勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为 1,△ABC的三边 a,b,c的大小关系是
( )
A.a<c<b B.a<b<c
C.c<a<b D.c<b<a
2.(2013·南京中考)设边长为 3 的正方形的对角线长为 a,下列关于
a 的四种说法:① a 是无理数;② a 可以用数轴上的一个点来表示;
③ 3<a<4;④ a 是 18 的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是(
)
A.①④ B.②③C.①②④ D.①③④
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3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第 n 个
三角形的面积为( )
A.n B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是 .
5.(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐
标分别为(-6,0),(0,8).以点 A 为圆心,以 AB 长为半径画弧,
交x正半轴于点C,则点C的坐标为 .
6.如图是由 4个边长为 1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度
的直尺在这个“田字格”中最多可以作出 长度为 的线段
条.三、解答题(共26分)
7.(8 分)在同一直角坐标系中分别描出点 A(-3,0),B(2,0),C(1,3),
再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的面积与周长.
8.(8 分)如图所示,在有 24 个边长为 1 的小正三角形的
网格中,点 P 是正六边形的一个顶点,以点 P 为直角顶点
作格点直角三角形,(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可
能的直角三角形斜边的长.
【拓展延伸】
9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其
中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和
含 30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 S ,第二个正方形和
1
第二个直角三角形的面积之和为 S ,…,第 n 个正方形和第 n 个直角
2
三角形的面积之和为S .设第一个正方形的边长为1.
n
请解答下列问题:
(1)S = .
1
(2)通过探究,用含n的式子表示S ,则S = .
n n
答案解析
1.【解析】 选 C.∵AC= =5= ,BC= = ,AB=4=
,
∴b>a>c,即c<a<b.
2.【解析】选 C.由勾股定理得,正方形的对角线长为 a= =
=3 ,且4<a<5.所以③错误,其他都正确.
3.【解析】选D.根据勾股定理:在第一个三角形中:O =1+1,S =1×1÷2.
1
在第二个三角形中:O =O +1=1+1+1,
S =OA ×1÷2= ×1÷2.
2 1
在第三个三角形中:O =O +1=1+1+1+1,
S =OA ×1÷2= ×1÷2;
3 2
…
在第n个三角形中:S = ×1÷2= .
n
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4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2,所以斜边长为
= ,所以-1 到点 A 的距离是 ,那么点 A 所表示的数为
-1.
答案: -1
5.【解析】∵点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8,
∴AB= =10,
∵以点A为圆心,以AB长为半径画弧,
∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,∵交x正半轴于点C,∴点C的坐标为(4,0).
答案:(4,0)
6.【解析】如图,由于每个小正方形的边长都为 1,那么根
据勾股定理容易得到长度为 的线段,然后可以找出所有
这样的线段.如图,所有长度为 的线段全部画出,共有8条.
[来源:学科网]
答案:8
7.【解析】如图,利用勾股定理得,AC= =5,BC= =
,
AB=2-(-3)=5,
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5+ +5=10+ ,面积为 ×5×3= .
8.【解析】通过作图知,以点 P 为直角的三角形有八种情况,如图,△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,△PC'B',△PC'A',△PD'B',△PD'A',均
是 以 点 P 为 直 角 的 直 角 三 角 形 , 且
△PCB≌△PC'B',△PCA≌△PC'A',△PDB≌△PD'B',△PDA≌△PD'A'
,故:
在Rt△PCB中,BC= = =2=B'C';
在Rt△PCA中,AC= = = =A'C';
在Rt△PDB中,BD= = = =B'D';
在Rt△PDA中,AD= = =4=A'D'.
故所有可能的直角三角形斜边的长为4,2, , .
9.【解析】(1)∵第一个正方形的边长为1,∴正方形的面积为1,
又∵直角三角形一个角为30°,
∴三角形的一条直角边为 ,另一条直角边就是 = ,
∴三角形的面积为 × ÷2= ,∴S =1+ .
1
(2)∵第二个正方形的边长为 ,它的面积就是 ,也就是第一个正方
形面积的 ,
同理,第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的 ,
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∴S = · ,依此类推,S = · · ,即S = ·
2 3 3
,
[来源:Zxxk.Com]
所以S = · (n为整数).
n
