文档内容
2022-2023 学年八年级下学期数学
期中质量检测卷 A 卷
(测试范围：第十六章---第十八章)
(考试时间120分钟 满分120分)
一．选择题(下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分)
1．(2022秋•南溪区期中)下列运算中正确的是( )
A．√8-√2=√6 B．2√3+3√3=6√3
C．√6÷√2=√3 D．(√2+1)(√2-1)＝3
【分析】根据二次根式的运算法则对每一项分别进行判断，即可得出正确答案．
【解答】解：A、√8-√2=2√2-√2=√2，故本选项不符合题意；
B、2√3+3√3=5√3，故本选项不符合题意；
C、√6÷√2=√3，故本选项符合题意；
D、(√2+1)(√2-1)＝2﹣1＝1，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的运算，关键是熟练掌握二次根式的运算法则，注意把二次根式进行化简．
2．(2022秋•文登区期末)在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线
上一点，连接CF．添加下列条件后，不能判断四边形BCFD是平行四边形的是( )
A．BD∥CF B．DF＝BC C．BD＝CF D．∠B＝∠F
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵BD∥CF，DE∥BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，DF＝BC，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形BCFD为平行四边形；故选项C符合题意；D、∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∵∠B＝∠F，
∴∠F+∠BDF＝180°，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD为平行四边形；故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解
题的关键．
3．(2022秋•杭州期中)在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B
＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：√2：√2；中，能确定△ABC是直角三角形
的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能确定△ABC是直角三角形；
②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴不能确定△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
5
∴∠C＝180°× =75°，
3+4+5
∴不能确定△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：√2：√2，
∴设a＝k，b=√2k，c=√2k，
∴a2+b2＝k2+(√2k)2＝3k2，c2＝(√2k)2＝2k2，
∴a2+b2≠c2，∴不能确定△ABC是直角三角形；
所以，能确定△ABC是直角三角形的条件有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形
内角和定理是解题的关键．
4．(2022秋•台江区校级期末)如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数
为( )
A．55° B．45° C．42.5° D．40°
【分析】根据正方形的性质得出∠DAB＝90°，AD＝AB，根据等边三角形的性质得出∠AEB＝∠EAB＝
1
60°，AE＝AB，求出AE＝AD，求出∠AED＝∠ADE= (180°﹣∠DAE)＝15°，再求出答案即可．
2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝∠EAB＝60°，AE＝AB，
∴AE＝AD，
1 1
∴∠AED＝∠ADE= (180°﹣∠DAE)= ×(180°﹣90°﹣60°)＝15°，
2 2
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和正方形的性质，能熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质
是解此题的关键．
5．(2022秋•曲沃县期末)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，AB的垂直平分线分别交AB，
AC于点D，E，则线段CE的长为( )7 15 25
A． B．2 C． D．
4 4 4
【分析】连接BE，先利用线段垂直平分线的性质可得EB＝EA，然后设设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，从
而在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接BE，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵AC＝8，
∴设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，CB＝6，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴62+x2＝(8﹣x)2，
7
解得：x= ，
4
7
∴CE= ，
4
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
6．(2022秋•北碚区校级期中)实数a在数轴上的位置如图所示，则化简√a2-8a+16+√(a-11) 2结果为(
)A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式=√(a-4) 2+√(a-11) 2
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
7．(2022秋•宝丰县期中)为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生
要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距
离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为( )
A．4 m B．5m C．6m D．8m
【分析】连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF
的长，进而可得AB的长．
【解答】解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF=√AC2-CF2=√52-32=4(m)，
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的
思想的应用．
8．(2022春•襄州区期末)如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的是( )
A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④
【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确；
②利用AD平分∠A可以判定四边形AEDF是菱形而非正方形，可得②的结论错误；
③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出DE＝DF，从而得出四边形AEDF是菱形；
④∠A＝90°，则根据①的结论可得四边形AEDF是矩形．
【解答】解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
1
∴DE= AB．
2
1
同理：DF= AC，
2
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，矩
形的判定，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的判定与性质．利用三角形的中位线定理得出
平行线是解题的关键．
9．(2021•西乡塘区二模)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一
块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块，恰好能拼成一副七巧板(如图②)．设图②中的小正方
形面积为S ，大正方形面积为S ，则S ：S 的值为( )
1 2 1 2
1 √2 √2 1
A． B． C． D．
5 2 3 8
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，不妨设AB=4√2，可得EH=2√2x＝20，解出方程即可求解．
【解答】解：如图，对图形标上字母，
设OF＝EF＝FG＝x，
则OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，
由勾股定理得EH=√OH2+OE2=2√2x，
不妨设AB=4√2，
由题意可得EH=2√2，∴2√2x=2√2，
解得：x＝1，
∴S =12=1，
1
S ＝EH2=(2√2) 2=8，
2
S 1
∴
1=
，
S 8
2
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．(2023•五华县校级开学)如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC
到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个
1
结论中：①OH∥BF；②GH= BC；③BF＝2OD；④∠CHF＝45°．正确结论的个数为( )
4
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
1
【分析】证明OH是△DBF的中位线可得判断①；根据OH是△BFD的中位线，得出GH= CF，由GH
2
1 1
＜ BC，可判断②；由全等三角形性质可OD= BF，从而判断③；根据四边形ABCD是正方形，BE是
2 2
∠DBC的平分线可得Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC＝22.5°即可判断④．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC，
∴∠ECB＝∠DCF＝90°，
∵EC＝CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF＝90°，
∴∠BHD＝∠BHF＝90°，
∵BH＝BH，∠HBD＝∠HBF，
∴△BHD≌△BHF(ASA)，
∴DH＝HF，
∵OD＝OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF；
故①正确；
1
②∴OH= BF，∠DOH＝∠CBD＝45°，
2
∵OH是△BFD的中位线，
1 1
∴DG＝CG= BC，GH= CF，
2 2
∵CE＝CF，
1 1
∴GH= CF= CE，
2 2
1
∵CE＜CG= BC，
2
1
∴GH＜ BC，故②错误；
4
③由①知：△DHB≌△FHB，
∴BD＝BF，
1 1
∵OD= BD= BF，
2 2
∴BF＝2OD，故③正确；
④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，
∵CE＝CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(SAS)，
∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，
∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
Rt△DCF中，DH＝FH，1
∴CH= DF＝FH，
2
∴∠HCF＝∠F＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，证明
三角形全等，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答是解题的关键．
二．填空题(共8小题，每小题3分，共24分)
√x+3
11．(2022秋•射洪市期末)若代数式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
x
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故答案为：x≥﹣3且x≠0．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数
分母不为0是解题的关键．
12．(2021春•定州市期末)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶
点均在格点上，则该三角形最长边的长为 ．
【分析】根据勾股定理求出各边长，比较即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC=√12+42=√17，
AB=√12+22=√5，BC=√32+32=3√2，
∵√5＜√17＜3√2，
∴该三角形最长边的长为3√2，
故答案为：3√2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2＝c2．
13．(2023•宁波模拟)如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则
边BC的长为 ．
【分析】由三角形的中位线定理得到EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，利用等腰三角形的判定结合平行
线的性质和角平分线的定义求出DE＝3，可得EF＝4，即可求出BC的长．
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴EF∥BC，BC＝2EF，BE＝AE＝3，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3，
∵DF＝1，
∴EF＝ED+DF＝3+1＝4，
∴BC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．(2022秋•新都区期末)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表
示的数为-√2，设点B所表示的数为m，则|m﹣1|+(m+√2)2＝ ．【分析】根据从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为-√2，得点B所表示
的数为m=-√2+2，代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为-√2，
∴点B所表示的数为m=-√2+2，
∴|m﹣1|+(m+√2)2
＝|-√2+2﹣1|+(-√2+2+√2)2
=√2-1+4
=√2+3．
故答案为：√2+3．
【点评】本题考查二次根式化简求值，涉及数轴上的点表示的数，解题的关键是求出m的值．
15．(2022秋•隆回县期末)已知a=√6+2，b=√6-2，则√a2+b2+5= ．
【分析】把a与b的值代入原式计算即可求出值．
【解答】解：当a=√6+2，b=√6-2时，
原式=√(√6+2) 2+(√6-2) 2+5
=√6+4√6+4+6-4√6+4+5
=√25
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．(2022秋•阿城区期末)已知，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在菱形
ABCD的边上，且与顶点不重合，若OE＝OB，则∠EOA的度数为 ．
【分析】①当点E在BC上时，此时可求出∠ABC的度数，及∠OBE的度数，结合OE＝OB，可求出
∠EOB的度数，再由∠AOB＝90°可求出∠EOA的度数，②当点E在AD上时，由①的结果可求出
∠E'OA的度数．
【解答】解：①当点E在BC上时，
∵∠BAD＝60°，菱形邻角和为180°，
∴∠ABC＝120°，
∵菱形对角线即角平分线，
∴∠EBO＝60°，
∵BE＝BO，
∴∠BEO＝60°，∵菱形对角线互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠EOA＝90°+60°＝150°；
②当点E在AD上时，∠E'OA＝180°﹣∠EOA＝30°；
综上可得∠EOA的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
17．(2022秋•曲沃县期末)在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点
E，则线段BE的长为 ．
【分析】作EF⊥AC于点F，由∠B＝90°，AB＝5，CB＝12，根据勾股定理求得AC＝13，由角平分线的
性质得FE＝BE，再证明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF＝AB＝5，则CF＝8，再由勾股定理得BE2+82＝(12
10
﹣BE)2，即可求得BE= ．
3
【解答】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12，
∴∠B＝90°，
∴EB⊥AB，AC=√AB2+CB2=√52+122=13，
∵AE平分∠BAC，
∴FE＝BE，
在Rt△AFE和Rt△ABE中，
{AE=AE
，
FE=BE
∴Rt△AFE≌Rt△ABE(HL)，
∴AF＝AB＝5，∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE，
∴BE2+82＝(12﹣BE)2，
10
∴BE= ，
3
10
故答案为： ．
3
【点评】此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正
确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．(2022春•城厢区校级月考)如图，圆柱形玻璃杯高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底2cm的
点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁
A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计)．
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，
A′B=√A'D2+DB2=√122+92=15(cm)．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为15cm，
故答案为：15．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是
解题的关键．
三、解答题(本大题共8小题，满分共66分)
19．(8分)(2022春•福山区期中)计算
√ 1
(1)(2√27-√48)÷√3-√5+ 1 ； (2)(2√3-1) 2-(2√3+3√2)(2√3-3√2)．
4
【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案；
(2)直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
√5
【解答】解：(1)原式＝(6√3-4√3)÷√3-√5+
2
√5
＝2√3÷√3-√5+
2
√5
＝2-√5+
2
√5
＝2- ；
2
(2)原式＝12+1﹣4√3-(12﹣18)
＝12+1﹣4√3+6
＝19﹣4√3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
a2-b2 a2+b2
20．(7分)(2022春•城厢区期中)已知a=3+√5，b=2-√5，求 ÷( +1)的值．
ab(a-b) 2ab
【分析】先将括号内通分，将除法变为乘法，再进行化简，最后将a和b的值代入计算即可．
a2-b2 a2+b2 2ab
【解答】解：原式= ÷( + )
ab(a-b) 2ab 2ab
a2-b2 a2+b2+2ab
= ÷
ab(a-b) 2ab(a+b)(a-b) 2ab
= ×
ab(a-b) (a+b) 2
2
= ，
a+b
将a=3+√5，b=2-√5代入得，
2 2
原式= = ．
3+√5+2-√5 5
【点评】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确对分式进行化简是解题的关键．
21．(8分)(2022春•西湖区期中)如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
(1)求证：AF＝CE；
(2)若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】(1)先证∠ACB＝∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE＝AF．
(2)过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质得出AG，进而利用平行四
边形的面积解答即可．
【解答】(1)证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ACB＝∠CAD．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴△BEC≌△DFA(AAS)，
∴CE＝AF．
(2)解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，
在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，
∴AG＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用 AAS证出△BEC≌△DFA解答．
22．(8分)(2022秋•锡山区期中)新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，
大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、
宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路 MN的一侧点A处
有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲
车在公路MN上沿MN方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论；
(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝600米，求得PQ＝1200米，于是得到结论．
【解答】解：(1)村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
(2)如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，
∴BP＝BQ=√AP2-AB2=600(米)，
∴PQ＝1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4(分钟)，
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
23．(8分)(2022秋•未央区校级期末)如图，在矩形ABCD中，作对角线BD的垂直平分线，交AD于点
M，交BC于点N，连接BM、DN
(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若矩形ABCD的边长AD＝8，AB＝4，求菱形BMDN的边长．
【分析】(1)根据矩形性质证△MDO≌△NBO，得出MD＝NB，根据一组对边平行且相等的四边形BMDN
是平行四边形，再根据对角线互相垂直证菱形即可；
(2)利用菱形性质在Rt△ABM中，根据勾股定理，求出菱形边长．
【解答】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴OB＝OD，MD∥BN，
∴∠MDO＝∠NBO，
∵∠DOM＝∠BNO，
∴△MDO≌△NBO(ASA)，
∴MD＝NB，
所以四边形MDNB是平行四边形，
∵BD⊥MN，
∴四边形MDNB是菱形；
(2)由(1)可知DM＝BM，
在Rt△ABM中，
∵BM2＝AM2+AB2，
∴BM2＝(AD﹣DM)2+AB2，
∴BM2＝(AD﹣BM)2+AB2
∵AD＝8，AB＝4，，
解得BM＝5，
所以菱形BMDN的边长为5．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾
股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
24．(8分)(2021秋•兴平市期中)像√4-2√3，√√96-√63⋯⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：√4-2√3=√3-2√3+1=√(√3) 2-2×√3+12=√(√3-1) 2=√3-1；
再如：√5+2√6=√3+2√6+2=√ (√3) 2+2×√6+(√2) 2=√ (√3+√2) 2=√3+√2．请用上述方法探索并
解决下列问题：
(1)请你尝试化简：①√11+2√30= ；②√13-2√42= ．
(2)若a+6√5=(m+√5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【分析】(1)将被开方数写成完全平方式，再化简．
(2)变形已知等式，建立a，m，n的方程组求解．
【解答】解：
(1)①√11+2√30=√5+2√30+6=√(√5) 2+2√5×√6+(√6) 2=√(√5+√6) 2=√5+√6．
②√13-2√42=√7-2×√7×√6+6 =√(√7-√6) 2 =√7-√6；
(2)∵(m+√5n) 2=m2+5n2+2√5mn=a+6√5．
{m2+5n2=a
∴ ．
mn=3
∵m，n，a均为正整数．
{m=1 {m=3
∴ 或 ．
n=3 n=1
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
【点评】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
25．(8分)(2022春•历城区期末)如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开
始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出
发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts(0＜t＜4)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说
明理由．【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，则可得出方程求出t即可；
(2)分两种情形：∠APQ＝90°或∠AQP＝90°分别求解即可．
【解答】解：(1)若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
(2)①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
12
∴t= ，
5
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2(12﹣3t)，
24
∴t= ．
7
12 24
∴当t= 或 时，△APQ是直角三角形．
5 7
【点评】本题属于四边形综合题，考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的判定与性质等知识，
熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键．
26．(11分)(2021春•重庆期末)已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D为直线BC上一动点(不与点B，C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是 ，BC、CF、CD三条线段之间的
数量关系为 ；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF
三条线段之间的数量关系并证明；
(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正
13
方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC= ，DB＝5，则△ABC的面积为 ．(直接写出
2
答案)
【分析】(1)△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF＝BD，据此即可
证得；
(2)同(1)相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD＝CF，即可得到CF﹣CD＝BC；
(3)先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到
DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．
【解答】解：(1)如图1中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAF，
AD=AF
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，
∵BD+CD＝BC，
∴CF+CD＝BC；
故答案为：CF⊥BC，CF+CD＝BC．
(2)结论：CF⊥BC，CF﹣CD＝BC．
理由：如图2中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°+∠DAC，∠CAF＝90°+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAF，
AD=AF
∴△BAD≌△CAF(SAS)
∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝45°，
∴∠FCB＝∠ACF+∠ACB＝90°，即CF⊥BC，
∴BC+CD＝CF，∴CF﹣CD＝BC；
(3)如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAF，
AD=AF
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF＝∠ABD，BD＝CF＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝∠ABD＝135°，
∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵OD＝OF，
∴DF＝2OC＝13，
∴Rt△CDF中，CD=√DF2-CF2=√132-52=12，
∴BC＝DC﹣BD＝12﹣5＝7，
7√2
∴AB＝AC= ，
21 7√2 7√2 49
∴S△ABC =
2
×
2
×
2
=
4
．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及全等三角形的
判定与性质的综合应用，判断出△BAD≌△CAF是解本题的关键．
