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菱 形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·海南中考)如图,将△ABC 沿 BC 方向平
移得到△DCE,连接 AD,下列条件中能够判定四边
形ACED为菱形的是( )
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
2.如图,两条笔直的公路 l ,l 相交于点 O,村庄 C 的村民在
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公路的旁边建三个加工厂 A,B,D,已知 AB=BC=CD=DA=5 千
米,村庄 C 到公路 l 的距离为 4 千米,则村庄 C 到公路 l 的距离是(
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)
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A.3千米 B.4千米 C.5千米 D.6千米
3.(2013·玉林中考)如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱
形.甲、乙两人的作法如下:甲:连接 AC,作 AC 的垂直平分线 MN 分别交AD,AC,BC 于 M,O,N,连接
AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠A,∠B 的平分线 AE,BF,分别交 BC,AD 于 E,F,连接 EF,则
四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断( )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·潍坊中考)如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边
形,且 OB=OD,请你添加一个适当的条件 ,使
ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
5.如图,在四边形 ABCD 中,AC=BD=6,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的
中点,则EG2+FH2= .6.(2013·宜宾中考)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD 为 AC 的中线,
过点 C 作 CE⊥BD 于点 E,过点 A 作 BD 的平行线,交 CE 的延长线于点
F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形
BDFG的周长为 .
三、解答题(共26分)
7.(8 分)已知:如图所示,平行四边形 ABCD 中,M,N 分
别是DC,AB的中点,若∠A=60°,AB=2AD.
求证:MN⊥BD.
8.(8 分)(2013·盐城中考)如图,在平行四边形 ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD.
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
【拓展延伸】
9.(10 分)△ABC 是等边三角形,点 D 是射线 BC 上的一个动点(点 D 不
与点 B,C 重合),△ADE 是以 AD 为一边的等边三角形,过点 E 作 BC 的
平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.
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(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证:△AEB≌△ADC.
②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.
(2)如图(b)所示,当点 D 在 BC 的延长线上时,直接写出(1)中的两个
结论是否成立.(3)在(2)的情况下,当点 D 运动到什么位置时,四边形 BCGE 是菱形?
并说明理由.
答案解析
1.【解析】选 B.由平移,得 AC∥DE,AC=DE,∴四边形 ACED 是平行四
边形;
又∵BC=CE,∴当AC=BC时,AC=CE,∴四边形ACED是菱形.
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2.【解析】选B.如图,连接AC,作CF⊥l ,CE⊥l ;
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∵AB=BC=CD=DA
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=5千米,
∴四边形ABCD是菱形,
∴∠CAE=∠CAF,
∴CE=CF=4千米.
3.【解析】选C.甲的作法正确;∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN,
∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,
在△AOM和△CON中,
∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∵AC⊥MN,
∴四边形ANCM是菱形.
乙的作法正确;
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.
∵AF∥BE,且AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.
4.【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,已知 AC⊥BD,
所以只需添加条件使四边形 ABCD为平行四边形即可,答案不唯一,如
OA=OC等.
答案:OA=OC(答案不唯一)
5.【解析】连接 EF,FG,GH,HE,∵点 E,F,G,H 分别是
AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC∥GH,EF=GH= AC=3,EH∥BD∥FG,EH=FG= BD=
3,所以四边形EFGH是菱形,∴EG⊥FH.
设EG,FH的交点为O.
∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.
答案:36
6.【解析】∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,
又∵点D是AC的中点,∴BD=DF= AC,
∴四边形BGFD是菱形,
设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,
在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2,
即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,
故四边形BDFG的周长=4GF=20.
答案:20
7.【证明】连接DN,BM.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB CD,
∵M,N分别是DC,AB的中点,
∴DM= DC,BN= AB=AN,
∴DM BN,
∴四边形BMDN是平行四边形.
∵AB=2AD,AB=2AN,∴AD=AN.∵∠A=60°,∴△ADN是等边三角形,
∴DN=AN=BN,∴平行四边形BMDN是菱形,
∴MN⊥BD.
8.【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.
又∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.
∴∠ABE=∠EAD.
(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
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又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
9.【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,∴△AEB≌△ADC.
②四边形BCGE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,
∴EB∥GC.又∵EG∥BC,
∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当 CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形
BCGE是菱形.
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.
又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形,
∴四边形BCGE是菱形.
