文档内容
勾股定理的逆定理
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为 1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC
的度数为
( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
2.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有 AB,CD,EF,GH四条
线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )
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A.CD,EF,GH
B.AB,EF,GHC.AB,CD,GH
D.AB,CD,EF
3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形(
)
A.仍是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那
么 a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:
.
5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:
①3,4,5;
②5,12,13;
③7,24,25;
④9,40,41;…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .
6.若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是 h,给出下
列结论:
①以 a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以 , ,
的长为边的三条线段能组成一个三角形;③以a+b,c+h,h的长为边
的三条线段能组成直角三角形;④以 , , 的长为边的三条线段能组
成直角三角形.
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其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题(共26分)
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7.(8 分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我
海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13nmile 的 A,B 两个基地前去拦
截,六分钟后同时到达 C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行
120nmile,乙巡逻艇每小时航行 50nmile,航向为北偏西 40°,问:甲巡逻艇的航向是多少?
8.(8 分)如图,每个小正方形的边长均为 1.求四边形 ABCD 的面积和
周长(精确到0.1).
【拓展延伸】
9.(10 分)王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小
圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为 am,由于受地势限制,第二条边
长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)问第一条边长可以为 7m吗?为什么?请说明理由,并求出 a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,
说出你的围法;若不能,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.根据勾股定理可以得到:AC=BC= ,AB= .
∵( )2+( )2=( )2,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°.
2. 【 解 析 】 选
B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,
所以AB2+EF2=GH2.
3.【解析】选A.设直角三角形的三边分别为 a,b,c,且满足a2+b2=c2,
扩大相同倍数后各边分别为na,nb,nc,因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,
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所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.
4.【解析】逆命题为:三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,这个三角
形是直角三角形,逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:如果
三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
答案:如果三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直
角三角形
5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增 2,故第 5
组第一个数是 11,又发现第二、第三个数相差为 1,故设第二个数为
x,则第三个数为x+1,根据勾股定理得:112+x2=(x+1)2,
解得x=60,则得第⑤组勾股数是11,60,61.
答案:11,60,61
6.【解析】①直角三角形的三条边满足勾股定理 a2+b2=c2,因而以
a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组成一个三角形,故错误;②直角三角形的三边有 a+b>c(a,b,c 中 c
最大),而在 , , 三个数中 最大,如果能组成一个三角形,则
有 + > 成立,即( + )2>( )2,即a+b+2 >c(由a+b>c),则
不等式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以 , , 的长为边
的三条线段能组成一个三角形,故正确;③ a+b,c+h,h 这三个数中
c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,
又∵2ab=2ch=4S ,∴(a+b)2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理即
△ABC
以 a+b,c+h,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形,故正确;④假
设 a=3,b=4,c=5,则 , , 的长为 , , ,以这三个数的长为边的三条线
段不能组成直角三角形,故错误.
答案:②③
7. 【 解 析 】 AC=120× =12(nmile),BC=50× =5(nmile), 又 因 为
AB=13nmile,所以 AC2+BC2=AB2,所以△ ABC 是直角三角形 ,可知∠CAB+∠CBA=90°,由∠CBA=50°,知∠CAB=40°,所以甲巡逻艇的航
向为北偏东50°.
8.【解析】根据勾股定理得到:
AD= = ,
AB= = ,
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CD= =5;
BC= = ,
∴四边形ABCD的周长是
AB+BC+CD+AD= + +5+ ≈18.8.
连接AC,BD,则AC= =5.
∵(2 )2+( )2=52,52+52=(5 )2,
∴AB2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.∴∠ABC和∠ACD是直角.
∴四边形 ABCD 的面积=直角△ABC 的面积+直角△ACD 的面积=
BC·AB+ AC·CD=17.5.
【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别
联系:(1)两者都与 a2+b2=c2有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三
角形.
区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到
这个直角三角形三边的数量关系,“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则
是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三
角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方
法.
9.【解析】(1)∵第二条边长为2a +2,
∴第三条边长为30-a-(2a +2)=28-3a.
(2)当a =7时,三边长分别为7,16,7.由于7+7<16,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.
由 可解得
