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专题18.11 矩形（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）
【知识点二】矩形的性质定理
性质 符号语言
边 两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形
∴AD//BC,AD=BC,AB//CD,AB=CD
角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°
对角线 对角线相等且互相平分 ∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD,AO=BO=CO=DO
易错提醒：定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是
直角的四边形是矩形.
【知识点三】矩形的判定定理
判定定理 符号语言角 有一个角是直角的平行四边形是 在平行四边形ABCD中，
矩形
∵∠BAD=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，
∵∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°
∴四边形ABCD是矩形
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD
∴平行四边形ABCD是矩形
易错提醒：
1. 矩形具有平行四边形的一切性质
2. 利用矩形的性质可以推出在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3. 举行的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形.
【知识点五】矩形的对称性
1. 矩形是轴对称图形，有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线.
2. 矩形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
易错提醒：
过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分.
【考点目录】
【矩形性质与判定的理解】
【考点1】矩形性质的理解；
【考点2】矩形判定的理解；
【矩形性质定理】
【考点3】利用矩形性质证明与求值
【矩形判定定理】【考点4】利用矩形判定定理证明与求值
【矩形性质定理与判定定理】
【考点5】利用矩形性质定理和判定定理证明与求值
【直角三角形斜边上的中线与三角形中位线综合】
【考点6】利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半与三角形中位线证明与求值
【矩形性质与判定的理解】
【考点1】矩形性质的理解；
【例1】（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，E、F分别是长方形 的边 、 上
的点， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、长方形的性质和勾股定理，
（1）利用长方形的性质得 ， ，根据题干得 ，有
即可证明全等；
（2）利用全等的性质和长方形的性质得 ，利用勾股定理即可求得答案；
解：（1）证明：∵四边形 为长方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ；
（2）由（1）得 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ．
【变式1】（2023上·重庆南岸·九年级校考阶段练习）矩形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图 B．是中心对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据矩形的性质即可判断．
解：A、B、C都是矩形具备的性质，矩形的对角线不一定垂直，故D错误．
故选D．
【点拨】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理．
【变式2】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）已知矩形的周长为 ，面积为 ，
则矩形的对角线长为 ．
【答案】
【分析】设矩形的长和宽分别为 ，对角线长为 ，则 ，根据已知得出
，代入即可求解．
解：设矩形的长和宽分别为 ，对角线长为 ，则
，
∵ ，
∴ ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次根式的性质化简，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【考点2】矩形判定的理解；
【例2】（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，
E是BA延长线的一点， 的平分线AD．若点P在射线AD上从点A开始运动，点Q在线段CB上从
点C向点B运动，运动的速度均为 ，运动时间为t，若P、Q同时运动．
（1）连接PQ交AC于点O．求证： ；
（2）填空：当 ______秒时，四边形APCQ一定是矩形．
【答案】（1）见分析；（2）6
【分析】（1）如图：先说明四边形APCQ是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证明结论；
（2）如图：由（1）可知四边形APCQ是平行四边形，要使四边形APCQ是矩形，则需AQ⊥BC；然
后运用等腰三角形的性质求得BQ=CQ的长即可解答．
解：（1）证明：∵运P、Q同时运动，动的速度均为 ，运动时间为t，
∴AP=t，CQ=t，即AP=CQ
∵ 的平分线AD
∴∠EAD=∠CAD= ∠EAD
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠EAD=∠B+∠C=2∠C
∴∠C=∠CAD
∴AP QC, AP=CQ
∴四边形APCQ是平行四边形
∴AO=CO．（2）解：如图：由（1）可知四边形APCQ是平行四边形
要使四边形APCQ是矩形，则需AQ⊥BC
∵AB=AC
∴BQ=CQ= BC=6
∵Q在线段CB上从点C向点B运动，运动的速度均为 ．
∴CQ=t=6．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质、矩形的判定、动点问题等知
识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
【变式1】（2023上·山西晋中·九年级统考期中）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这
块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形
是矩形，进行判断即可．本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是关键．
解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故选C．
【变式2】（2021下·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 中， ，点D在 边上，
， ，则当 时，四边形 是矩形．【答案】45°
【分析】先证明四边形 是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解．
解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵当四边形 是矩形时，∠A=90°，
又∵ ，
∴ ∠C= ．
故答案是：45°．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题
的关键．
【矩形性质定理】
【考点3】利用矩形性质证明与求值
【例3】（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，矩形（长方形）
中，对角线 的垂直平分线 分别交 于点O，E，F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）4
【分析】本题考查矩形的性质，线段的中垂线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）证明 ，即可；（2）连接 ，中垂线的性质，得到 ，勾股定理求 的长即可．
掌握相关性质，证明 ，是解题的关键．
（1）解：∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，则： ，
∵矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式1】（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，把矩形 沿 翻折，点 恰好落在
边的 处，若 ， ， ， ，则矩形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，得到 ，根据矩形的性质得到 ，根据平行线的性质
得到 ，进而得到 为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出 ，利用勾股定理求出 ，由此求出答案．
解：根据题意得：
把矩形 沿 翻折，点 恰好落在 边的 处，
， ， ， ，
，
，
在矩形 中， ，
，
在 中，
，
为等边三角形，
，
在 中，
，
，
，
，
矩形 的面积为： ．
故选： ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边
三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
【变式2】（2023下·北京密云·八年级北京市密云区第二中学校考期中）如图，矩形 中，
， ， 为 中点， 为 边上任意一点， ， 分别为 ， 中点，则 的长
．【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
连接 ．根据中点的定义求得 ．根据矩形的性质和勾股定理可求 ，再根据三角形中位线定理可
求 的长．
解：连接 ．
∵ 为 中点， ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
在 中， ，依据勾股定理 ，
∴ ．
∵ ， 分别为 ， 中点，
∴ ．
故答案为： ．
【矩形判定定理】
【考点4】利用矩形判定定理证明与求值
【例4】（2024上·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在 中，点F是边 的中点，连接
、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，则四边形 是什么特殊四边形？请说明理由【答案】（1）见分析；（2）矩形，理由见分析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定．证明三角形全等
是解题的关键．
（1）由在 中，点F是边 的中点，易证得 ，可得 即可；
（2）由（1）易得四边形 是平行四边形，又由 ，易证得 ，即可得 ，
证得四边形 是矩形．
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点F是边 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是矩形．理由如下：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【变式1】（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在 中， ， 是 上两点，
，连接 ， ， ， 后得到四边形 ．下列条件中，不能使四边形 是矩形
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式2】（2024上·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ，
连接 ，相交于点 ．请增加一个条件，使得四边形 是矩形，增加的条件为 ．（填
一个即可）
【答案】 或 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了矩形的判定，由 ， 得出四边形 是平行四边形，再由
矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键．
解： 在四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
当 或 时，四边形 是矩形，
故答案为： 或 （答案不唯一）．【矩形性质定理与判定定理】
【考点5】利用矩形性质定理和判定定理证明与求值
【例5】（2023上·浙江·八年级校考期中）如图，在长方形 中，E是 的中点，将 沿
直线 折叠后得到 ，延长 交 于点F，连接 ，若 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据点E是 的中点以及翻折的性质可以求出 ，再根据矩形的性质，得出
，然后利用“ ”证明 即可；
（2）由 ，得出 ，设 ，表示出 、 ，然后在 中，利用勾
股定理列式进行计算即可．
解：（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵ 沿 折叠后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ，∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
，
解得： ，
∴ ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，解
题关键是熟记相关性质，找出三角形全等的条件 ．
【变式1】（2022上·江西抚州·九年级统考期中）两个矩形的位置如图所示，若 则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由补角的定义可得 ，由题意可得 ， ，则有 ，即
可得解．
解：如图，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．【点拨】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的
两角之和为180°
【变式2】（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ， 点E在边
上，点F在边 上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较
强，将 转化为 是解题的关键．
先连接 ，将 转化为 ，再利用将军饮马解决问题即可．
解： AIAI
如图，连接
四边形 是矩形
，
∵
如图，作B点关于A点的对称点 ，连接
，的最小值为
故答案为： ．
【直角三角形斜边上的中线】
【考点6】利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半证明与求值
【例6】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）如图，在 中， ， 是 的
中位线， 是 的中线．求证 ．
（1）小明给出了如下证明过程，请把小明的证明过程补充完整；
证明： 是 的中位线，
__________．
是 的中线， ，
__________．
．
（2）请你用和小明不同的方法证明 ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见分析
【分析】（1）根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，进行作答即可；
（2）连接 、 ，证明平行四边形 是矩形，即可得证．
解：（1）证明： 是 的中位线，
．
是 的中线， ，
．．
故答案为： ，
（2）证明：连接 、 ．
是 的中位线， 是 的中线，
点 、 、 分别是 、 、 的中点．
、 是 的中位线
， ．
四边形 是平行四边形．
．
平行四边形 是矩形．
．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定和性质．熟练掌握三
角形的中位线定理是解题的关键．
【变式1】（2022·河北邯郸·校联考一模）如图，在 ABC中，∠ABC=90°，EF、BG分别是 ABC的
中位线和中线，则下列说法不正确的是（ ） △ △
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF= AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BG=AG=CG= AC，据此判断即可．
解：∵EF是 ABC的中位线，
△
∴EF= AC，
∵BG是 ABC的中线，
△
∴BG=AG=CG= AC=EF，
故选项A、B、C都正确，
而AE与CF不一定相等，故选项D不正确，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行
于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式2】（2020下·四川成都·八年级统考期末）如图， 为 的中位线，点 在 上，且
为直角，若 ． ，则 的长为 ．
【答案】12
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
解： 为 的中位线，
，
，
，
点 是 的中点， ，
，
故答案为：12．
【点拨】本题考查三角形中位线定理、解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中
位线平行于第三边且等于第三边的一半，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
