ， ，同理 ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，
，
，
解得： ，
的长为 ；
（2）过点 作 ，在 上截取 ，连接 ，
是 为底等腰三角形，且 ，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
；
，
，将 沿 翻折，得到 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 ， ，
， ，
在 中，根据勾股定理得：
， ，
在 中， 根据勾股定理得：
15．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，将
沿 翻折至 ， 与 相交于点 ，且 ， 与 相交于点G．
(1)求证： ；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3.2
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由折叠的性质得出 ， ， ，由 证明 ，
得出 ， ，即可得出结论；
（2）设 ，则 ， ，求出 、 ，根据勾股定理得出方程，解方程求
出 ，即可得出 的长．
【详解】（1）证明 四边形 是矩形，
， ， ，由折叠可得： ，
， ， ，
在 和 中， ，
，
， ，
，
；
（2）解：设 ，则 ， ，
， ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换
和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
16．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图①，在正方形 中， 是 上的点（不与 、 重合），
连接 ，把 沿 折叠得到 ，延长 交 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图②，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，连接 ，求证： ；
(3)在图②中，判断 和 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证
明
【分析】（1） 沿 折叠得到 ，则 ， ， ，
，用 即可证明；（2）证明 ，而 ，则 为等腰直角三角形，即可求解；
（3）证明 ，则 ．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键
是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
【详解】（1）证明： 沿 折叠得到 ，则 ， ，
， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明： ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；
（3）解： ，理由：
设正方形的边长为 ，
在 上取 ，则 ，
则 ，
， ，
，
，则 ，
∴ ．
17．（23-24八年级下·陕西安康·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数
学活动．【操作判断】
(1)如图①，在正方形 中，点 是 的中点， 交 于点 ．点 是 边上的一点，连
接 ，将正方形纸片沿 所在直线折叠，点 的对应点 落在 上．已知 ，则 的
度数为______；
【深入探究】
(2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点 是边 上的一点，连接 ，将正方形纸片沿 所在直线折
叠，点 的对应点 落在 上．试探究 与 之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图③，在图②的基础上，点 ， 分别是 ， 的中点，顺次连接 、 、 、 ，若 ，
求点 ， 之间的距离．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)
【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、正方形折叠
问题
【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得 ，
，从而推出 ，即可得到答案；
（2）根据正方形的性质和折叠的性质，同（1）可得 ， ，可证
，即可得到 ；
（3）由 和正方形的性质可证四边形 是平行四边形，结合点 、 分别是 、 的
中点，从而推出四边形 是平行四边形，得到 ，设 ，则 ，然后由
， ， 得到 ，从而得到 ，利用勾股定理得到
，结合 是 的中点得到 ，从而得到方程 ，解之即可．
【详解】（1）解： 四边形ABCD是正方形，
根据折叠可知， ，
故答案为： ．（2）解： 四边形 是正方形
，
，
根据折叠可知，
同理
在 和 中
（3）解：如图，连接
由（2）可知，
，
正方形 中，
四边形 是平行四边形
点 、 分别是 、 的中点
四边形 是平行四边形
设 ，
则
，点 是 的中点
解得：
即点 、 之间的距离为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形
的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．
18．（23-24八年级下·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
(2)如图， 在正方形 中， E为 上一点， 连接 ， 过点B作 于点H， 交 于点
G， 连 ， ．
判断四边形 是否为“神奇四边形”，并说明理由；
如图2， 点M，N，P，Q分别是 ， ， ， 的中点． 判断四边形 是否是“神奇四边
形”，并说明理由：
(3)如图3， 点F，R分别在正方形 的边 ， 上， 把正方形沿直线 翻折，使得 的对应边
恰好经过点A，过点A作 于点O，若 ，正方形的边长为6，求线段 的长．【答案】(1)④
(2)①四边形 是“神奇四边形”，见解析；②四边形 是“神奇四边形”，见解析
(3)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定证明、与三角形中
位线有关的证明、正方形折叠问题
【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可；
（2）①根据正方形的性质可得 ， ，利用等量代换可得 ，证
得 ，可得 ，即可得证；
②根据三角形中位线定理可得 ， ， ， ，
从而证得四边形 是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得 ，由①可得，
，可得 ，证得四边形 是正方形，再根据正方形的性质即可得证；
（3）延长 交 于点S，由勾股定理求出 的长，设 ，则 ，再由勾股定理列
方程求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱
形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④．
（2）解：①四边形 是“神奇四边形”，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是“神奇四边形”．
②四边形 是“神奇四边形”，理由如下：
∵点M，N，P，Q分别是 ， ， ， 的中点，
∴ ， ， ， ，∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①可得， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，且 ，
∴四边形 是“神奇四边形”．
（3）解：延长 交 于点S，
由折叠的性质得， ， ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查新定义、折叠的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定
与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌
握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（23-24八年级下·江西赣州·期末）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片 对折，使得点
A、D重合，点B、C重合，折痕为 ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折
痕为 ．
（1）如图①，若 ，则当点N落在 上时， 和 的数量关系是_______； 的度数为
_____；
思考探究：
（2）在 的条件下进一步进行探究，将 沿 所在的直线折叠，点M的对应点为点 ，当
点 落在 上时，如图②，设 、 分别交 于点J、K，若 ，请求出三角形 的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在矩形纸片 中， ， ，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为 ，点A
的对应点为点N，展开后再将四边形 沿 所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点
为点 ，连接 、 ，若 ，请直接写出 的长．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）
【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、正方形折叠问
题
【分析】（1）根据折叠的性质得： ， ，根据直角三角形的性质可得 ，
由直角三角形的两锐角互余可得结论；
（2）由折叠得： ，证明 ，可知 ， ，得是等腰直角三角形，再证明四边形是 正方形，分别计算 ， ，由三角
形面积公式可得结论；
（3）如图，过点P作 于G， 于H，根据等腰三角形的三线合一可得
，由折叠的性质和矩形的性质可得 ， ，设
，则 ， ，根据 ，列方程可解答．
【详解】解：（1）由折叠得： ， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
思考探究：
（2）由折叠得： ，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形是 矩形， ，
矩形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
拓展应用：
（3）过点P作 于G， 于H，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
由折叠得： ， ，
在 中， ，
，
延长 ， 交于L，
中， ， ，
，
， ，
，
设 ， ， ，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含 角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键．
20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】
第一步：如图1，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，把纸片展平；
第二步：在 上选一点P，沿 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，根据以上
操作，当点M在 上时， ___________ ；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 按照（1）中的方式操
作，并延长 交 于点Q，连接 ，当点M在 上时，求 的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为 ，改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 折
叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，并延长 交 于点Q，连接 ．当
时，请求出 的长．
【答案】(1)30
(2)
(3) 或
【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、全等三角形综合问题、勾股定理与折叠问题
【分析】（ ）由折叠的性质得 ， ， ， ，从而得到 是
等边三角形即可求解；
（ ）同（1）可证 ，再利用折叠的性质和正方形的性质证明 ，推出
，可得 ；
（ ）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，∵对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，
∴ 垂直平分 ,
∴ ， ，
∵沿 折叠纸片，使点 落在矩形内部的点 处，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图，
同（1）可证 ，
∴ ，
在正方形 中， ， ，
由折叠知 ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图，
∵正方形 中， ，∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
设 ，由折叠知 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 ；
当点Q在点F的上方时，如图，
则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 ；
综上可知， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，
掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键．
题型四：四边形中最值问题（难点）
21．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下
列问题：(1)如图1，以菱形 的一边 为边向外作正方形 ， 、 分别是菱形和正方形的对角线交点，
连接 ．
求证：四边形 是“直等补”四边形．
②若 ，求四边形 的面积．
(2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形，其中 ， ，过点 作 于点
且 ，连接 ，若点 是线段 上的动点，请你直接写出 周长的最小值．
【答案】(1)①详见解析；②1
(2) 周长的最小值：
【知识点】四边形中的线段最值问题、全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与
判定证明
【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得 ， ， ，即
可解答；
②过点 作 于点 ， 交 的延长线于点 ，“ ”可证 ，所以
，即 ，由正方形的面积公式，即可解答；
（2）先证四边形 是正方形，利用勾股定理求出 ， ，即可解答．
【详解】（1）证明：①如图1中，四边形 是菱形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
又 ，
四边形 是“直等补”四边形；
②如图1中，过点 作 于点 ， 交 的延长线于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
即 ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
四边形 是正方形，
；
（2） 周长的最小值： ；
延长 到点 ，过 作 于点 ，四边形 是“直等补”四边形， ， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
又 ， ，
，
在 和 中， ，
，
，
矩形 是正方形，
， ；
∵ ，
即当点C、P、 三点共线时， 的最小值是 ，
在 中， ， ，
， ；
在 中， ， ，
，
周长的最小值为： ；
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．（22-23八年级下·湖北鄂州·期末）【操作发现】由 得， ；如果两个正数a，
b，即 ， ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号．例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时式子有最小
值，最小值为4．
(1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题：
已知 ，当 为多少时，代数式 的最小值为；
(2)【灵活运用】当 时，求 的最小值；
(3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长 的竹竿，他准备把它截成两段做
成风筝的龙骨即菱形的对角线 ， ，请你帮他设计一下，当 为多少 时菱形的面积最大，最大
值为 （直接写出结果）．
【答案】(1)3，6；
(2)4；
(3)60，1800
【知识点】分式化简求值、利用菱形的性质求面积、利用算术平方根的非负性解题
【分析】（1）根据操作发现提供的方法，代入求解即可；
（2）根据操作发现提供的方法，代入求解即可；
（3）根据操作发现提供的方法，并结合菱形面积等于对角线乘积的一半，求解即可．
【详解】（1）解：令 ， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即
时式子有最小值，最小值为6．
（2）解：令 ， ， ，则由 ，得
，当且仅当 时，即 时式子有最小值，最小值为4．（3）解：设这个菱形对角线 ，则 ，
则菱形的面积为 ，
由题意得： ， 即 ，
由 得 即 ，
当且仅当 时，即 时式子有最大值，最大值为1800，
所以当 时菱形的面积最大，最大值为 ．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，解题关键是理解操作发现中所提供的方法来解决问题．
23．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片 ， ， ，点P为边 上一动点，
将矩形纸片 沿 折叠，折叠后 与 相交于点E．
(1) 为何值时，点E与点A重合；
(2)当 长为何值时， 的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1) 为 时，点E与点A重合
(2)当 时， 的面积最大值为10
【知识点】用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、矩形与折叠问题
【分析】（1）由折叠可知 ，当点E与点A重合时， 即可求
解；
（2）由折叠可知 ，由平行线的性质可得 ，于是可得 ，
，由 ， 可知当 最大时， 的面积最大，而在 中，只要当
最大时， 就最大，于是可得当 最大时， 最大 ，设 ，则 ，在
中，利用勾股定理建立方程解得 ，再求出此时， 的面积即可．
【详解】（1）解：当点E与点A重合时，如图，∵四边形 为矩形，
∴ ，
由折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 时，点E与点A重合；
（2）解：如图，
由折叠知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，而 的长度不变，
∴当 最大时， 的面积最大，
又∵ ，
∴ 最大时， 的面积最大，
而在 中，只要当 最大时， 就最大，
∴当 最大时， 最大 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大值为10．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，
熟练掌握折叠的性质是解题关键．24．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形 的边长为 ， ，点 、 分别
是边 、 上的两个动点， ，连接 ．
(1) 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在 、 运动的过程中， 的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明
理由．
【答案】(1)是，见解析；
(2)存在，最大值为 ．
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）连接 ，证明 ，推出 可得结论；
（2）利用全等三角形的性质得到四边形 的面积，推出 的面积最小时， 的面积最大，
由 是等边三角形，根据垂线段最短可知， 时， 的值最小， 的面积最小．
【详解】（1）是，理由如下：
如图，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ， 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2） 的面积存在最大值，理由如下：
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不发生变化，
则 的面积最小时， 的面积最大，
∵ 是等边三角形，根据垂线段最短可知， 时， 的值最小， 的面积最小,
∴ ，
由（1）得： 是等边三角形，则有： ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
同理： ，
在 中，由勾股定理得：
∴ ，即： 的面积最小值为 ，
∴ 的面积的最大值 ，
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾
股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．（22-23八年级下·重庆忠县·期末）在Rt△ABC中， ， ，点D为直线 上一点，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作 交 的延长线于点E，连接 ，过点A作
交 于点F，当 时，求 的长；
(2)如图2，延长 至点G，使 ，作 的平分线交 于点H，交 的延长线于点K．求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，取 的中点M，连接 、 ，当点D在直线 上运动时，直接写出
的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三
角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）令 ， ， ， ， ， ，
，证明 ，即可得 ，问题随之得解；
（2）过点A作 交 的延长线于点Q，令 ， ， ，
， ，先证明在等腰 中，AK垂直平分BG，即有 ， ，
再证明 ，即有 ， ，进一步有 是等腰直角三角形，问题随之
得解；
（3）根据（2）可得：△AQK是等腰直角三角形， ，AK垂直平分BG，先证明
，即可得 ， ，即 ，即当 最大时，
有最大值；易知点G在以A点为圆心， 为半径的圆上，即当点G在点 ，且 时，
最大，可得 ，问题随之得解．
【详解】（1）如图1，令 ， ， ， ，
， ， ，
由题意 ， ，而 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，利用勾股定理同理可得 ，
∴ ；
（2）如图2，过点A作 交 的延长线于点Q，
令 ， ， ， ， ，∵ ， ， 的平分线交 于点H，
∴ ， ，
∴在等腰 中，AK垂直平分BG，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（3）如图，
根据（2）可得：△AQK是等腰直角三角形， ，AK垂直平分BG，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的中点为点M，
∴ ， ，
即 ，∴当 最大时， 有最大值，
∵ ，
∴点G在以A点为圆心， 为半径的圆上，
∴当点G在点 ，且 时， 最大，
∴ ，
∴ 最大为 ，
∴ ，
即 最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出科
学的辅助线，掌握全等三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
题型五：四边形中动点问题（难点）
26．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点 从点A出发，以 的速度向点 运动；点 从点 同时出发，以
的速度向点 运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点 的运动时间
为 ；
(1) 边的长度为________， 的最大值为________；
(2)当 为何值时，四边形 是矩形；
(3)当 时，判断此时四边形 的形状，并说明理由；
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)四边形 是菱形，理由见详解；
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题
【分析】（1）过点 作 于 ，证明四边形 是平行四边形，根据勾股定理即可求得 ，
根据路程与速度关系分别求出两动点的时间，即可得到答案；
（2）根据四边形 是矩形可得 ，列方程求解即可得到答案；
（3）将 时的 ， 表示出来即可判断；
【详解】（1）解：如图1，过点 作 于 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ （cm），
根据勾股定理得，
（cm），
∵点 在 上运动，
，
∴ ，
∵点 在 上运动，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ， ；
（2）解：∵ ， ，且四边形 要是矩形，
∴ ，
即 ，
解得： ；
（3）解：由题意可得，
当 时，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，∵ ，
∴ ,
∴四边形 是菱形；
【点睛】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据
性质列方程求解．
27．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知正方形 的边长为2，点 是边 上的一动点，
平分 交边 于点 ．
(1)①当点 恰好是边 的中点时，求线段 长；②当点 恰好是边CD的中点时，求线段 长．
(2)猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
(3)直接写 与 面积和的最大值．
【答案】(1)
(2) ．理由见解析
(3)当点 与点 重合时， 最大为 ，面积和最大值为
【知识点】全等三角形综合问题、（特殊）平行四边形的动点问题、根据平行线判定与性质证明、用勾股
定理解三角形
【分析】（1）①延长 ， 交于点 ，根据平行线的性质可得 ，根据全等三角形的判定和性
质可得 ，设 ，则 ， ，推得 ，根据勾股定理即可求得；
②设 ，由①可知 ，根据勾股定理求得 ，连结 ，设 ，根据
即可求解；
（2）延长 到点 ，使 ，连结 ，根据全等三角形的判定和性质可得 ， ，
根据平行线的判定和性质可得 ，推得
（3）根据三角形的面积公式可得当 最大时面积最大，即可求解．
【详解】（1）①如图，延长 ， 交于点 ．在正方形 中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由 ，解得 ．
∴ ．
②设 ，
∵ ，由①可知 ，
在 中，由 ，
解得： ．
∴ ．
如图，连结 ，设 ，由 可得：
，
解得： ，
∴ ．
（2） ．
理由如下：
如图，延长 到点 ，使 ，连结 ．
在正方形 中，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（3） ，
∵ 不变，
∴当 最大时面积最大，
∴当点 与点 重合时， 最大为 ，面积和最大值为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，三角形的面积公式等，
熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
28．（22-23八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，动点 从点A出发，以 的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以
的速度沿折线 向终点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设
运动时间为 秒．
(1)用含 的式子表示 ；
(2)当 为何值时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 为菱形，则点 的运动速度应为多少？
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、（特殊）平行四边形的动点问题
【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质．
（1）根据P点的速度以及时间结合 的长表示即可；
（2）只有Q点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形 是平行四边形，②四边形
是平行四边形，进行解答即可；
（3）设Q的速度为 ，Q在CD边上，此时 可为菱形，满足 ，建立方程解决即可．
【详解】（1） P从A点以 向B点运动
时，
；
（2）Q在 上运动时间为
运动时间最长为
时， 在 边上
此时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形 是平行四边形，如图所示：
即
只需 即可，由（1）知：
以 的速度沿折线 向终点 运动，
运动时间为 时，
解得： ；
②四边形 是平行四边形，如图所示：
同理
只需 ，四边形 是平行四边形
由（1）知，
则
解得：
综上所述：当 或 时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设Q的速度为 ，由（2）可知，Q在 边上，此时四边形 可为菱形
只需满足 即可由（1）知：
由（2）知： ，
，
解得： ，
当Q点的速度为 时，四边形 为菱形．
29．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形 为矩形， ，
，点D是 的中点，动点P在线段 上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运
动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)在直线 上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2.5
(2)存在， ， ； ， ； ，
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、坐标与图形、（特殊）平行四边形的动点问
题
【分析】（1） ，四边形 是平行四边形时 ，列一元一次方程即可
求解；
（2）分Q点在P的右边，Q点在P的左边且在 线段上，Q点在P的左边且在 的延长线上三种情况，
根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 为矩形， ， ，
∴ ， ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
由运动知， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
②当Q点在P的左边且在 线段上时，如图2，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③当Q点在P的左边且在 的延长线上时，如图 ，∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上可知，O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况： ， ； ， ；
， ．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握
特殊平行四边形的性质，注意分类讨论．
30．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， 垂直平分 于点 ．
点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发沿射线 以每
秒3个单位长度的速度运动，点 到达终点时， 、 同时停止运动．设点 运动的时间为 秒 ．
(1) 的长为
(2)用含 的代数式表示线段 的长．
(3)当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
(4)当 为钝角三角形时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)8
(2)当点 在线段 上时， ，当点 在线段 的延长线上时， ；
(3) 或 ；
(4) 或 或 ．
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、一元一次不等式组的其他应用、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由垂直平分线的性质可求 ，由勾股定理可求解；
（2）分两种情况讨论，列出代数式即可；
（3）由平行四边形的性质可得 ，列出方程可求解；
（4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解．
【详解】（1）解： 垂直平分 于点 ，
， ，
，
，
故答案为：8；
（2）解：当点 在线段 上时， ，
当点 在线段 的延长线上时， ；
（3）解： 以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，且 ，
，
或 ，
解得： 或 ；
（4）解：当点 在 上，点 在 上时，则 ，
，
，
当 在线段 的延长线上时，点 在 上时，
当 时，如图所示，
，
又 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 时， ，
当点 在线段 的延长线上，点 在 上时，则 ，，
，
综上所述： 或 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，不等式的应用，一元一次方程的应用，利用分
类讨论思想解决问题是解题的关键．
题型六：中点四边形模型（易错）
31．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形 中，对角线 ， ，且 ，
垂足为O，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；再顺次连接四边形 各边的
中点，得到四边形 ，…如此下去得到四边形 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)求四边形 的面积．
(3)直接写出四边形 的面积（用含n的式子表示）．
【答案】(1)四边形 是矩形，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】与三角形中位线有关的证明、中点四边形、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】（1）根据中位线的性质可得 ， ， ， ， ，
， ， ；即有 ， ，证得四边形 是平行四边
形，结合 ，问题得解；
（2）由（1）得四边形 是矩形， ， 是 的中位线，可得 ，从而
得到 ， ，再由矩形的面积公式计算，即可．
（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．
【详解】（1）解：四边形 是矩形，理由如下：在四边形 中，顺次连接四边形 各边中点，得到四边形 ，
∴ 、 分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
同理可得： ， ， ， ， ， ；
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行多边形 是矩形，
（2）解：由（1）得四边形 是矩形， ， 是 的中位线，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：∵四边形 中， ， ，且 ，
∴ ；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
即四边形 的面积是 ．
【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，中点四边形，矩形的判定与性质，解题的关键是学会从特殊到
一般，探究规律，利用规律解决问题．
32．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形 中， ， 是对角线 的中点，
是 的中点， 是 的中点．求证： ．
【应用】如图②，连结图①中的 ，并取 中点 ，连结 、 ．（1）若 ，则四边形 的周长为 ．
（2）图③，若 ，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】见解析；（1）①四边形 的周长为 ；（2）
【知识点】中点四边形、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有
关的证明
【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；
（1）运用三角形中位线定理可得 ， ，再由 ，可得
，即可得出答案；
（2）由（1）得 ，得出四边形 是菱形，再证得 ，得出四边形
是正方形，即可求得答案．
【详解】证明：如图①，
、 、 分别是 、 、 的中点，
、 分别是 、 的中位线，
， ，
，
，
．
（1）如图②，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ，，
，
四边形 的周长为16；
（2）：如图③，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ， ， ，
， ，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
菱形 是正方形，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和
性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
33．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点E，F，G，H依
次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么关系时，四边形 是正方
形．直接写出结论．
【答案】（1）是，理由见解析；（2） 且
【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形
的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）结论：四边形 还是平行四边形．连接 ．根据中位线定理证明 ， 即可；
（2）利用（1）的结论，可知需要满足 而且 ，由此可知当 与 满足 且
即可．
【详解】解：（1）结论：四边形 还是平行四边形．
理由：如图2，连接 ．
、 分别是 、 中点
， ，
同理： ， ，
， ，
四边形 是平行四边形．（2）结论：当 且 时，四边形 是正方形．
理由：如图3中，由（1）四边形 是平行四边形
、 是 、 中点
同理：
平行四边形 是菱形．
， ，
，
，
，
，
四边形 是正方形．
题型七：十字架模型（难点）
34．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1， 为正方形 内一点，点 在边 上（不与端点 ，
重合）， 垂直平分 交 于点 ，连接 ．过点 作 交射线 于点 ．
(1)求 的大小；
(2)求证： ；
(3)如图2，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)(2)见解析
(3)
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、四边形
其他综合问题
【分析】（1）连接 ，由 垂直平分 可得 ，再作 ，等腰三角形的性质，可得
，再由四边形 内角和为 可得 的度数；
（2）过点 作 于点 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，可得 ，从而
求出答案即可．
（3）结合（2）中的结论和已知条件可得 三角形 和三角形 都是等腰直角三角形可 、 、
、 之间的数量关系，在直角三角形 中，利用勾股定理即可得 、 之间的数量关系．
【详解】（1）连接 ，
垂直平分 ，
，
， ，
作 于 ，
又 ，
，
，
，
即 ，
又 ，
而四边形 内角和为 ，
，
，即 ；
（2）证明：过点 作 于点 ，如图所示：，
由（1）知： ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，即 ，
，
，
，
；
（3）连接 、 ，
由（1）可知 ，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
， ，
由（2）知 ，
，
，
，
，
，
，
，
又 为正方形 对角线，
，
在 中由勾股定理得：
，
，
解得： ．
【点睛】本题考查四边形的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的
判定和性质，圆内接四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识添加辅助线，证明四点共
圆是解决问题的关键．
35．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边
形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是
___________（填序号）；
(2)如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
、 ．求证：四边形 是“宁美四边形”；【答案】(1)④
(2)见解析
【知识点】矩形性质理解、利用平行四边形的性质求解、正方形性质理解、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）
【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论；
（2）证 ，得 ，再由 ，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论；
【详解】（1）解： 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂
直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“宁美四边形”，
故答案为：④．
（2）证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
四边形 是“宁美四边形”；
【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平
行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
36．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ，
．(1)若E为 的中点， 于点O．
①如图1，求证： ；
②如图2，连接 ，求 的值．
(2)如图3，若 ， ，则 的最小值为 ．（直接写出结果）．
【答案】(1)①证明见解析；② 的值为
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综
合（SAS）、根据正方形的性质证明
【分析】（1）①证明 ，即可得 ；
②过点 分别作 于 ， 于 ，先证明 ，再证明
，由此可得 ， ，即可得到 ；
（2）连接 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，由垂直平分线性质得 ，再证明
，得 ，从而 的最小值为 的长，由勾股定理求得即可．
【详解】（1）①解： 四边形 为正方形，
， ，
又 ， ，
，
，
又 为 的中点，
；
②证明：过点 分别作 于 ， 于 ，
， ，
为 的中点，
，
，
，
，
，
， ，
，
，，
，
， ，
，
， ，
；
（2）解：如图，连接 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，
垂直平分 ，
，
， ， ，
，
，
，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的
性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点．
题型八：中心直角模型（难点）
37．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形 对角线 上一点，连接 ， ．过
点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．(1)求证：矩形 是正方形；
(2)连接 ，若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点E作 于点M， 于点N，先根据正方形的性质证明四边形 是矩
形，进一步证明 ，可得 ，再根据正方形的判定，即可证得答案；
（2）连接 ，先证明 ，可证明 ，并求得 的长，进一步证明 ，
并求得 的长，再利用勾股定理可求得 的长，最后在 中，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：过点E作 于点M， 于点N，
四边形 是正方形，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
矩形 是正方形；
（2）解：连接 ，
四边形 和 都是正方形，
， ， ， ，
，，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
正方形 的边长为 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构
造全等三角形是解题的关键．
38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点
作 ，交射线 于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)如图1，求证：矩形 是正方形；
(2)若 ， ，求 的长度；
(3)当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、利用矩形的性质证明【分析】（ ）作 于 ， 于 ，证明 ，得到 ，根据正方
形的判定定理证明即可；
（ ）由正方形的性质可得 ， ， ， ， ，由“
”可证 ，可得 ；
（ ）分两种情况：当 与 的夹角为 时，当 与 的夹角为 时，分别画出图形求出结果即
可；
【详解】（1）证明：如图 ，作 于 ， 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形；
（2）解：∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解： 当 与 的夹角为 时，如图 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
②当 与 的夹角为 时，如图 ，
过 作 于 点，过 作 于 点，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
39．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角 的顶点E放在正方形
的对角线 上（点E不与A、C重合），其中直角边 与 交于点F，直角边 与 交于点
G．
(1)发现：如图，当 与 垂直时，填空： ________ ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
(2)探究：如图，当 与 不垂直时，请判断 与 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明
理由，若不变，请给出证明；
(3)拓展：当 与 不垂直时，以 、 为邻边构造矩形 ，连接 ，请直接写出 的度
数．
【答案】(1)＝
(2) 的结论不变，证明见解析
(3) 或
【知识点】角平分线的性质定理、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】（1）由正方形的性质得到 ， 平分 ，又 ， ，得到四边
形 是矩形，因此 ，根据角平分线的性质可得 ；
（2）过点E作 于点P，作 于点Q，由正方形 得到 ， 平分 ，
因此四边形 是矩形， ，进而有 ，从而 ，进而证得
，得证 ；
（3）分点 在点 的右侧，和左侧两种情况，过点H作 于点J，作 ，交 的延长线
于点K，则 ，由题意可得四边形 是正方形，从而 ，
，根据 和 ，得到
，从而证得 ，得到 ，根据角平分线的判定得到 平分
，进而即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，∵ ， ，
∴
∴四边形 是矩形，
∴
∴ ．
故答案为： ；
（2）解： 的结论不变，理由如下：
过点E作 于点P，作 于点Q，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， 平分 ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∵
∴ ，即
∴
∴ ；
（3）解：当点 在点 的右下方时：
过点H作 于点J，作 ，交 的延长线于点K，
则 ，∵由（2）有 ，且四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵在四边形 中， ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当点 在点 的左下方时：如图：过点H作 于点J，作 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
同法可得： ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，∴ ，
综上： 或 ．
【点睛】本题考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，
综合运用相关知识是解题的关键．
40．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形 中，点 为对角线 上一动
点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 ， 为边作矩形 ．
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当 时，点 与点 重合，此时
可以证明矩形 是正方形．
【探究发现】
(1)博学小组发现，如图2，当 时，点 落在 边上，此时，过点 作 于点 ，
于点 ，通过证明 ，进而可以证明出矩形 是正方形，请你帮助博学小组完成
证明．
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当 时，点 落在 的延长线上．
①此时矩形 还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
②当 ，且 时，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①矩形 还是正方形，理由见解析；②
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、根据正方形的性质与判定证明
【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等
腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键．
（1）利用正方形性质得出 ， ，证明 ，得出 ，由正方
形判定定理解答即可；
（2）①过点 作 ， ，垂足分别为 ，利用（1）中方法解答即可；
②求出 ，过点 作 于点 ，由勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
， 平分 ，
， ，四边形 是正方形，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
四边形 是正方形；
（2）①矩形 还是正方形，理由如下：
如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ，
，
四边形 是正方形，
， 平分 ，
， ，
，
，
，
矩形 是正方形．
② 四边形 是正方形，
，
，
，
过点 作 于点 ，则 是等腰直角三角形
，
， ，
，，
．
题型九：外角平分线模型（难点）
41．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）综合与实践
【提出问题】
由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形 中，点E是边 上的一个动点（不与点
B，C重合），过点E作 交正方形的外角 的平分线于点F．求证： ．
（1）如图1，当点E在边 上时，小明的证明思路如下：
在 上截取 ，连接 ．
则易得在 和 中
∴
∴
请补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点F作 交直线 于点G．以 为斜边向右作等腰直角三角
形 ，点H在射线 上．
①求证： ；
②当 ， 时，请求出线段 的长．
【答案】（1） 或 ；（2）①见解析；②
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、四边形其他综合问题、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）利用全等三角形的判定条件行填补即可；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，即可求解；
（3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）由题意，横线处应 或 ．
故答案为： 或 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵
则 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴在 中 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
42．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，四边形 是正方形，点 是边 上的点，
且 交正方形的外角 的角平分线于点F．(1)求证： ．
(2)试猜想线段 与线段 存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图2，线段 与 交于点N，若 ，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3) 的最小值为10
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形、
根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，要注意题目之间的联系，正确作出辅助线
构造全等的三角形是本题的关键．
（1）根据 ，即可得到 ，在直角 中，利用三角形内角和定理得到
，然后根据同角的余角相等，即可证得；
（2）在 上取一点 ，使 ，连接 ，根据 即可证明 ，然后根据全等三
角形的对应边相等即可证得；
（3）连接 ，易得 ，则当A，N，G三点共线时， 的值最小,据此求解即可．
【详解】（1）证明： ，
，
又 正方形 中， ，
；
（2）解： ，证明如下：
如图2，在 上取一点 ，使 ，连接 ．
，
，
．．
是外角平分线，
．
．
．
在 和 中，
，
．
；
（3）如图，连接 ，
∵正方形 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由正方形的对称性知 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当A，N，G三点共线时， ，
∴ 的最小值为10．
43．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上的一个动点，连接 ，
过点 作 交正方形的外角 的平分线于点 ．
【提出问题】
（1）如图1，当点 在边 上时， 与 有怎样的数量关系？以下是乐乐的解题思路：
如图1，乐乐在 上截取 ，连接 ．
通过证全等可得 ________ （填“>”“<”或“=”）；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点 作 交直线 于点 ．以 为斜边向右作等腰直角三角
形 ，点 在射线 上，求证： ；
【思维拓展】
（3）过点 作 交直线 于点 ．以 为斜边向右作等腰直角三角形 ，点 在射线 上．
当 ， 时，直接写出线段 的长．
【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）线段 的长为4或12
【知识点】四边形其他综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、
根据正方形的性质证明
【分析】（1）根据 即可证明 ，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）在 上截取 ，连接 ，同理 ，即可求解；
（3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质证明 ，再分当 在线段 上和当
在 延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
．
．
．
故答案为： ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ．则 ，
是等腰直角三角形，
，则 ， ， ，
，
；
（3） ，则 是等腰直角三角形，
，
，
，
；
当 在线段 上时，
，即 ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当 在 延长线上时，延长 ，使 ，连接 ，
则 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
， ，，
是等腰直角三角形，
，
；
综上，线段 的长为4或12．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
题型十：半角模型（难点）
44．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形 中，
， ， ，点E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，
探究线段 之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长 到点G．使 ．连结 ，先证明 ，再证
明 ，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 上的点，
且 ，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 延长线
上的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3) ，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）延长 到点G．使 ．连接 ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）延长 至M，使 ，连接 ．证明 ，由全等三角形的性质得出
． ，由全等三角形的性质得出 ，即 ，则可得出
结论；
（3）在 上截取 ，使 ，连接 ．证明 ．由全等三角形的性质得出
．证明 ，由全等三角形的性质得出结论．【详解】（1）解： ．
延长 到点G．使 ．连接 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
故答案为： ；
（2）解：（1）中的结论 仍然成立．
证明：如图②中，延长 至M，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ；
（3）解：结论： ．
证明：如图③中，在 上截取 ，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造
全等三角形解决问题．
45．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短
法是解决这类问题常用的方法．
如图1，在正方形 中，以A为顶点的 ， 与 分别交于E、F两点，为了探
究 之间的数量关系，小明的思路如下：
如图2，延长 到点H，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ．从而
得到 之间的数量关系．
(1)提出问题： 之间的数量关系为________________．
(2)知识应用：如图3， ， ，以A为顶点的 ， ， 与
分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请
说明理由．
(3)知识拓展：如图4，在四边形 中， ， ， ． 与 互补，
与 分别交于E、F两点，且 ，请直接写出 的周长
________________．（用含a、b、c的式子表示．）
【答案】(1)
(2)（1）中的结论还成立，证明见解析
(3)
【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
（1）延长 到点H，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即可解
答；
（2）延长 到点M，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，即可解答；
（3）延长 到点P，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得
，从而得到 的周长 ，即可解答．
【详解】（1）解：延长 到点H，使 ，连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：
延长 到点M，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，延长 到点P，使 ，连接 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 的周长 ．
故答案为：
46．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型
称为半角模型．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形 中，以A为顶点的 ， 与边 分别交于E，F两点．
则 之间的数量关系为_________．
【问题探究】
（2）如图2，在四边形 中， ， ， ，以A为顶点的 ，
与边 分别交于E，F两点，且 ，求五边形 的周长．
【问题拓展】（3）如图3，在四边形 中， ， 与 互补，点E，F分别在射线 上，
且 ．当 ， ， 时，请直接写出 的周长．
【答案】（1） ；（2）22；（3）18
【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题
【分析】（1）利用旋转的性质，可得 ，则可得出答案，证明 即可；
（2）根据旋转的性质得到 ，推出
三点共线，根据全等三角形的性质即可得到 ，据此求解即可；
（3）证明 和 ，即可求解．
【详解】解：（1） ，
理由：如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
，
∴点 在一条直线上，
∵四边形 为正方形，
，
，
，
，
在 和 中
，，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
，
三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
五边形 的周长 ；
（3）解：在 上截取 ，
，
，
在 和 中
，，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，补角
的定义等知识点，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
47．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一
点，且 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)在图1中，若 在 上，且 ，连接 ，求证： ；
(3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形 中， ， ， ， 是 的中点，且
，求 的长；
②如图3，在菱形 中， ， 、 分别在 和 上，且 ，连接 ．若
， ，请直接写出 的长度________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)① ；②【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性
质求线段长
【分析】（1）因为 为正方形，所以 ， ，又因为 ，则
，即可求证 ；
（2）因为 ， ，则有 ，又因为 ，所以
， ，则 ，故 成立；
（3）①过点 作 交 的延长线于点 ，利用勾股定理即可求得 的长；②把 旋转
得到 ，过 作 于 ，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到 ，
，根据直角三角形的性质得到 ， ，根据勾股定理即可得到
结论 ．
【详解】（1）证明：在正方形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明： ， ，
，
（已证），
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）解：①如图，过点C作 ，交 的延长线于点 ，由（2）和题设知： ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
；
②如图，把 旋转 得到 ，过 作 于 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决
问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．
