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第18章 平行四边形过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，利用矩形的性质和菱形的性质即可
求解，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解决此题的关键．
【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：A．
2．如图，在 ▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB=11，BE=4，则
AD的长为（ ）
A．15 B．11 C．20 D．52
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解
题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得
AD∥BC，AD=BC，AB=DC，根据角平分线的性质，则∠ADE=∠CDE，根据
平行线的性质，则∠ADE=∠CED，根据等角对等边，可得DC=EC，根据
BC=BE+EC即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠ADE=∠CED，
∵BE是∠ADC的角平分线，∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴DC=EC=AB=11，
∵BE=4，
∴BC=BE+EC=4+11=15，
∴AD=15．
故选：A．
3．平行四边形一定具有的特征是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等 C．四个角都是直角 D．对角线互相平分
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据
平行四边形的性质逐项判断即可得．
【详解】A.平行四边形的对边相等，四边不一定相等，此项不符合题意；
B.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，此项不符合题意；
C.平行四边形的对角相等，但四个角不一定是直角，此项不符合题意；
D.平行四边形的对角线互相平分，此项符合题意；
故选：D
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=6，则CD的长是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半，据此可得答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
1
∴CD= AB=3，
2
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE:∠DCE=2:1，则∠ACE为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则
∠BCD=90°，OD=OC，根据∠BCE:∠DCE=2:1，求出∠DCE=30°，根据题
意，则∠DEC=90°，求出∠EDC，得到△ODC是等边三角形，即可求出∠ACE．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AC=BD，
∴OD=OC，
∵∠BCE:∠DCE=2:1，
∴∠BCE=2∠DCE，
∴∠BCE+∠DCE=2∠DCE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=30°，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∴∠EDC=60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DCO=60°，∠DCE=∠OCE
∵∠ACE+∠DCE=60°，
∴∠ACE=30°．
故选：C．
6．一个菱形的面积是120，其中一条对角线的长为10，则另一条对角线长是（ ）
A．10 B．12 C．24 D．26
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积公式对角线乘除的一半，求出另一条对
角线的长即可．
【详解】解：由题意，菱形的另一条对角线的长为120×2÷10=24；
故选C．7．如图，在 ▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是边CD的中点，下列判断一定正确的是
（ ）
A．AB=BC B．OA=OB
C．OE∥AD D．OE=DE
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质；根据平行四边形的性质可得
OA=OC，根据CE=DE可得OE是△ACD的中位线，进而可得OE∥AD，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴OE∥AD，故C选项正确，符合题意；
而AB=BC，OA=OB，OE=DE不一定成立；
故选：C．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，已知AB=1，则该
矩形的面积是（ ）
❑√3
A． B．2 C．❑√3 D．3
2
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知
识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
根据矩形的性质可知∠BAD=90°，OA=OB，∠AOB=60°，三角形ABO为等边三
角形，进而可求∠ADB=30°，含30°的直角三角形中BD=2AB=2，AD=❑√3，再通
过矩形面积公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知∠BAD=90°，OA=OB，∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OBA=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AB=2，
∴ ，
AD=❑√22−12=❑√3
∴矩形的面积为：AB×AD=❑√3，
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠C=90°，D，E分别为BC，AC的中点，
连接DE，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（ ）
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出AB，然
后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得
1
DE∥AB，DE= AB，易证得BD=DF，然后计算EF即可．
2
【详解】解：∵AC=5，BC=12，∠C=90°，
∴ ，
AB=❑√AC2+BC2=13
∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1 13
∴DE∥AB，DE= AB= ，
2 2
∴∠ABF=∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠ABF，
∴∠FBD=∠BFD，1
∴BD=DF= BC=6，
2
13 1
∴EF=DE−DF= −6= ，
2 2
故选：A．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点M是边AB上一点（不与
点A、B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值
是（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将EF转化为CM是
解题的关键．连接CM，根据矩形的性质可得MC=EF，当CM⊥AB时，EF取得最
小值，根据等面积法求解即可，进而可得EF的最小值．
【详解】解：如图，连接CM，
∠ACB=90° ME⊥AC MF⊥BC
∵ ， ， ，
∴四边形MECF是矩形，
∴MC=EF，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
，
∴AB=❑√AC2+BC2=5
当CM⊥AB时，CM取得最小值，即EF取得最小值，
1 1
∵ ×AB×CM= ×AC×BC，
2 2AC×BC 3×4
∴CM= = =2.4．
AB 5
∴ EF=CM=2.4．
即EF的最小值是2.4．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，DE是△ABC的中位线，若DE=4，则BC的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到BC=2DE，计算即可．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8．
故答案为：8．
12．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为
4.8km4.8km，则M、C两点间的距离为 km．
【答案】2.4
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等
于斜边的一半．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵M是AB的中点，AB=4.8km
1 1
∴CM= AB= ×4.8=2.4km
2 2故答案为：2.4 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E为AB边上一点，将△DAE沿直线DE折
叠，点A的对应点F恰好落在对角线BD上，则AE的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，先根据矩形的性质得出AD=BC=6，
，根据勾股定理得出 ，根据折叠得出 ，
∠A=90° BD=❑√AB2+AD2=10 DF=AD=6
， ，再利用勾股定理得出 ，求解即
AE=EF ∠DFE=∠A=90° AE2+16=(8−AE) 2
可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠A=90°，
∴ ，
BD=❑√AB2+AD2=❑√82+62=10
∵将△DAE沿直线DE折叠，点A的对应点F恰好落在对角线BD上，
∴DF=AD=6，AE=EF，∠DFE=∠A=90°，
∴BF=4，
∵EF2+BF2=BE2，
∴ ，
AE2+16=(8−AE) 2
∴AE=3，
故答案为：3
14．如图，∠BOD=60°，BO=DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB=3，
连接AC,BD交于点E，连接OE．则OE= ．【答案】3❑√3
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性
质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形性质得EA=EB=EC=ED，根据∠BOD=60°,BO=DO得△BOD为等边
三角形，则OE⊥BD,∠OBD=60°，由此△ABE为等边三角形，则
EA=EB=AB=3，进而得BO=DO=BD=6，然后在Rt△OBE中由勾股定理即可求
出OE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点E，
∴EA=EB=EC=ED，
∵∠BOD=60°,BO=DO，
∴△BOD为等边三角形，
∴OE⊥BD,∠OBD=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴EA=EB=AB=3，
∴EA=EB=EC=ED=3，
∴BD=BE+DE=6，
∴BO=DO=BD=6，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：
．
OE=❑√BO2−BE2=❑√62−32=3❑√3
故答案：3❑√3．
15．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示
的菱形，并测得∠B=60∘，对角线AC=8cm，接着活动学具成为图2所示的正方形，
则图2中正方形对角线AC的长为 cm．【答案】8❑√2
【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练
掌握菱形和正方形的性质．
如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出
AB=BC=AC=8cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=8cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∴ΔABC是等腰直角三角形，
∴AC=❑√2AB=8❑√2cm，
故答案为：8❑√2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD边上的动点，点M是点A关于
直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是 ．
【答案】2【分析】本题主要考查了动点最值问题，解题过程涉及到轴对称性质、三角形三边关
系、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定
MD的取值范围．连接BM，BD，首先结合矩形的性质以及勾股定理解得BD的长度，
再根据对称性得到AB=MB=3，在△BDM中根据三角形三边关系可得
DM>BD−BM，所以当B、M、D三点共线时，MD最短，然后求解即可．
【详解】解：连接BM，BD，如图所示，
∵四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4，
∴∠BAD=90°，AD=BC=4，
∴ ，
BD=❑√AB2+AD2=❑√32+42=5
∵点A和M关于BE对称，
∴AB=MB=3，
在△BDM中根据三角形三边关系可得DM>BD−BM，
∴当B、M、D三点共线时，MD最短，
∴DM=BD−BM=5−3=2．
故答案为：2．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
(1)求证：OA=OC，OB=OD；
(2)若对角线AC与BD的和为18，AB=6，求△AOB的周长．
【答案】(1)见解析
(2)15【分析】本题考查了平行四边形的性质；
（1）根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论；
1 1
（2）根据平行四边形的性质求出OA+OB= AC+ BD=9，然后即可计算△AOB
2 2
的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD；
（2）由题意得AC+BD=18，
由（1）知OA=OC，OB=OD，
1 1 1 1
∴OA+OB= AC+ BD= (AC+BD)= ×18=9，
2 2 2 2
∴△AOB的周长为：OA+OB+AB=9+6=15．
18．（8分）如图，在矩形ABCO中，延长AO到点D，使DO=AO，延长CO到点E，使
EO=CO，连接AC,AE,DC，DE．
(1)求证：四边形ACDE是菱形；
(2)若AE=5，AO=3，求四边形ACDE的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)24
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先证明四边形ACDE是平行四边形，再结合矩形的性质得∠AOC=90°，故四
边形ACDE是菱形；
（2）先运用勾股定理算出 ，再根据菱形的性质求出面积，即
OE=❑√AE2−AO2=4
可作答．
【详解】（1）证明：∵DO=AO，EO=CO，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵四边形ABCO是矩形，∴∠AOC=90°，
∴AD⊥CE，
∴四边形ACDE是菱形；
（2）解：∵AD⊥CE，
∴∠AOE=90°，
∵AE=5，AO=3，
，
∴OE=❑√AE2−AO2=4
∴CE=8，AD=6，
1 1
∴四边形ACDE的面积= AD⋅CE= ×6×8=24．
2 2
19．（8分）正方形ABCD中，E为AB上一点，F为CB延伸线上一点，且∠EFB=45°．
(1)求证：AF=CE；
(2)你认为AF与CE有怎样的位置关系？说明原因．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF⊥CE，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形
的判定方法是解题的关键．
（1）根据正方形ABCD得出AB=BC，∠ABC=90°，进而得到∠EBF=90°，证
明△CBE≌△ABF，即可得到结论；
（2）AF⊥CE，延长CE交AF于点G，证明∠AGE=90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=90°，
∵∠EFB=45°，
∴∠FEB=EFB=45°，
∴BE=BF，∴ △CBE≌△ABF，
∴AF=CE；
（2）解：AF⊥CE，理由如下，
延长CE交AF于点G，
由（1）得△CBE≌△ABF，
∴∠CEB=∠AFB，
∵∠CEB=∠AEG，
∴∠AFB=∠AEG，
∵∠ABF=90°，
∴∠AFB+∠EAG=90°，
∴∠AEG+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥CE．
20．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到
点F，使得EF=BE，连接CF．
(1)求证：四边形BCEF是菱形；
(2)若CE=2，BC=3，求菱形BCFE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4❑√2
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理；
（1）根据三角形的中位线可得DE∥BC，BC=2DE，可证四边形BCFE是平行四
边形，再由BE=FE即可得证；
1
（2）根据菱形的性质可得BF⊥CE，OE= CE=1， OB=OF，BE=BC=3，再
2
根据勾股定理求出OB，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∵BE=2DE，
∴BC=BE，
∵BE=EF，
∴BC=EF，
∵DE∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：连接BF，交CE于O，
∵ BCFE
四边形 是菱形，
1
∴BF⊥CE，OE= CE=1， OB=OF， BE=BC=3，
2
∴∠BOE=90°，
在 中， ，
Rt△BOE OB=❑√BE2−OE2=2❑√2
∴BF=2OB=4❑√2，
1 1
∴S = BF⋅CE= ×4❑√2×2=4❑√2，
菱形BCFE 2 2
∴菱形BCFE的面积为4❑√2．
21．（10分）如图在四边形ABCD中，AB∥CD，点O为对角线BD的中点，过点O的直线．EF⊥AD于点E，交BC于点F，OE=OF，连接OC，∠FOC=∠ODA．
(1)求证：四边形ABCD为菱形．
(2)若AB=1，BD=3EF，求OC的长．
【答案】(1)见解析
1
(2)OC的长为 ．
3
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的
判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明△DOE≌△BOF(SAS)，得∠ODE=∠OBF，推出AD∥BC，可证明四
边形ABCD是平行四边形，然后证明AC⊥BD，即可得出结论；
1 2
（2）由菱形的性质得AD=AB=1，OA=OC= AC，再由菱形的面积求出AC= ，
2 3
即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点O为对角线BD的中点，
∴OB=OD，
∵OE=OF，∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(SAS)，
∴∠ODE=∠OBF，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
连接AC，
∵点O为对角线BD的中点，
∴点O在线段AC上，∵EF⊥AD，
∴∠OED=90°，
∴∠ODA+∠DOE=90°，
∵∠FOC=∠ODA，
∴∠FOC+∠DOE=90°，
∴∠COD=180°−90°=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD为菱形，
1
∴AD=AB=1，OA=OC= AC，
2
∵EF⊥AD，
1
∴S = AC⋅BD=AD⋅EF，
菱形ABCD 2
∵BD=3EF，
1
∴ AC⋅3EF=AD⋅EF，
2
1
即 AC×3=1，
2
2
∴AC= ，
3
1 1
∴OC= AC= ，
2 3
1
即OC的长为 ．
3
22．（10分）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=4❑√2，E为对角线AC上一动点，
连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，
连接CG．(1)求证：四边形DEFG是正方形；
(2)连接EG，求证：AE2+CE2=EG2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，根据正方形的性质有
EM=EN，接着证△DEN≌△FEM(ASA)，得出DE=FE，最后根据四边形DEFG
是矩形，问题得证
（2）连接EG，先证△ADE≌△CDG，得出AE=CG，在Rt△ECG中，利用勾股定
理即可得证．
【详解】（1）证明：如答图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
则∠MEN=90°．
∵E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵EF⊥DE，
∴∠≝=90°，
∴∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠FEM，
{∠DNE=∠FME
)
在△DEN和△FEM中， EN=EM ，
∠DEN=∠FEM
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴DE=FE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）证明：如答图，连接EG，
由题意，知AD=DC，∠ADC=90°，
由（1）知，四边形DEFG是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，
∴∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，
∵∠ACD=45°，
∴∠ECG=45°+45°=90°，
∴AE2+CE2=CG2+EC2=EG2．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键．
