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勾股定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·安顺中考)如图,有两棵树,一棵高 10m,另一棵高 4m,两树
相距 8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞
行( )
A.8m B.10m C.12m D.14m
2.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面 1m处折断,
树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为( )
A. m B. m
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
C.( +1)m D.3m
3.如图,图中有一长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm 的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计),要求木条不
能露出木箱,请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( )
A. cm B. cm C.5cm D.5cm
二、填空题(每小题4分,共12分)
[来源:学科网ZXXK][来源:Z。xx。k.Com]
4.如图,在高为 3m,斜坡长为 5m 的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至
少需要
m;若楼梯宽 2m,每平方米地毯需 30 元,那么这块地毯需要花
元.
5.如图,要制作底边 BC的长为 44cm,顶点 A到BC的距离与 BC长的比
为 1∶4 的等腰三角形木衣架,则腰 AB 的长至少需要 cm.
(结果保留根号的形式)6.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正
方形 DEFH 的边长为 2m,若∠A=30°,∠B=90°,BC=6m.
当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当 AE= m 时,有
DC2=AE2+BC2.
三、解答题(共26分)
7.(8 分)如图,铁路上 A,B 两点相距 25km,C,D 为两村
庄,DA⊥AB 于 A,CB⊥AB 于 B,已知 DA=15km,CB=10km,现在
要在铁路 AB附近建一个土特产收购站 E,使得C,D两村到 E站的距离
相等,则E站应建在距A站多少千米处?
8.(8 分)在一棵树的 10m 高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到
离树 20m 的池塘 A 处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的 A 处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高?
【拓展延伸】
9.(10分)小明家住在18层的高楼上.一天,他与妈妈去买竹竿.
如果电梯的长、宽、高分别是 1.5m,1.5m,2.2m,那么能放入电梯内
的竹竿的最大长度大约是多少?你能估计出小明家买的竹竿至少是多
少米吗(精确到0.1)?答案解析
1.【解析】选 B.如图,设大树高为 AB=10m,小树高为
CD=4m,过 C 点作 CE⊥AB 于 E,则四边形 EBDC 是长方形,连
接AC,
∴EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6(m),
在Rt△AEC中,AC= =10m.
2.【解析】选 C.在 Rt△ABC 中,AC=1m,AB=2m,由勾股定理,得 BC=
= m;
∴树的高度为AC+BC=( +1)m.
3.【解析】选 C.如图,连接 BC,BD,在 Rt△ABC
中 ,AB=5cm,AC=4cm, 根 据 勾 股 定 理 , 得 BC=
= cm,在Rt△BCD中,CD=3cm,BC= cm,
BD= =5 (cm).
【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题
(1)解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用
勾股定理求第三边.
(2)解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程
思想解题.
(3)解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,
利用勾股定理等知识解题.
(4)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股
定理解决表面距离最短的问题.
4.【解析】在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
所以 AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16.所以 AC=4(m).所以地毯长度为
AC+BC=4+3=7(m).
所以地毯总面积为7×2=14(m2).所以需花30×14=420(元).
答案:7 420
5.【解析】如图,作AD⊥BC于D,
∵AD∶BC=1∶4,
且BC=44cm,∴AD=11cm.
又∵AB=AC,
∴在Rt△ABD中,AD=11cm,BD= BC=22cm,
∴AB2=AD2+BD2,∴AB= =11 (cm),
AB的长至少为11cm.
答案:11
6.【解析】∵∠A=30°,∠B=90°,BC=6m,∴AC=12m,
设AE=xm,可得EC=(12-x)m,
∵正方形DEFH的边长为2m,即DE=2m,
∴DC2=DE2+EC2=4+(12-x)2,
AE2+BC2=x2+36,∵DC2=AE2+BC2,
∴4+(12-x)2=x2+36,
解得:x= .
答案:
7.【解析】设 AE=xkm,因为 C,D 两村到 E 站的距离相等,所以 DE=CE,
即DE2=CE2,由勾股定理,得152+x2=102+(25-x)2,x=10.
故E点应建在距A站10km处.
8.【解析】如图所示:
设BD=x,则CD=BD+BC=x+10.
∴BC+CA=BD+AD=30,
∴AD=30-BD=30-x.
在Rt△ADC中,AD2=CD2+AC2,
∴(30-x)2=(x+10)2+202,解得x=5.
∴CD=5+10=15(m).
答:这棵树高15m.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]9.【解析】如图,∵∠ADB=90°,
∴AB2=AD2+BD2
=1.52+1.52=4.5.
∵∠ABC=90°,
∴AC2=AB2+BC2
=4.5+2.22=9.34.
而3.12=9.61,
[来源:学科网ZXXK]
所以能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是3m,
小明家买的竹竿至少是
3.1m.
