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矩 形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作
学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是( )
A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中三个角是否都为直角
2. ABCD 中,AC 交 BD 于点 O,再添加一个条件,仍不能判定四边形
▱
ABCD是矩形的是( )
A.AB=AD B.OA=OB
C.AC=BD D.DC⊥BC
3.如图,△ABC中,AC的垂直平分线分别交 AC,AB于点 D,F,BE⊥DF交
DF 的延长线于点 E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形 BCDE 的面
积是( )A.2 B. C.4 D.3
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二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,将△ABC 绕点 C 旋转 180°得到
△FEC,连接 AE,BF.当∠ACB 为 度时,四边形 ABFE
为矩形.
5.(2013·呼和浩特中考)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂
足为 O,点 E,F,G,H 分别为边 AD,AB,BC,CD 的中点.若AC=8,BD=6,则
四边形EFGH的面积为 .
6.如图,将矩形纸 ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是 cm.
三、解答题(共26分)
7.(8 分)已知:如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于
点 O,BE⊥AC 于 E,DF⊥AC 于 F,点 O 既是 AC 的中点,又
是EF的中点.
(1)求证:△BOE≌△DOF.
(2)若OA= BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?说明理由.
8.(8 分)(2013·新疆中考)如图, ABCD 中,点 O 是 AC 与
▱
BD 的交点,过点 O 的直线与 BA,DC 的延长线分别交于点
E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF.
(2)请连接 EC,AF,则 EF 与 AC 满足什么条件时,四边形 AECF 是矩形,并说明理由.
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【拓展延伸】
9.(10 分)如图,在△ABC 中,点 O 是 AC 边上(端点除外)的一个动点,
过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补
角的平分线于点 F,连接 AE,AF.那么当点 O 运动到何处时,四边形
AECF是矩形?并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选D.根据矩形的判定,三个角都为直角的四边形是矩形.
故选D.2.【解析】选 A.根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边
形是矩形)可得:DC⊥BC 可证四边形 ABCD 是矩形.故 D 选项能判定四
边形 ABCD 为矩形;矩形的对角线相等且相互平分,OA=OB,AC=BD 可证
四边形ABCD为矩形,故B,C选项能判定四边形 ABCD为矩形;AB=AD时,
可证四边形ABCD的四条边都相等,不能证四边形ABCD为矩形.
3.【解析】选A.∵DE是AC的垂直平分线,F是AB的中点,
∴DF∥BC,∴∠C=90°,又易知∠CDE=∠BED=90°,
∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,
∴AC= =2 .∴DC= .
∴四边形BCDE的面积为2× =2 .
4.【解析】如果四边形ABFE为矩形,
根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,
又因为AC=AB,那么三角形ABC是等边三角形,
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所以∠ACB=60°.答案:60
5.【解析】∵点 E,F 分别为四边形 ABCD 的边 AD,AB 的中点,
∴EF∥BD,且EF= BD=3.
同理求得GH∥BD,且GH= BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF= AC=4,
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形.
∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12,
即四边形EFGH的面积是12.
答案:12
6.【解析】∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°,
同理可得:∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
∴EH=FG,HG=EF,∠EHA=∠GFC,又∠A=∠C=90°,
∴△AEH≌△CGF,∴AH=CF,∴BF=HD.
∵AD=AH+HD=HM+MF=HF,
HF= = =5,∴AD=5cm.
答案:5
7.【解析】(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°.
又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF,∴△BOE≌△DOF(ASA).
(2)四边形ABCD是矩形.
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵OA= BD,OA= AC,
∴BD=AC,∴ ABCD是矩形.
▱
8.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
(2)连接EC,AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形.理由如下:
由(1)可知△AOE≌△COF,
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∴OE=OF,∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF=AC,∴四边形AECF是矩形.
9.【解析】当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA=OC)时,四边形 AECF 是矩
形.
证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2.
又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.
同理,FO=CO.∴EO=FO.
又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
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方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4.
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.
∴平行四边形AECF是矩形.方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,
∴EO=CO=FO=OA,
即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.
