矩 形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·包头中考)如图,四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是
两个矩形,点 B 在 EF 边上,若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面
积分别是S ,S ,则S ,S 的大小关系是( )
1 2 1 2
A.S >S B.S =S C.S <S D.3S =2S
1 2 1 2 1 2 1 2
2.(2013·南充中考)如图,把矩形 ABCD 沿 EF 翻折,点 B 恰
好落在 AD 边的 B'处,若 AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形
ABCD的面积是( )
A.12 B.24 C.12 D.16
3.如图,∠MON=90°,矩形 ABCD 的顶点 A,B 分别在边 O
M,ON 上,当 B 在边 ON 上运动时,A 随之在 OM 上运动,矩形
ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2,BC=1,运动过程中,点 D 到点 O 的最
大距离为( )A. +1 B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·北京中考)如图,O是矩形ABCD的对角线 AC的中点,M是AD
的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为 .
5.(2013· 漳 州 中 考 ) 如 图 , 在 Rt△ ABC 中 ,
∠ACB=90°,点 D 是斜边 AB 的中点,DE⊥AC,垂足为 E,
若DE=2,CD=2 ,则BE的长为 .
6.如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长
线上,连接 DE 交 AB 于点 F,∠AED=2∠CED,点 G 是 DF
的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为 .
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2013·湘西中考)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE .
(1)求证:△BEC≌△DFA.
(2)求证:四边形AECF是平行四边形.
8.(8 分)已知:如图,矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,AE 平分∠BAD,
若∠EAO=
15°,求∠BOE的度数.
【拓展延伸】
9.(10分)阅读以下短文,然后解决下列问题:
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重
合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩
形为三角形的“友好矩形”.如图①所示,矩形 ABEF 即为△ABC 的
“友好矩形”.显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图②,若△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC
的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC 是锐角三角形,且 BC>AC>AB,在图③中画出△ABC 的所有
“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
答案解析
1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S =2S ,而S = S ,所以S =S .
1 △ABC △ABC 2 1 2
2.【解析】选D.由两直线平行,内错角相等,
知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=∠A'EF=120°,
∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'=2 ,∴AB=2 ,矩形ABCD的面积为S=2 ×8=16 .
【归纳整合】解决矩形中折叠问题的两个思路
(1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质.
(2)运用轴对称的性质,找出折叠前后相等的角、线段.
3.【解析】选A.取AB的中点E,连接OE,DE,OD,
则 OE= AB=1,AE=1,∴DE= ,当 D,E,O 三点共线时,OD=OE+DE,否则
OD<OE+DE,
∴OD长的最大值是 +1.
4.【解析】由勾股定理得AC=13,
∵BO为直角三角形斜边上的中线,
∴BO=6.5,
由三角形中位线定理得MO=2.5,
∴四边形ABOM的周长为:6.5+2.5+6+5=20.
[来源:学.科.网]答案:20
5. 【 解 析 】 ∵ ∠ ACB=90°, 点 D 是 斜 边 AB 的 中
点,DE⊥AC,∴BC=2DE=4.
[来源:Z+xx+k.Com]
∴AB=2CD=4 ,
∴AC= = =8.
∴CE= AC=4,∴BE= = =4 .
答案:4
6.【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.∴∠CED=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.
∵点G是DF的中点,
∴AG= DF=DG.∴∠AGE=2∠ADE=2∠CED.
又∵∠AED=2∠CED,∴∠AGE=∠AED,
∴AE=AG=4.
在Rt△ABE中AB= = = .答案:
7.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC.
又∵E,F分别是边AB,CD的中点,
∴BE=DF,
∵在△BEC和△DFA中,
∴△BEC≌△DFA(SAS).
(2)由(1)得,CE=AF,又CF=AE,
故可得四边形AECF是平行四边形.
8.【解析】∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
∵∠BAD=90°,∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=45°.
∵∠EAO=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°.∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴BO=AB.
∵AB=BE,∴BO=BE,∴∠BOE=∠BEO.
∵∠ABE=90°,∠ABO=60°,∴∠OBE=30°.
在△BOE中,∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°,
∴∠BOE= (180°-∠OBE)=75°.
9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形
的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边
形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边
形”.
(2)此时共有2个“友好矩形”,如图,矩形BCAD,矩形ABEF.
易知,矩形 BCAD,矩形 ABEF 的面积都等于△ABC 面积的 2
倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有 3 个“友好矩形”,如图中矩形 BCDE,矩形 CAFG 及矩形ABHK,其中矩形ABHK的周长最小.
[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学科网]
证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为S.设矩形BCDE,矩形
CAFG 及 矩 形 ABHK 的 周 长 分 别 为 L ,L ,L ,△ ABC 的 边 长
1 2 3
BC=a,CA=b,AB=c,则L = +2a,L = +2b,L = +2c.
1 2 3
∴ L -L = - =2(a-b)× , 而 ab>S,a>b,∴ L -
1 2 1
L >0,即L > L .
2 1 2
同理可得,L > L ,
2 3
∴L 最小,即矩形ABHK的周长最小.
3
