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勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为 3 和 4.则第
三边的长为
( )
A.5 B. C. D.5或
2. 如 图 , 有 一 块 直 角 三 角 形 纸 板 ABC, 两 直 角 边
AC=6cm,BC=8cm.现将直角边 AC 沿直线 AD折叠,使它落在斜
边AB上,且点C落到点E处,则CD等于( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
3.(2013·资阳中考)如图,点E在正方形ABCD内,满足
∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60
C.76 D.80
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二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2013·莆田中考)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都
是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形 A,B,C,D 的面积
分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 .
5.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则
AD=
cm.
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6.(2013· 桂 林 中 考 ) 如 图 , 在 △ ABC
中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE= .
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三、解答题(共26分)
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7.(8分)已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长.
8.(8 分)在△ABC 中,AB=15,AC=20,BC 边上的高 AD=12,试求 BC 边的
长.
【拓展延伸】
9.(10 分)有一块直角三角形的绿地 ,量得两直角边长分别为 6m,8m.
现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以 8m 为直角边的直
角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图2,图3备用)
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1.【解析】选 D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边长
为5;(2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三边长为 ,故选D.
2.【解析】选 B.由题意可知,△ACD 和△AED 关于直线 AD 对称,因而
△ACD≌△AED.所以 AE=AC=6cm,CD=ED,ED⊥AB,设 CD=ED=xcm,则在
Rt△ABC中,由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10cm,
在Rt△BDE中,有x2+(10-6)2=(8-x)2.
解得x=3.
【归纳整合】运用勾股定理解决折叠问题,往往融方程与几何图形于
一体,具有较强的综合性.解决与折叠有关的问题时,要寻找出折叠前
后的不变量(即相等的线段、相等的角),同时要注意方程思想的应用.
3.【解析】选C.∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,
∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,
∴S =S -S =AB2- ×AE×BE=100- ×6×8=76.
阴影部分 正方形ABCD △ABE4.【解析】如图,根据勾股定理的几何意义,可得 A,B 的面积和为
S ,C,D的面积和为S ,S +S =S ,即S =2+5+1+2=10.
1 2 1 2 3 3
答案:10
5.【解析】根据等腰三角形的三线合一可得:BD= BC= ×6=3(cm),在
直角三角形ABD中,
由勾股定理得:AB2=BD2+AD2,
所以AD= = =4(cm).
答案:4
6.【解析】在 Rt△ADB 中,根据勾股定理,得 DB= =
=3.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠BEA=90°,∵CA=CB,∴∠EAB=∠DBA,
又∵AB=BA,
∴△ADB≌△BEA,∴AE=BD=3.
答案:3
7.【解析】过D作DE⊥AB,垂足为E,
∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,
在Rt△BDE中,BE=
= =20,
∵CD=DE,AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AC=AE.
在Rt△ABC中,由勾股定理得
AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,解得AC=30.
8.【解析】三角形中某边上的高既可在三角形内部,又可在三角形外
部,故此题应分两种情况来考虑.
(1)当 BC 边上的高 AD 在△ABC 的内部时,如图 1,由勾股定理,得
BD2=AB2-AD2=152-122=81,得 BD=9,CD2=AC2-AD2=202-122=256,得 CD=16.
则BC=BD+CD=25;
(2)当 BC 边上的高 AD 在△ABC 的外部时,如图 2,由勾股定理可求得
CD=16,BD=9.这时BC=CD-BD=7.
综上所述BC边的长为25或7.
9.【解析】在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得
AB=10m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况:
①如图1,当AB=AD=10m时,∵AC⊥BD,∴CD=CB=6m,
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32(m).
②如图2,当AB=BD=10m时,
∵BC=6m,∴CD=10-6=4(m),
∴AD= = =4 (m),
∴△ABD的周长=10+10+4 =(20+4 )m.
③如图3,当AB为底时,设AD=BD=xm,
则CD=x-6(m),由勾股定理得:
AD= = =x,
解得,x= m.∴△ABD的周长为 m.
