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专题 08 二次函数的实际应用
【思维导图】
◎考点题型1 图形问题
例．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室九年级期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃
园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂
直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40－x）B．y＝x（18－x）C．y＝x（40－2x） D．y＝2x（40－x）
变式1．（2022·山东济宁·二模）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 的篱笆围成．
已知墙长为 若平行于墙的一边长不小于 则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）A． B． C． D．
变式2．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，
现有围栏40米，设AB长x米．
(1)BC的长为 米（用含x的式子表示）；
(2)求这个花园的面积最大值．
变式3．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米
的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．
(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
◎考点题型2 图形运动问题
例．（2022·江苏南通·模拟预测）如图，矩形 中， ， ，动点 和 同时从点
出发，点 以每秒 的速度沿 的方向运动，到达点 时停止，点 以每秒 的速度沿
的方向运动，到达点 时停止．设点 运动 （秒）时， 的面积为 ，则
关于 的函数的图象大致为（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·湖北咸宁·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为4， ，动点E从A开始，以每秒
2个单位的速度沿路径A—B—C—D移动，动点F从点A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—D移动，
F点到达终点D点后停下来不动，另一个动点继续向终点D点移动，直至终点D才停下来，设点E移动的
时间为x（单位：s）， 的面积记为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·宁夏·固原市原州区三营中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，
AC= cm，动点P从点B开始沿边BA向点A以2cm的速度移动（不与点A重合），动点Q从点C开
始沿边CB向B以4cm的速度移动（不与B重合）．如果P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为x
（s），四边形APQC的面积为y（cm2）
（1）求y与x的函数关系式：
（2）求自变量x的取值范围：
（3）四边形APQC的面积能否等于172cm2?若能，求出运动时间；若不能，请说理由．
变式3．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有
动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P
的速度是2cm/s，点Q的速度是lcm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设
运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．（1）用含t的代数式表示S．
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？
◎考点题型3 拱桥问题
例．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，
并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度
为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米
时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥
拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，
有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）．
◎考点题型4 销售问题
例．（2022·全国·九年级课时练习）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．
经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价
多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：
当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店
平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
变式2．（2021·四川成都·三模）习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上的讲话中指出，中国宣
布将提高“国家自主贡献”力度，力争2030年前二氧化碳排放达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．
为了响应习近平主席的号召，某新能源汽车制造商一次性投资9000万研发一款新型新能源汽车，如果按每
辆20万元定价能卖出4000辆，如果每辆车定价每提高1万元少卖出200辆．设销售数为y（辆），销售价
格为x（万元）．
(1)求销售数y（辆）与销售价格x（万元）之间的关系式；
(2)如果每生产一辆汽车，需要再投入18万元，当销售价格定为多少时，才能使得利润最大，最大利润为
多少？
变式3．（2022·江苏淮安·九年级期末）某电脑科技公司开发出一种半导体软件，从研发到年初上市后，经
历了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累计利润y（万元）
与销售时间x（月）之间的函数关系，根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)截止到几月末公司累计利润达到30万元？
◎考点题型5 投球问题
例．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，
实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y
（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y= ，则该同学此次投掷实心球的成绩是
（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实
心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．
已知该同学出手点A的坐标为 ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位：
）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间 0 1 2
飞行高度 0 15 20
(1)求小球的飞行高度 （单位： ）关于飞行时间 （单位： ）的二次函数关系式；
(2)小球从飞出到落地要用多少时间？
(3)小球的飞行高度能否达到 ？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异
成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是
如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起
跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当 时，求这条抛物线的解析式．
(2)当 时，求运动员落水点与点 的距离．
(3)图中 米， 米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的
取值范围．
◎考点题型6 喷水问题
例．（2022·全国·九年级专题练习）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高
度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC
＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A．9m B．10m C．11m D．12m
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物
线，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离OB是（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
变式2．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷
水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为
1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：
(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐
标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．
(2)求出水柱最高点P到地面的距离．
(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应
小于多少米？请说明理由．
变式3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置
OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路
径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）
之间的关系式可以用 表示，且抛物线经过点 ， ．请根据以上信息，解答下
列问题：
(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
◎考点题型7 增长率问题
例．（2022·全国·九年级课时练习）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口
罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A．y＝5000（1+x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000（1+x2） D．y＝5000（1+2x）
变式1．（2021·全国·九年级课时练习）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 辆单
车，计划第三个月投放单车 辆，若第二个月的增长率是 ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么
与 的函数关系是 （ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万
元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安
装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安
装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的
小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 （袋 与销售单价 （元 之间满足一次函数
关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价 (元 3.5 5.5
销售量 (袋 280 120
（1）请求出 与 之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
