文档内容
微专题：直线与椭圆的位置关系
【考点梳理】
直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元
后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.
【题型归纳】
题型一：求直线与椭圆的交点坐标
1．椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 在 上，且直线 的斜率为 ，则直线 斜率为
（ ）
A． B．3 C． D．
2．椭圆 的左右焦点为 为椭圆上一点，直线 分别交椭圆于M，N两
点，则当直线 的斜率为 时， （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函数 的最小值为 ，则直线 与曲线 的交点个数为
（ ）
A． B． C． D．
题型二：讨论椭圆与直线的位置关系
4．直线 与椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．若直线 与圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点的个数为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．0或1 B．2 C．1 D．0
6．已知椭圆 ，直线 ，那么直线与椭圆位置关系（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
题型三：求椭圆的切线方程
7．椭圆 上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线 与曲线 有且仅有三个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．椭圆 ： ，过其左焦点 的弦 ，过点 ， 分别作椭圆的切线，交于点 ，则 面积最小
值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
10．已知双曲线 的左、右顶点为 ， ，焦点在y轴上的椭圆以 ， 为顶点，且离心率为 ，过
作斜率为 的直线 交双曲线于另一点 ，交椭圆于另一点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系 中，若直线 上存在动点P，使得过点P的椭圆 的两条切线相
互垂直，则实数a的取值范围是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
12．曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
13．若直线 与椭圆 相切，则斜率 的值是（ ）
A． B． C．± D．±
14．椭圆 上到直线 距离最近的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
15．直线 与椭圆 相交于 两点，若 中点的横坐标为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
16．如图，椭圆的焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 ，左､右焦点分别为 ， ，若椭圆上第一象限的
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一个点A满足：直线 与直线 的交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，且射线 为 的角平
分线，则点A的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线
的斜率分别为 ，若 ，则椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
18．已知直线 ，椭圆 ，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
19．直线 与椭圆 有且只有一个交点，则 的值是( )
A． B． C． D．
20．已知直线 和椭圆 有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司21．如图，椭圆 ， 是直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，直线 与 交
于点 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
22．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点．直线l： 与椭圆C： 相切于点P，椭圆C的焦点为 ， ，由光学性质知直线 ，
与l的夹角相等，则 的角平分线所在的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．直线x－y＋1＝0被椭圆 ＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A． B． C． D．
24．直线 与椭圆 相交于A，B两点，设O为坐标原点，则“ ”是“ 的面积
为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．已知椭圆E: 的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司面积最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【高分突破】
一、单选题
26．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢
结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点 和短轴一端点 分别向内层椭圆引切线
， ，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点（点
M在第一象限）.若 ， ，则椭圆C的离心率e的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．椭圆 的焦点分别为 ， ，直线 与 交于 ， 两点，若 ， ，则 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
29．已知正方形 的四个顶点都在椭圆 上，若 的焦点F在正方形 的外面，则
的离心率的取值范围是（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
30．已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．已知 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， 是该椭圆上不同于 ， 的一点，若直线 的斜
率 的取值范围为 ，则直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
33．已知椭圆 以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－ B． C．－2 D．2
34．已知椭圆 及圆O： ，如图，过点 与椭圆相切的直线l交圆O于点A，
若 ，则椭圆离心率的为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
35．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，则椭圆在其上一点 处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：椭圆 ： ，其焦距为 ，且过点 .点 为
在第一象限中的任意一点，过 作 的切线 ， 分别与 轴和 轴的正半轴交于 两点，则 面积的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
36．已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 （ ），那么 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D． ，或
37．如图，已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线 与过 的直线 交于点 ，线段
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的中点为 ，线段 的垂直平分线 与 的交点 （第一象限）在椭圆上，若 为坐标原点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知直线 被椭圆 截得的弦长为 ，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为 的有
（ ）
A． B．
C． D．
39．已知椭圆C： 的离心率为 ，长轴长为 ，设点P是椭圆C上的任意一点，若点P
到点 的距离与点P到定直线 的距离之比为定值 ，则下列计算正确的是（ ）
A．椭圆C的标准方程为
B．
C．
D．若直线 与椭圆相交于M，N两点，则 ，
40．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世
界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F（1，0），直线
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，动点P到点F的距离是点P到直线 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距
离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是
B．直线 是“最远距离直线”.
C．平面上有一点A（1，1），则 的最小值为3.
D．点P的轨迹与圆C： 是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
41．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世
界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点 ，直线 ，
动点 到点 的距离是点 到直线 的距离的一半.若某直线上存在这样的点 ，则称该直线为“最远距离直线”，
则下列结论中正确的是（ ）
A．点 的轨迹方程是
B．直线 ： 是“最远距离直线”
C．平面上有一点 ，则 的最小值为5.
D．点P的轨迹与圆 ： 是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
42．1.已知椭圆 的左，右两焦点分别是 ， ，其中 ．直线
与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
A． 的周长为
B．若 的中点为M，则
C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若 的最小值为 ，则椭圆的离心率
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司43．与直线 仅有一个公共点的曲线是
A． B．
C． D．
三、填空题
44．已知椭圆 的焦点 ， ，长轴长为6，设直线 交椭圆 于 ， 两点，则线段
的中点坐标为________.
45．已知 ，则 的最值为_________.
46．已知直线 与 轴交于点 ， 为直线 上异于 的动点，记点 的横坐标为 ．若椭圆：
上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是________．
47．已知椭圆 ，直线 与 轴交于 点，与椭圆交于 ， 两点，若 ，则
________.
48．已知直线 与椭圆 交于A、B两点，与圆 交于C、
D两点．若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是_____________．
49．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，上顶点为A，直线 与椭圆C的另一个交点为B，则
的面积为___________.
四、解答题
50．已知椭圆 离心率为 ，椭圆M与y轴交于A，B两点（A在下方），且 过点
直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值.
51．设圆 的圆心为M，直线l过点 且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作
AM的平行线交BM于点C.
（1）证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，直线l：y=kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若△PQR是以PQ
1
为底边的等腰三角形，求△PQR面积的最小值.
52．某城市决定在夹角为 的两条道路 ､ 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示， 千米，
为 的中点， 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域 ，其中 ， 在椭圆
上，且 的倾斜角为 ，交 于 .
（1）若 千米，为了不破坏道路 ，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为 ，当线段 长为何值时，游乐区域 的面积最大？
53．已知F 是椭圆C： 的左焦点，经过点P（0，﹣2）作两条互相垂直的直线l 和l，直线l 与
1 1 2 1
C交于点A，B．当直线l 经过点F 时，直线l 与C有且只有一个公共点．
1 1 2
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l 与C有两个交点，求|AB|的取值范围．
2
54．已知椭圆 的方程为 ，斜率为 的直线与 相交于 两点.
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若 为 的中点，且 ，求椭圆 的方程；
（2）在（1）的条件下，若 是椭圆 的左顶点， 是椭圆的左焦点，要使 在以 为直径的圆
内，求 的取值范围.
55．已知 ， 是其左右焦点， ，直线 过点 交 于 两点， 在 轴上方，且
在线段 上，
(1)若 是上顶点， ，求 ；
(2)若 ，且原点 到直线 的距离为 ，求直线 ；
(3)证明：对于任意 ，使得 的直线有且仅有一条.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】求出 的坐标，进而求出直线 的方程，联立椭圆方程后，求出 点坐标，代入斜率公式，可得答
案.
【详解】 椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
又 直线 的斜率为 ，
直线 的方程为： ，
代入椭圆 方程可得： ，
设 点坐标为 ，则 ，解得 ， ，
故直线 斜率 ，
故选:B．
2．D
【分析】写出直线 的方程，与椭圆联立求出 点的坐标，同理可得 点坐标，通过计算直线 的斜率即可
得结果.
【详解】由已知得 ，
所以直线 的方程为： （其中 ），
与椭圆方程联立得 ，
由韦达定理 ，所以 ，
故 ；
类似得 ， ，
所以 ，
故选：D．
3．B
【分析】利用基本不等式可求得 ，根据 的符号可化简曲线方程，与直线方程联立可求得交点坐标，进而
得到交点个数.
第 14 页【详解】 当 时， （当且仅当 时取等号），
，即 ， 曲线方程为： ；
当 ， 时，曲线为： ，
由 得： 或 ，即交点为 ， ；
当 ， 时，曲线为： ；
由 得： ，即交点为 ；
当 ， 时，曲线为： ，曲线不存在；
当 ， 时，曲线为： ；
由 得： ，即交点为 ；
综上所述：直线 与曲线 的交点为 ， ，共 个.
故选：B.
4．A
【分析】根据直线恒过 ，且 在椭圆内可直接得到结论.
【详解】 ， 在椭圆内，
恒过点 ， 直线 与椭圆 相交.
故选：A.
5．B
【分析】由直线与圆相离得到 点位置后判断
【详解】由题意 ，得 ，故点 在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，
过 点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B
6．A
【分析】求得直线恒过点 ，由点 在椭圆内部，则直线与椭圆相交．
【详解】由 ，则 ，
第 15 页则直线 ，恒过定点 ，
由 ，则点 ，在椭圆 1内部，
∴直线与椭圆相交．
故选：A
7．A
【分析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常
数项，再计算平行线间的距离即可.
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则
所以
所以椭圆上点P到直线 的最短距离为
故选：A
8．A
【分析】画出曲线 的图象，数形结合求出答案.
【详解】可以看出 ，两边平方： ， ，当 ， 即 ，
时， ，表示椭圆位于x轴下方部分，当 ， 即 或 ， 时， ，表示
双曲线位于x轴下方部分，且渐近线为 ，画出图象如图所示：
直线 刚好经过B，C两点，解得： ，直线 与椭圆相切，联立椭圆方程与
，得： ，由 得： ，因为直线与y轴交于负半轴，所以 ，
要想 与 有且仅有三个交点，则当 位于 与 之间（不含 与 ），故
的取值范围是 .
第 16 页故选：A
9．B
【分析】依题可求出点 在定直线 上，且 ，所以当直线 轴时， 面积最小，即可求出．
【详解】设 ，设 ，由题可知， ，
设过点 的切线为 ，联立 ，由 可求得 ，即切线为 ，而
点 在切线上，所以 ，同理可得 ，所以直线 的方程为 ，而直线 过
点 ，所以 ，
当 时， ，即 ，当 时，显然 ，
所以， ，易知当直线 轴时， ， ，
即 面积最小值为 ．
故选：B．
10．B
【分析】求出椭圆的方程，设点 ，可得出 ，由点 在椭圆上，点 在双曲线上，可得
出关于 、 的方程组，求出 、 的值，利用斜率公式可求得 的值.
【详解】设所求椭圆的标准方程为 ，半焦距为 ，
双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，
由于椭圆 以 ， 为顶点，则 ，该椭圆的离心率为 ，
第 17 页所以， ，解得 ，所以，椭圆的方程为 ，
设点 ，由于 ，则点 ，
由于点 在椭圆上，点 在双曲线上，
所以， ，联立得： ，解得 或 ，
当 ，所以 ，此时点 与点 重合，不满足题意舍去；
当 ，所以 ，所以 .
故选：B.
11．B
【分析】设过点 作圆的两条切线分别为 、 ，其中 、 为切点，得四边形 为矩形，矩形的对角
线 ，再由椭圆中心到直线的距离 ，即可得到答案.
【详解】如图，设过点 作圆的两条切线分别为 、 ，其中 、 为切点，
则 、
又由于
故四边形 为矩形
由椭圆的方程为
故矩形的对角线
即矩形 的长不超过2
即以椭圆与直线 有公共点，以 为中心
故 ，得
第 18 页故选：B.
12．B
【分析】根据方程作出对应的曲线图象，结合图象求实数 的取值范围.
【详解】方程 可化为 且 ，所以曲线 的轨迹为以 为圆心，1为半径的
圆上纵坐标大于等于1的点的集合，直线 表示过点 且斜率存在的直线，作图可得
因为曲线 与直线 有两个交点
观察图象可得 ，
又 ， ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：B.
13．C
【分析】根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得 ，再根据 ，从而求出斜率 的值.
【详解】解：因为直线 与椭圆 相切，
所以已知直线 与椭圆 有且只有一个交点，
所以联立方程 消去 并整理，得 ，
所以 ，解得： .
故选：C
第 19 页14．A
【分析】设与直线 平行且与椭圆相切的直线 的方程为： ，与椭圆的方程联立化为关于 的一
元二次方程，令 ，进而解出点的坐标．
【详解】解：设与直线 平行且与椭圆 相切的直线 的方程为： ，
由 ，化为 ．（*）
，化为 ，解得 ．
∵直线 在椭圆的下方，故直线 系中靠近 的直线 ，
取 ，代入 可得： ，解得 ．
故选：A．
15．C
【解析】代入消元得关于 一元二次方程，再用韦达定理即可.
【详解】设
把 代入 得 ，
，因为 中点的横坐标为 ，
所以 ，解得 .
故选:C
【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用
判断.
16．A
【分析】根据已知条件求得椭圆方程，根据角平分线定理，求得 ，写出直线 方程，联立椭圆方程，即
可求得交点 的坐标.
【详解】设椭圆的方程为 ，
根据题意可得： ，故可得 ，
则椭圆的方程为 ；
又射线 为 的角平分线，在 根据角平分线定理，有 ，
则在 中 ，故 ，
故可设直线 方程为 ，点 为直线 与椭圆的交点，
第 20 页则 ，解得 （舍）或 .
即点 的纵坐标为 .
故选： .
17．C
【分析】根据椭圆方程确定点A、B的坐标，设点P坐标，根据对称性可得点Q的坐标，利用两点坐标公式求出斜
率 ，进而列出方程，解方程即可.
【详解】根据椭圆的标准方程 知 ，
设 ，则 ，且 ， ， ，
所以 ，解得 ，
即椭圆的短轴长为
故选C．
18．C
【解析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系
【详解】解：由 ，得 ，化简得 ，
因为 ，
所以方程无解，
所以直线与椭圆的位置关系是相离，
故选：C
19．C
【分析】直线和椭圆只有一个交点，则直线和椭圆相切，联立直线和椭圆方程得到二次方程，二次方程只有一个
解，根据＝0即可求出k的值﹒
【详解】由 得， ，
由题意知 ，解得 ，
故选：C．
20．C
【分析】联立直线与椭圆方程消去y得 ，根据直线与椭圆有公共点，由 求解.
第 21 页【详解】由 得 ．
∵直线与椭圆有公共点，
，
解得 或 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于基础题.
21．A
【分析】先证明过椭圆 上点 处的切线方程是 ，这样只要设 ，可得
切线方程，由切线过 可得直线 方程，得直线 过左焦点 ，可证明 ，由直线 方程
与 方程联立可解得交点 坐标，计算 ，可得 ，再由不等式的性质得出最小值．
【详解】设
若 在椭圆的上半部分，则 得 ，
在椭圆上， ，
．
∴过 点的切线方程是 ， ，即 ，
同理可证当 在下半圆时，过 的切线方程也是 ， 是椭圆的左右顶点时，切线方程也是．
∴无论 在椭圆的何处，切线方程都是 ．
设 ，则过 点的切线方程是 ，
在直线 ，设 ，则由两切线都过 点
∴ ，∴直线 方程是 ，易知直线 过定点 ，该定点为椭圆左焦点 ．
直线 方程为 ，则由 ，得 ，即 ，
第 22 页， ， ，∴ ，
， ，
∴
．当且仅当 ，即
时等号成立．
故选：A．
【点睛】本题考查椭圆的切线方程，切点弦所在直线方程，这里可利用导数的几何意义求得切线方程（可把椭圆
看作是两个函数的图象），求出切线方程是解题的关键．由此可得切点弦所在直线方程，这是解题的关键．通过
直线方程得直线 过左焦点 且 ，于是易得 ．
22．A
【分析】先求得 点坐标，然后求得 的角平分线所在的直线的方程.
【详解】 ，
直线 的斜率为 ，
由于直线 ， 与l的夹角相等，则 的角平分线所在的直线的斜率为 ，
所以所求直线方程为 .
故选：A
23．A
【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.
【详解】由 得交点为(0,1)， ，则|AB|＝ ＝ .
故选：A.
24．A
【分析】由题知直线 过椭圆的上顶点 ，进而得当直线 过点 或 时， 的面积
为 ，此时 或 ，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可.
【详解】解：由椭圆方程 得其顶点坐标为 ，
由直线 方程知直线 过点 ，
第 23 页所以当点 或 时， 的面积为 ，此时 或 ，
所以“ ”是“ 的面积为 ”的充分不必要条件，
故选：A
25．A
【分析】设 , ，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线 方程，并确定其过定点 ，且定
点为椭圆的右焦点 ，再联立方程求得 ， ，再表示出 ，利用基本不
等式求出范围即可.
【详解】由椭圆方程 ，知 ，
，设右焦点为 ，即
设 , ，
由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为 ，切线PB的方程为
由于点P在切线PA、PB上，则 ，故直线 方程为 ，
所以直线 过定点 ，且定点为椭圆的右焦点 ，
联立方程 ，消去x得：
由韦达定理得 ， ，
令 ，则 ， ，则
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故三角形ABF面积最大值为
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积
得最值，解题的关键是清楚椭圆方程 在椭圆上一点 的切线方程为 ，考查学生的逻
辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.
第 24 页26．D
【分析】设内层椭圆方程为 ，由题可知外层椭圆可设成 ，再根据直
线与椭圆的位置关系可求出 ，即可利用 求出离心率．
【详解】设内层椭圆方程为 ,因为内外椭圆离心率相同，
外层椭圆可设成 ，
设切线A C的方程为 , 与 联立得：
，由 , 则 ,
同理可得 , , 则 ,
因此 ．
故选：D.
27．D
【分析】依题意作图，分析图中的几何关系，应用三角函数解方程即可.
【详解】依题意作下图：
由于 ，并且线段 互相平分，∴四边形 是矩形，
其中 ， ，
设 ，则 ，根据勾股定理： ，
，整理得 ，由于点M在第一象限，
，由题意 ， ，
即 ， ，
第 25 页整理得 ， ，解得 ，
即e的最大值为 ;
故选：D.
28．D
【分析】根据所给条件可得出点 的坐标间的关系，代入椭圆方程求出 即可的解.
【详解】因为 ，所以 ，过 作 于 ，
由 知， 过点 ，且 ，如图，
，
所以 ,
设 ，则 ,
代入椭圆方程可得， ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数量关系，
考查了转化思想，有一定的计算量，属于基础题．
29．C
【分析】如图由题可得 ，进而可得 ，即求.
【详解】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可设 ，则 ，
第 26 页∴ ，
可得 ，
，即 ，又
解得 .
故选：C.
30．C
【分析】实数 ， 满足 ，通过讨论 ， 得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图
象分析可得 的取值就是图象上一点到直线 距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线
距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
【详解】因为实数 ， 满足 ，
所以当 时， ，其图象是位于第一象限，焦点在 轴上的椭圆的一部分（含点 ），
当 时， 其图象是位于第四象限，焦点在 轴上的双曲线的一部分，
当 时， 其图象是位于第二象限，焦点在 轴上的双曲线的一部分，
当 时， 其图象不存在，
作出椭圆和双曲线的图象，其中 图象如下：
第 27 页任意一点 到直线 的距离
所以 ，结合图象可得 的范围就是图象上一点到直线 距离范围的2倍，
双曲线 ， 其中一条渐近线 与直线 平行
通过图形可得当曲线上一点位于 时， 取得最小值，无最大值， 小于两平行线 与
之间的距离 的 倍，
设 与 其图像在第一象限相切于点 ，
由
因为 或 （舍去）
所以直线 与直线 的距离为
此时 ，
所以 的取值范围是 ．
故选：C．
31．B
【分析】设点 ， ， ，求出 ，由 把 用 表示，从而上 的范围得
的取值范围．
【详解】设点 ， ， ，则 ，∴
.又∵ ，∴ ，
第 28 页故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查直线与椭圆位置关系。在椭圆 中， 是椭圆上关于原点对称的两点，
是椭圆上不同于 的点，则 （斜率存在时）．
32．A
【解析】由已知得直线 过点 ．根据点 在椭圆 内部，可判断充分性，再判断必要性
得选项．
【详解】由 ，得直线 过点 ．又点 在椭圆 内部，故 直线 与椭圆
有公共点，
而直线 与椭圆 有公共点不一定 ．
所以“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系进行判断，考查运算求解能力与推理能力，
属于基础题.
33．A
【分析】由于 是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.
【详解】设以 为中点的弦的两个端点分别为 ，
所以由中点坐标公式可得 ，
把 两点坐标代入椭圆方程得
两式相减可得
所以 ，即所求的直线 的斜率为 .
故选A项.
【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.
34．A
【分析】由条件列出 的齐次方程，由此可求椭圆离心率的值.
【详解】由题意得 是等边三角形，则直线 的倾斜角为 ，其斜率为 ，故直线 的方程为 ，
第 29 页代入椭圆方程整理得 ，其判别式 ，化简可得
，则 ，又 ，所以 ，
故选：A.
35．B
【解析】先根据题意得椭圆的方程为 ，进而设 ，故切线 的方程为： ，进而得
的面积为 ，由 ，结合基本不等式即可得 ，进而得 面积的最小值为 .
【详解】解：根据题意得 ，根据待定系数法得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ，
设点 ，由题知过点 与椭圆相切的切线 的方程为： ，
所以 ， ，
所以 的面积为 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，
所以 面积的最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于根据已知给定的椭圆性质得 的方程为： ，进而表示出 面积
，再结合基本不等式即可求得.考查运算求解能力，是中档题.
36．A
【解析】先设 ， ，再由点差法求出 ，再由点 ， 在椭圆内，求出 的范围即
可得解.
【详解】解：设 ， ，
又点 ， 在椭圆 上，
则 ， ，
第 30 页两式相减可得： ，
又 ，
则 ，
又点 ， 在椭圆内，
则 ，
则 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题.
37．D
【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对 转化，用P点的坐标表示，通过P点在第一想
象的范围，求出范围.
【详解】如图所示，点 在 轴右边，
因为 为 的垂直平分线，所以 ．
由中位线定理可得 ．
设点 ．
由两点间的距离公式，得
，
同理可得 ，
所以 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，
第 31 页故 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故 的取值范围为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线和线段的中垂线的几何性质，考查了数学运
算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题.
38．ACD
【分析】椭圆关于原点和坐标轴对称，与直线 关于原点和坐标轴对称的直线即为所求.分别求出直线
关于原点、 轴、 轴对称的直线的方程即可得正确选项.
【详解】椭圆关于原点和坐标轴对称，直线 被椭圆截得的弦长为 ，
所以与直线 关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为 ，
直线 关于原点对称的直线为 ，
直线 关于 轴对称的直线为 ，
直线 关于 轴对称的直线为 ，故A，C，D满足条件，
故选：ACD.
39．ACD
【分析】由已知列出关于a，c方程组求得a，c后再求得b，从而得椭圆方程；设 ，依题意得
，化简并把 用 表示后得关于 的恒等式，由恒等式知识可求得t， ；将 代入椭圆
方程，转化为解一元二次方程，解出交点坐标．
【详解】由题意 ，所以 ， ，
所以椭圆C的标准方程为 ，A正确；
设 ，依题意得 ，所以 ，
所以 恒成立，
可得 且 ，且 ，
解得 ， ，B不正确，C正确；
第 32 页设 ， ，将 代入椭圆方程，消去y，得 ，
解得 ， ，则 ， ，
故交点坐标为 ， ，D正确．
故选：ACD
40．BCD
【分析】由定义化简即可求解点 方程；直线上存在最远距离点即联立直线和椭圆方程后有解；将 转
化为 即可求解；画出椭圆和圆的轨迹可直接辨别无交点.
【详解】设点 为 ，点 到 的距离为 ，
因为动点P到点F的距离是点P到直线 的距离的一半，
则 ，化简得 ，故A错误；
联立直线 和椭圆方程 ，可得： ，
故存在 ，直线 是“最远距离直线”，B正确；
由 可知， ,
当点 与点A纵坐标相等时，最小距离为： ，C正确；
圆C： 化简得： ，显然圆C在椭圆内，故D正确.
故选：BCD
41．ABC
【分析】对A，设 ，根据定义建立关系可求出；对B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；
对C，根据定义转化为求 即可；对D，易判断 为交点.
第 33 页【详解】设 ，因为点 到点 的距离是点 到直线 的距离的一半，所以 ，化简得
，故A正确；
联立方程 可得 ，解得 ，故存在 ，所以直线 ： 是“最远距离直
线”，故B正确；
过P作PB垂直直线 ，垂足为B，则由题可得 ，则 ，则由图可知，
的最小值即为点A到直线 的距离5，故C正确；
由 可得 ，即圆心为 ，半径为1，易得点P的轨迹与圆 交于点 ，故D错误.
故选：ABC.
42．ACD
【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出 ，进而根据A在椭圆上进行消元
得到 ，然后结合椭圆的范围得到 的范围，最后求出离心率的范围；根据 的最小值
为通径的长度 求得答案.
【详解】对A，根据椭圆的定义 的周长为 ，正确；
对B，设 ，则 ，所以 ， ，
由 ，即 ，错误；
对C，
，则 ，正确；
对D，容易知道， 的最小值为通径长度 ，于是 ，正确.
第 34 页故选：ACD.
43．AC
【解析】A．根据圆心到直线的距离进行判断；B．联立直线与椭圆方程利用 进行判断；C．根据双曲线的渐近
线与直线的位置关系进行判断；D．联立直线与抛物线方程利用 进行判断.
【详解】A．圆心到直线的距离 ，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；
B．因为 ，所以 ，所以 ，所以直线与椭圆有两个交点，不符；
C．因为 的渐近线方程为 ，所以 平行于渐近线且不与渐近线重合，
所以 与双曲线仅有一个公共点，符合；
D．因为 ，所以 ，所以 ，所以直线与抛物线有两个交点，不符.
故选：AC.
【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半
径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可
考虑通过联立方程利用 进行判断.
44．
【分析】由已知条件可得椭圆的标准方程是 ，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去 后，利用根与系
数的关系结中点坐标公式可得答案
【详解】由已知条件得椭圆的焦点在 轴上，其中 ， ，从而 ，
∴其标准方程是： ，
联立方程组 ，消去 得， .
设 、 ， 线段的中点为 ，则 ， ，
∴ ，即线段 中点坐标为 .
故答案为：
45．最大值为 ，最小值为 .
【分析】由 ，可知点 的轨迹表示以定点 ， 的距离之和为定长20
的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.
【详解】满足题设的点 的轨迹是定点 ， 的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在 、
第 35 页长半轴a满足 ，即 .线段 长为 ，即 ，所以椭圆的短半轴长 .又椭圆长轴所
在直线方程为 .如图可知，使得椭圆与直线 有公共点的m的取值范围是原点到直线 的
距离不超过 .
即 ，解得 .
椭圆上任意一点 均满足 .
由 ，得 的最大值为 ，最小值为 .
故答案为：最大值为 ，最小值为 .
46．
【分析】由过点 倾斜角为 或 的直线与椭圆有公共点即可得．
【详解】设 ，若 的倾斜角为 ，则直线方程为 ，即 ，
由 ，消去 得， ，
所以 ，解得 ，
若 的倾斜角为 ，则直线方程为 ，即 ，
由 ，消去 得， ，
所以 ，解得 ，
当 时， 与 重合，不合题意，
综上， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆中的存在性问题，解题关键是把问题转化为直线与椭圆有公共点问题，设出直线方程与椭
圆方程联立方程组，方程组有解即可得，注意特殊点要去除．
47．
第 36 页【分析】联立直线 与椭圆 的方程组，求出点A，B坐标，再利用给定的向量关系求出a值即得.
【详解】由 解得 或 ，而 ，则点A(0，1)， ，
而P(-1，0)， ，又 ，则有 ，解得 ，即 .
故答案为：
48．
【分析】求得直线恒过定点，该定点刚好为圆心，则CD为直径，又由条件可知圆心也为AB的中点，设A、B点
的坐标，并运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的取值范围.
【详解】直线 ，即为 ，可得直线恒过定点 ，圆 的圆心为
，半径为1，且C，D为直径的端点，
由 ，可得 的中点为 ，设 ， ，
则 ， ，两式相减可得 ，
由 ， ，可得 ，由 ，即有 ，
则椭圆的离心率 ．
49．
【分析】求出直线 的方程，联立方程，求得B点的坐标，从而可得出答案.
【详解】解：由题意知 ， ， ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，或 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
50．（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（1）由 ， ，解方程组可得；
（2）分直线l的斜率 和 两类求解，当 时，设直线l的方程为 ，联立方程组，利用韦达定
第 37 页理求 ，化简可得.
【详解】（Ⅰ）解：由题意得 ，解得 .
∴椭圆M的方程为 ；
（Ⅱ）证明：由题意，直线l的斜率存在，
当 时，直线l的方程为 ，代入椭圆方程有 ，
则 ， ，
， ，
， ，
∴ ，
当 时，则直线l的方程为 .
由 ，得 .
设 ， ，
则 ， ，
又 ，
，
，
即直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值.
【点晴】（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；
（2）第二问采用“设而不求”，利用韦达定理直接计算 ，考运算能力，化简时要细心，另因为 时已
第 38 页求出 ，第二问化简时可简略书写.
51．（1）证明见解析，点 的轨迹方程为 ( )；（2） .
【解析】（1）根据几何性质，求得 ，得出C的轨迹为椭圆，根据椭
圆的定义求出椭圆的方程；
（2）将曲线E和直线l：y=kx联立解方程，求出 ，同理 ，然后根据面积公式
1
结合基本不等式求出面积的最小值即可
【详解】解：（1） 圆 可化为
所以圆心 ，半径
又因为过点 作 的平行线交 于点 ，所以
又因为 ，所以 ，
所以
所以
所以点 的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为 ( )
（2）由（1）可知点 的轨迹方程为： ( )，
直线 与曲线 交于 两点，可知 ，设
联立 消 得 解得
是以 为底的等腰三角形 则
同理：
方法1：
当且仅当 ，即 时取等号
第 39 页方法2：
当且仅当 ，即 时取等号
【点睛】此题考查椭圆的定义和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积问题，考查基本不等式的应
用，考查计算能力，属于中档题
52．（1） ；（2）当线段 长为 千米，游乐区域 的面积最大.
【分析】（1）由题可设椭圆方程为 ，可得出直线 的方程为 ，根据题意可得直线 与
椭圆至多只有一个交点，联立方程利用 可求出 的范围；
（2）由题可得椭圆方程为 ，设 ，将直线 的方程 代入椭圆，利用
韦达定理表示出三角形面积可求出最值.
【详解】（1）以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设椭圆方程为 ，因为 ，则 ，
又 ､ 夹角为 ，所以直线 的方程为 .
又因为 ，则 ，
则椭圆方程为 ，
为了不破坏道路 ，则直线 与椭圆至多只有一个交点，
联立方程组 ，
得 ，
由于直线 与半椭圆至多只有一个交点，
则 ，又 ，得 .
当 时半椭圆形主题公园与道路直线 相切，所以 .
（2）设椭圆焦距为 ，
由椭圆的离心率 ， ， ，解得 ，
第 40 页所以，椭圆的方程为 .
设 ，又 倾斜角为 ，且交 于 ，
所以直线 的方程为 ，
由 得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
则 ，
当且仅当 时， 的面积最大.
所以当线段 长为 千米，游乐区域 的面积最大.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 形式；
（5）代入韦达定理求解.
53．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用椭圆方程，求出焦点坐标，结合直线的斜率，得到直线方程，利用直线与椭圆相切，求解a、
c，即可得到椭圆方程；
（2）根据直线l,l 与椭圆C的位置关系，得到 ；利用根与系数的关系和弦长公式得到 关于k的表达
1 2
式,，然后换元，利用函数的单调性求解范围.
【详解】（1）设 ，其中 ①
当直线l 经过点F 时，直线l 的斜率 ，∴直线l 的斜率为 ，方程为 ，
1 1 1 2
与椭圆C的方程联立，消去y得： ，
整理得： ．∵直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，
2
∴ ，即 ②
第 41 页由①②得： ，解得： ，∴ ，
∴C的标准方程为 ．
（2）由题意知：直线l 的斜率存在且不为零，设其方程为 ，
1
与椭圆C的方程联立，消去y得： ，
则 ，解得： ．
同理：当直线l 与椭圆C有两个交点时， ，∴ ．
2
设 ，则 ， ，
∴ ．
设 ，则t∈（4，19），∴ ，
∵ 在（4，19）上单调递增，∴ ，
∴|AB|的取值范围是 ．
54．（1） ；（2） .
【分析】（1）设 利用点差法求出直线 的斜率
，将 代入可得 的值，进而可得椭圆 的方程；
（2）设 方程为 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出 、 、 、 ，由
可得 与 之间的关系，再代入
即可求解.
【详解】 设 两点坐标分别为 带入椭圆方程得
得
可得 ，
第 42 页因为 ，所以
所以 ，
椭圆 的方程为： .
设 方程为 ，则
，
，
，
解得： （舍)，或
若 在以 为直径的圆内，则 ，
即 ，
即
即 ，且 ，解得 且 ，
所以 的取值范围为：
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可
先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
55．(1)
(2)
第 43 页(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆方程确定 ，以及 ，根据 ，即可求得答案;
（2）设 ，利用 结合向量的坐标运算，求得 坐标，再利用原点 到直线 的距离为
，即可求得直线方程；
（3）设直线 的斜率为 ，取 中点 ，利用点差法求出k与直线OC的斜率之间的关系，即可证明结论.
（1）
由题意知： , ，因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）
设 ，其中 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ， （ 舍去），所以 ，
故 ，则直线方程可以设为 ，
又因为 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，得 或 ，
当 时，直线方程为 ，此时 （舍），
所以直线方程为 .
（3）
设 ， ，设直线 的斜率为 ，连接 ， ，取 中点 ，
第 44 页连接 ，可知 为梯形 的中位线，
因为 ，令 .
由点差法得 ，得 ，
化简得 ，即 ，
故当 确定时，也就只有唯一 与 对应，
故对任意 时，满足条件的直线只有一条.
第 45 页第 46 页
