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5.集合 ，若集合 有且仅有 个子集，则 的取值是
长春外国语学校2025-2026学年第一学期第一次月考高一年级 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R} A 2 a
数学试卷
( )
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2页。考试结束 A. 1 B. −1 C. 0，1 D. −1，0，1
后，将答题卡交回。 A. 若a>b，则a+c>b+c
注意事项：
B. 若a>b>0,c>d>0，则a−d>b−c
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。 C. 若aab>b2
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
D. 若a>b,c>d，则ac>bd
字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 7.若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
草稿纸、试题卷上答题无效。
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
第I卷（选择题）
2 1 m
8.已知a>0，b>0，如果不等式 + ≥ 恒成立，那么m的最大值等于( )
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题 a b 2a+b
目的一项） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
1.设集合A={−1,1,2,3,5}，B={2,3,4}，C={x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B=
( ) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
A. {2} B. {2,3} C. {−1,2,3} D. {1,2,3,4} 合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个
2.命题“∃x∈R，x2+2x+2<0”的否定是( ) 得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
A. ∃x∈R，x2+2x+2≥0 B. ∃x∈R，x2+2x+2>0 9.下列说法正确的是( )
C. ∀x∈ R，x2+2x+2≥0 D. ∀x∉ R，x2+2x+2>0 A. 空集是任意非空集合的真子集
x−4 B. “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件
3.不等式 ≥2的解集是( )
x−1
C. 已知 ， ，则 与 是两个不同
A. {x|−2≤x≤1} B. {x|x≤−2} A={y|y=x2+2,x∈R} B={m|m=t2+2,t∈R} A B
C. {x|−2≤x<1} D. {x|x>1}
的集合
4.若要使√x2−2x−8有意义，则 的取值范围是( ) D. 已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，则M中有不属于P的
x
x+2
元素
A. {x|−2≤x≤4} B. {x|−20
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x<−4} 17．（ 分）已知a>b>1．
15 a b
1 1 (1)证明： < ．
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<− 或x> } a−1 b−1
4 3
1 4
D. a+b+c>0 (2)若a+b=5，求 + 的最小值．
a−1 b+1
11.已知a>0，b>0，a+b=1，则下列结论成立的是( )
A.
1
+
1
的最小值为4 B.
1
+
a
的最小值为3
18．（17分）
a b a b
已知关于 的不等式 ．若不等式的解集为
(1) x ax2−b≥2x−ax(a,b∈R)
1 1 1
C. + 的最小值为2 D. a+ 的最小值为1
1−a 2−b b
，求 、 的值；
{x|−2≤x≤−1} a b
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知M=x2−3x，N=−3x2+x−3，则M，N的大小关系是 ． (2)解不等式.ax2−(a+2)x+2>0
13.已知集合M={(x,y)|x+ y=3}，N={(x,y)|x−y=5}，则M∩N等于______．
1 2 2x+ y
14.已知x，y是正数， + =1，则 的最小值为 ．
x y xy+1
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（ 分）已知集合A={x|x≤−1或x≥5}，集合B={x|2a≤x≤a+2}．
19.（17分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争
(115.)若1a3=−1，求A∩B和(∁ A)⋃B；
R
力，决定优化产业结构，调整出 名员工从事第三产业，调整后他们平均每
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围． x(x∈N∗)
3x
人每年创造利润为10(a− )万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以
500
16．（15分）已知集合 ， ．
A={x|1−a≤x≤1+a}(a>0) B={x|x2−5x+4≤0}
提高0.2x%．
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)对任意x∈B，不等式x2−mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围． 调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？ 因为∁ A={x|−1a+2，可得a>2，
{2a≤a+2 {2a≤a+2
当B≠⌀时 或 ，可得a≤−3，
a+2≤−1 2a≥5
综上所述：a>2或a≤−3．
所以实数a的取值范围为a>2或a≤−3．
【解析】本题考查了交集及其运算，考查了分类讨论的解题思想方法，是基础题．
(1)a=−1，B={x|−2≤x≤1}，即可求A∩B和(∁ A)∪B；
R
(2)由A∩B=B，得B⊆A，然后分B为⌀和B不为⌀讨论，当B不是⌀时，由两集合
端点值间的关系列不等式组求得a的取值范围．
16.解： ，
(1)B={x|x2−5x+4≤0}={x|1≤x≤4}
长春外国语学校2025-2026学年第一学期第一次月考高一年级
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
数学试卷答案
{1−a≤1 {1−a<1
所以 或 ,
1+a>4 1+a≥4
解得a≥3，
一、 选择题
∴a的取值范围为[3,+∞)．
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C C D D A B
4
(2)由x2−mx+4≥0，得x+ ≥m，
9 10 11 x
ABD AC AB
二.填空
则只要 ( 4) ，
m≤ x+
8
x
12.M＞N 13. {(4,-1)} 14. min
9
三、解答题
4
又x+ ≥4，即x=2时等号成立，
15.解：(1)当a=−1时，集合A={x|x≤−1或x≥5}，B={x|−2≤x≤1}， x
可得A∩B={x|−2⩽x⩽−1}， 故m的取值范围为(−∞,4]．【解析】本题主要考查了充分必要条件，不等式恒成立问题，属于中档题． 解．
18. 解：原不等式可化为 ，
{1−a≤1 {1−a<1 (1) ax2+(a−2)x−b≥0
(1)B={x|1≤x≤4}，由题意可得 或 ，求解即可．
1+a>4 1+a≥4
由题知， 、 是方程 的两根，
−2 −1 ax2+(a−2)x−b=0
由 ，得 4 ，则只要 ( 4) ，求解即可．
(2) x2−mx+4≥0 x+ ≥m m≤ x+
x x { a<0
min
a−2
由根与系数的关系得 − =−3 ，解得 {a=−1 ．
a b a(b−1)−b(a−1) b−a a
17.(1)证明： − = = ， b=2
b
a−1 b−1 (a−1)(b−1) (a−1)(b−1) − =2
a
因为a>b>1，所以b−a<0，(a−1)(b−1)>0，
(2)解：
b−a a b
则 <0，从而 < ；
(a−1)(b−1) a−1 b−1
①当a=0时，得x<1；
2
(2)解：因为a+b=5， ②当 a>0 时，所以原不等式化为 (x− )(x−1)>0 ，
a
1 4 1 1 4 1 4(a−1) b+1 2 2
所以 + = [(a−1)+(b+1)]( + )= [5+ + ]， 当 >1 时，即 0 ；
a−1 b+1 5 a−1 b+1 5 b+1 a−1 a a
2
4(a−1) b+1 当 =1 时，即 a=2 时，不等式即为 (x−1) 2>0 ，解得 x≠1 ；
因为a>b>1，由基本不等式可得 + ≥4， a
b+1 a−1
2 2
当 <1 时，即 a>2 时，解得 x< 或 x>1．
8 7 a a
当且仅当a= ，b= 时，等号成立，
3 3
2
③当 a<0 时，所以原不等式化为 (x− )(x−1)<0 ，
a
1 4 1 4(a−1) b+1 9
故 + = [5+ + ]≥ ，
a−1 b+1 5 b+1 a−1 5
2
解得 }；
值求解中的应用，属于基础题． a
(1)利用比较法即可证明； a=2 时 ，不等式的解集为：{x| x≠1} ；
1 4 1 4(a−1) b+1 2
(2)由题意可得， + = [5+ + ]，然后结合基本不等式即可求 a>2 时，不等式的解集为：{x| x< 或 x>1}；
a−1 b+1 5 b+1 a−1 a2 2x 1000
a<0 时，不等式的解集为：{x| 0，
对应关系，属于中档题． 所以00,
所以0
