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考向 21 数列综合运用
1.（2022年乙卷理科第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕
太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 :
， ， ， ，以此类推，其中
其中 ， 则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：由已知， ， ， ，故 ；同理可得 ,
，又因为 ，故 ；于是得 ，排除A，
，故 ，排除C，而 ，排除B.故选择D.
方法二：（取特殊值）取 ，于是有 ， ， ， ， ，
分子分母分别构成斐波那契数列，于是有 ， ， ， .
于是得 ， ， .对比选项，选D.1
a =a − a2(n∈N¿)
{a } a =1 n+1 n 3 n
2.（2022浙江卷第10题）已知数列 n 满足 1 ， ，则
5 5
2<100a < <100a <3
100 2 2 100
A． B．
7 7
3<100a < <100a <4
100 2 2 100
C． D．
【答案】B
1 ( 1 )
a −a =− a2 <0 a =a 1− a
n+1 n 3 n {a } 0 − > n >34 − > n
a a 3−a 3 a a 3 a 100a <3 a a 3
n+1 n n ，累加得 n+1 1 ，得 100 ，得 100 又根据 n+1 1 得
1 1 1 1 1( 1 )
− = < = 1+
1 n+2
a a 3−a 3 3 n+1
> n+1 n n 3−
a 3
n ， 所 以
n+2
， 累 加 得
1 1 1 1(1 1 1 1 )
− < n+ + + +⋯+
a a 3 3 2 3 4 n+1
n+1 1 ，
1 99 1(1 1 1 1 ) 1(1 1 )
< +1+ + + +⋯+ <34+ ×6++ ×93 =40
a 3 3 2 3 4 100 3 2 8
得 100 ，
5
100a >
100 2
.
3．（2021年上海卷第12题）已知函数 对于任意 ， 和 中
有且只有一个成立 ，求 的最小值 .
【答案】31
【解析】由题意得，①当 时，若 ，则 .
若想前9项和最小，则可取 ， ， ， ， ， ，
满足题意，此时 ；②当 时，若 成立，
若想前9项和最小，则可取 ， ， ， ， ， ， ，
此时 .
的最小值为
综上可得：
a
a =1，a = n (n∈N+)
{a } 1 n+1 1+√a {a }
n n n n
4．（2021年浙江卷第120题）已知数列 满足 ，记数列 的前 项
S
n
和为 ，则
1 9 9
0 n+1 1+√a a 0，a 和a 是函数f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则S ＝(
n n 6 8 8
)
A．－38 B．38 C．－17 D．17
5.已知数列{a}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a＋lg a ＝0，若函数f(x)＝，则f(a)＋f(a)＋…＋
n 1 2 021 1 2
f(a )＝( )
2 021
A．2 020 B．4 040 C．2 021 D．4 042
6.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，点(n，S
n
＋3)(n∈N*)在函数y＝ 3×2x的图象上，等比数列{b
n
}满足b
n
＋b
n＋1
＝a(n∈N*)，其前n项和为T，则下列结论正确的是( )
n nA．S＝2T B．T ＝2b＋1 C．T＞a D．T＜b
n n n n n n n n＋1
7.(多选)已知数列{a
n
}满足2a
n
≤a
n－1
＋a
n＋1
(n∈N*，n≥2)，则( )
A．a≥4a－3a B．a＋a≤a＋a C．3(a－a)≥a－a D．a＋a≥a＋a
5 2 1 2 7 3 6 7 6 6 3 2 3 6 7
8.(多选)已知各项均为正数的等比数列{a}，a＞1，0＜q＜1，其前n项和为S，下列说法正确的是( )
n 1 n
A．数列{ln a}为等差数列 B．若S＝Aqn＋B，则A＋B＝0
n n
C．SS ＝S D．记T＝aa·…·a，则数列{T}有最大值
n 3n n 1 2 n n
9．若数列{a}满足－＝0，则称{a}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b＋b＋b＝1，
n n 1 2 3
则b＋b＋b＝________．
6 7 8
10.数列{a}的前 n 项和为 S ，定义{a}的“优值”为 H ＝，现已知{a}的“优值”H ＝2n，则 S ＝
n n n n n n n
________．
11．等差数列{a}的前n项和为S，a＋a＝48，a＝28，若S＋30＞nλ对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范
n n 2 4 5 n
围为________．
12．数列{a}的前n项和记为S，a＝1，a ＝2S＋1(n≥1)．
n n 1 n＋1 n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)等差数列{b}的各项为正数，其前n项和为T 且T ＝15，又a ＋b ，a ＋b ，a ＋b 成等比数列，求
n n 3 1 1 2 2 3 3
T.
n
13．给定一个数列{a}，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{a}中的先后次序，
n n
得到的数列称为数列{a}的一个m阶子数列．已知数列{a}的通项公式为a ＝(n∈N*，a为常数)，等差数列
n n n
a，a，a 是数列{a}的一个3阶子数列．
2 3 6 n
(1)求a的值；
(2)设等差数列b，b，…，b 是{a}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b＝(k为常数，k∈N*，k≥2)，
1 2 m n 1
求证：m≤k＋1.
1．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二
税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金
几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关
收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和恰好重
1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ）A． B．7 C．13 D．26
2．（2021·海南海口·模拟预测）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以
及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，
截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络
建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比
上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（ ）
A．2022年12月 B．2023年2月 C．2023年4月 D．2023年6月
3．（2019·广东江门·一模（理））根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的 个月内累计的需求量
（单位：万件）大约是 （ ）．据此预测，本年度内，需求量超过 万
件的月份是
A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月
4．（2022·四川凉山·二模（文））在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免
息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据
测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资
金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 ，则下列结论正确的是（ ）（参考数
据： ， ）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③
5．（2022·湖南·一模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的
情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触
过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个人为第一
轮传染，经过一个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染
者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
6．（2019·浙江·二模）已知数列 满足 ，若存在实数 ，使 单调递
增，则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2019·河南鹤壁·高考模拟（理））设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若
，则 的最大值为
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银
行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每
月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日
的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷
款年限为20年，月利率为0.004，则下列说法正确的是（ ）（参考数据： ，计算结果取整
数）
A．选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息
为289200元
B．选择方式②，小张每月还款额为3800元
C．选择方式②，小张总利息为333840元
D．从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①
9．（2020·江苏镇江·三模）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八
子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大
到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．
10．（2020·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认
为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服
药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该
药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药__________（填“会”
或者“不会”）对人体产生副作用.
11．（2021·全国·模拟预测）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫
力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接
触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 （注：对于 的传染病，要隔离感染
者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的
总人数为______（注：初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个人每人再传染 个人为第二轮传
染……）
12．（2021·河南郑州·三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标
志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这
类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描
述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得 ，以CD为一边在线段AB的上方做一
个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中
的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为 ，对任意的正整数n，都有 ，则a的最
小值为__________．
13．（2022·上海·模拟预测）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于
该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月 日起每天的新感染者
比前一天的新感染者减少20人.
（1）若 ，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人
数最多？并求这一天的新感染者人数.
14．（2021·上海杨浦·二模）已知无穷数列 与无穷数列 满足下列条件：① ；
② .记数列 的前 项积为 .
（1）若 ，求 ；
（2）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，请写出一组 ;若不存在，请说
明理由；
（3）若 ，求 的最大值.
1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石
板（称为天心石），环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环
比上一层的最后一环多 块，向外每环依次也增加 块．已知每层环数相同，且下层比中层多 块，则
三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ）
A． 块 B． 块 C． 块 D． 块
2．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
3．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理
论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个
单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为f，则第八
个单音的频率为
A． B． C． D．
4.（2020浙江7）已知等差数列 的前 项和 ，公差 ．
记 ，下列等式不可能成立的是 （ ）
A． B． C． D．
5．(2018浙江)已知 ， ， ， 成等比数列，且 ．若 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
a T
6.（2020北京8）在等差数列{ n}中， ， ，记 ，则数列{ n}
（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
7．（2015·江苏高考真题）数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项
和为_______．
8．（2013·全国高考真题（理））等差数列{a}的前n项和为S，已知S ＝0，S ＝25，则nS 的最小值为
n n 10 15 n________．
9．（2019•新课标Ⅰ，文18）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）若 ，求 的通项公式；
S ≥a
（2）若 ，求使得 n n的 的取值范围．
10．（2014新课标Ⅱ，理17）已知数列 满足 =1， ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（Ⅱ）证明： ．
11．（2016年天津高考）已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的 ， 是 和
的等差中项．
(Ⅰ)设 ，求证：数列 是等差数列；
设 ，求证：
(Ⅱ)
1.【答案】C
【解析】选C.方法一：因为a ＋4S ＝0，所以aq2＋4a ＋4aq＝0，因为a≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q
3 2 1 1 1 1
＝－2，故选C.
方法二：因为a ＋4S ＝0，所以aq＋＋4a ＝0，因为a≠0，所以q＋＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝
3 2 2 2 2
－2，故选C.
2.【答案】A【解析】(1)方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a ，a ，a ，a ，a ，a ，a ，且成等
1 2 3 4 5 6 7
差数列，设公差为d，根据题意可得即解得所以丙分得a ＝a ＋2d＝34(文)，丁分得a ＝a ＋3d＝31(文)，
3 1 4 1
故选A.
方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a－3d，a－2d，a－d，a，a＋d，a
＋2d，a＋3d，则解得所以丙分得a－d＝34(文)，丁分得a＝31(文)，故选A.
3.【答案】C
【解析】 (1)方法一：因为{a}为等比数列，所以a ＋a 是a ＋a 与a ＋a 的等比中项，所以(a ＋a)2＝
n 5 7 1 3 9 11 5 7
(a＋a)·(a＋a )，故a＋a ＝＝＝2.
1 3 9 11 9 11
同理，a＋a 是a＋a 与a ＋a 的等比中项，
9 11 5 7 13 15
所以(a＋a )2＝(a＋a)(a ＋a )，故a ＋a ＝＝＝1.
9 11 5 7 13 15 13 15
所以a＋a ＋a ＋a ＝2＋1＝3.
9 11 13 15
方法二：设等比数列{a}的公比为q，
n
则a＝aq4，a＝aq4，所以q4＝＝＝.又a＋a ＝aq8＋aq8＝(a＋a)q8＝8×＝2，
5 1 7 3 9 11 1 3 1 3
a ＋a ＝aq12＋aq12＝(a＋a)q12＝8×＝1，所以a＋a ＋a ＋a ＝2＋1＝3.
13 15 1 3 1 3 9 11 13 15
4．【答案】A
【解析】因为f(x)＝ln x＋x2－8x，
所以f′(x)＝＋x－8＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.
又a 和a 是函数f(x)的极值点，且公差d>0，所以a＝，a＝，
6 8 6 8
所以解得
所以S＝8a＋×d＝－38，故选A.
8 1
5.【答案】C
【解析】因为数列{a}是公比不等于1的正项等比数列，且lg a ＋lg a2 021＝0，所以lg(a·a )＝0，即
n 1 1 2 021
a·a ＝1. 因为函数f(x)＝，所以f(x)＋f＝＋＝＝2，所以f(a)＋f(a )＝2. 令T＝f(a)＋f(a)＋…＋f(a
1 2 021 1 2 021 1 2 2
)．则T＝f(a )＋f(a )＋…＋f(a)．所以2T＝f(a)＋f(a )＋f(a)＋f(a )＋…＋f(a )＋f(a)＝2×2
021 2 021 2 020 1 1 2 021 2 2 020 2 021 1
021，所以T＝2 021.故选C.
6.【答案】D
【解析】因为点(n，S＋3)在函数y＝3×2x的图象上，所以S＋3＝3×2n，即S＝3×2n－3.
n n n
当n≥2时，a＝S－S ＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，
n n n－1
又当n＝1时，a＝S＝3适合上式，所以a＝3×2n－1.
1 1 n
设b＝bqn－1，则bqn－1＋bqn＝3×2n－1，可得b＝1，q＝2，
n 1 1 1 1
所以数列{b}的通项公式为b＝2n－1.
n n
由等比数列前n项和公式可得T＝2n－1.
n
结合选项可知，只有D正确．
7.【答案】AC
【解析】由2a≤a ＋a (n≥2)，可得a－a ≤a －a，所以有a－a≤a－a≤…≤a －a，所以a－a＋
n n－1 n＋1 n n－1 n＋1 n 2 1 3 2 n＋1 n 5 4a －a ＋a －a≥3(a －a)，化简得a≥4a －3a ，故选项A正确；由a 7－a 6≥a －a 可得a ＋a≥a ＋a ，故
4 3 3 2 2 1 5 2 1 3 2 7 2 6 3
选项B错误；由3(a －a)≥a －a ＋a －a ＋a －a ＝a －a ，故可知选项C正确；若a ＝n，满足2a ≤a
7 6 6 5 5 4 4 3 6 3 n n n－1
＋a (n≥2)，但a＋a＝5＜a＋a＝13，所以选项D错误．故选AC.
n＋1 2 3 6 7
8.【答案】ABD
【解析】由题意可知，a ＝aqn－1，S ＝.对于A，ln a ＝ln aqn－1＝ln a ＋(n－1)ln q, ln a ＝ln aqn＝ln
n 1 n n 1 1 n＋1 1
a ＋nln q，所以ln a －ln a ＝ln q，所以{ln a}为等差数列，所以A正确．对于B，S ＝＝qn＋，又S
1 n＋1 n n n n
＝Aqn＋B，所以A＋B＝－＋＝0，所以B正确．对于C，由题意，得SS ＝·＝，S＝，显然SS ≠S，所以
n 3n n 3n
C错误．对于D，因为在等比数列{a}中，a ＞0，0＜q＜1，所以数列{a}为单调递减数列，所以存在从某
n 1 n
一项开始使得a
k
＝a
1
qk－1∈(0，1)，所以在数列{T
n
}中，T
k－1
＝a
1
a
2
·…·a
k－1
为最大值，所以D正确，故选
ABD.
9．【答案】32
【解析】由－＝0可得a ＝a ，故{a}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{b}是公比为2
n＋1 n n n
的等比数列，b＋b＋b＝(b＋b＋b)25＝32.
6 7 8 1 2 3
10.【答案】
【解析】 由H＝＝2n，
n
得a＋2a＋…＋2n－1a＝n·2n，①
1 2 n
当n≥2时，a＋2a＋…＋2n－2a ＝(n－1)2n－1，②
1 2 n－1
由①－②得2n－1a＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即a＝n＋1(n≥2)，
n n
当n＝1时，a＝2也满足式子a＝n＋1，
1 n
所以数列{a}的通项公式为a＝n＋1，
n n
所以S＝＝.
n
11．【答案】(－∞，30)
【解析】由题意得a＋a＝a＋a＝48，因为a＝28，
2 4 5 1 5
所以a＝20，则d＝＝＝2，所以S＝20n＋×2＝n(n＋19)，
1 n
由n(n＋19)＋30＞nλ得λ＜＝n＋＋19，
由函数f(x)＝x＋＋19的单调性及f(5)＝f(6)＝30知，
当n＝5或n＝6时，n＋＋19取最小值30，故λ ＜30.
12．【解析】(1)由a ＝2S＋1，可得a＝2S ＋1(n≥2)，
n＋1 n n n－1
两式相减，得a －a＝2a，a ＝3a(n≥2)．
n＋1 n n n＋1 n
又因为a＝2S＋1＝3，
2 1
所以a＝3a.
2 1
故{a}是首项为1，公比为3的等比数列，
n
所以a＝3n－1.
n
(2)设{b}的公差为d，
n
由T＝15，得b＋b＋b＝15，可得b＝5，
3 1 2 3 2
故可设b＝5－d，b＝5＋d.
1 3又a＝1，a＝3，a＝9，
1 2 3
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d＝2，d＝－10.
1 2
因为等差数列{b}的各项为正数，
n
所以d＞0，所以d＝2.
T＝3n＋×2＝n2＋2n.
n
13．【解析】(1)因为a，a，a 成等差数列，所以a－a＝a－a.
2 3 6 2 3 3 6
又因为a＝，a＝，a＝，所以－＝－，解得a＝0.
2 3 6
(2)证明：设等差数列b，b，…，b 的公差为d.
1 2 m
因为b＝，所以b≤，从而d＝b－b≤－＝－.
1 2 2 1
所以b ＝b＋(m－1)d≤－.
m 1
又因为b ＞0，所以－＞0.即m－1＜k＋1，所以m＜k＋2.
m
又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1.
1．【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为 斤，
第1关收税金为： 斤；第2关收税金为 斤；
第3关收税金为 斤，
以此类推可得的，第4关收税金为 斤，第5关收税金为 斤，
所以 ，
即 ，解得 ，
又由 ，所以 .
2．【答案】B
【解析】每个月开通 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，
设预计我国累计开通500万个 基站需要 个月，则 ，
化简整理得， ，解得 或 （舍负），所以预计我国累计开通500万个 基站需要25个月，也就是到2023年2月.
3．【答案】C
【解析】日用品从年初开始的 个月内累计的需求量 （单位：万件）大约是 （
）,则第 个月的需求量为 ，
4．【答案】A
【解析】对于①选项， 元，故①错误
对于②选项，第 月月底小王手中有现款为 ，则第 月月底小王手中有现款为 ，由题意
故②正确；
对于③选项，由 得
所以数列 是首项为 公比为1.2的等比数列，
所以 ，即
所以2020年小王的年利润为 元，故③正确；
对于④选项，两年后，小王手中现款为 元，即41
万，故④正确.
5．【答案】B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为 ，
经过n轮传染，总共感染人数为： ，
∵ ，∴当感染人数增加到1000人时， ，化简得 ，由 ，故得 ，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要 天，
6．【答案】A
【解析】由 单调递增，可得 ，
由 ，可得 ，所以 .
时，可得 .①
时，可得 ，即 .②
若 ，②式不成立，不合题意；
若 ，②式等价为 ，与①式矛盾，不合题意.
排除B,C,D,故选A.
7．【答案】A
【解析】 ， ，
是以 为公比的等比数列，
，
当n为偶数时， 无解，当n为奇数时， ，
，又 ， ，即 ，
即 ，又n为奇数，故n的最大值为
8．【答案】ACD
【解析】对于A，由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为 ， 表
示数列 的前 项和，则 ， ，则 ，
故小张该笔贷款的总利息为 （元），故A正确.
对于B，设小张每月还款额为 元，
则 ，
所以 ，
即 ，故B错误.
对于C，小张采取等额本息贷款方式的总利息为 （元），故
C正确.对于D，因为 ，所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.
9．【答案】184
【解析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d=-17
的等差数列，
其中 n=8，S=996,
8
所以 ，
解得a=184，
1
故答案为：184
10．【答案】不会
【解析】由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量 ，经过24小时后，
体内药物含量 ，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以 为公比的等比数
列，即 ，
所以第 次服药后，体内药物的含量为：
，
当 时，药在体内的含量无限接近1000，该药在人体内含量不超过1000毫克，不会产生副作用.11．【答案】1092
【解析】由题意： 所以 第六轮的传染人数为
所以前六轮被传染的人数为 .故答案为：1092
12．【答案】2．
【解析】设第 个图形中新出现的等边三角形的边长为 ，则当 时， ，
设第 个图形中新增加的等边三角形的个数为 ，则当 时， ，
故 ，其中 ，
由累加法可得
，
时， 也符合该式，故 ，
故 对任意的 恒成立，故 即a的最小值为2.
13．【答案】（1） 人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【解析】（1）记11月 日新感染者人数为 ，
则数列 是等差数列， ，公差为 ，
又 ，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；（2）记11月 日新感染者人数为 ，
11月 日新感染者人数最多，当 时， .
当 时， ，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以 ，
得 ，即
解得 或 (舍)，
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
14．（2021·上海杨浦·二模）已知无穷数列 与无穷数列 满足下列条件：① ；
② .记数列 的前 项积为 .
（1）若 ，求 ；
（2）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，请写出一组 ;若不存在，请说
明理由；
（3）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析；（3） .
【解析】（1） ， ，
∴（2）不存在，假设存在，设 公差为
若 ，则 ，公差 ， 矛盾；
若 ，则 ，公差 ， 矛盾.
∴假设不成立，故不存在.
（3）由题意 ， 且
设 ， ，
得 ，进一步得
显然 的值从大到小依次为
（ⅰ）若 ，则 ，则 不可能
（ⅱ）若 ，则 或 ，
则 或 不可能
（ⅲ）若 ，则 ，则 不可能
∴ （当 或 取得）
从而 ，
∴ .∴
（当 ： 取得）
又 ，∴
1．【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为 ，第一层共有 环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
，设 为 的前 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为
，因为下层比中层多729块，所以 ，即
，即 ，解得 ，所以
，故选C．
2．【答案】B
【解析】设塔顶的 盏灯，由题意 是公比为2的等比数列， ，解得 ，故选
．
3．【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ，第一个单音的频
率为 ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为 ，公比为 的等比数列，记为
，则第八个单音频率为 ，故选D．
4.【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知 ，成立；
B． ， ， ，
若 ，则 ，
即 ，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为： ，故C成立；
D． ，当 时，即 ，整理为
，即 ， ，方程有解，故D成立．综上
可知，等式不可能成立的是B，故选B．
5．【答案】B
【解析】 因为 ( )，所以
，所以 ，又 ，所以等比数列的公比 ．
若 ，则 ，
而 ，所以 ，
与 矛盾，
所以 ，所以 ， ，所以 ， ，故选B．
6.【答案】A
【解析】设公差为d，a-a =4d，即d=2，a=2n-11，1≤n≤5使，a＜0，n≥6时，a＞0，所以n=4时，T
5 1 n n n n
＞0，并且取最大值；n=5时，T＜0；n≥6时，T＜0，并且当n越来越大时，T 越来越小，所以T 无最小
n n n n
项．故选A．
7．【答案】
【解析】∵数列 满足 ，且 （ ），
∴当n≥2时， ．
当n=1时，上式也成立，∴ ．∴ ．
∴数列 的前n项的和
∴数列 的前10项的和为
8．【答案】－49
【解析】由条件得 nS＝ ，对f(x)＝ 求导可得f(x)在 上递减，在
n
上递增，分别计算n＝6和n＝7可得，当n＝7时nS＝ 最小为－49.
n
9．【解析】（1）根据题意，等差数列 中，设其公差为 ，
若 ，则 ，变形可得 ，即 ，
若 ，则 ，则 ，n(n−1)
na+ d≥a +(n−1)d
S ≥a 1 2 1
（2）若 n n，则 ，
当 时，不等式成立，
nd
≥d−a
当
n≥2
时，有
2 1
，变形可得
(n−2)d≥−2a
1，
a
(n−2)(− 1 )≥−2a
又由 ，即 ，则有 ，即 ，则有 4 1 ，
又由 ，则有
n≤10
，
则有
2≤n≤10
，
综合可得：
2≤n≤10
， ．
10．【解析】（Ⅰ）∵ ，∴ ，即：
又 ，∴ 是以 为首项，3为公比的等比数列．
∴ ，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，∴
∴
故：
11．【解析】(Ⅰ)由题意得 ，有 ，因此 ，所以数列 是等差数列．
(Ⅱ)
．
．
所以
