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17.2 勾股定理的逆定理
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
注意：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若
c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点2：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点3：勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称
， ， 为一组勾股数
(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边
长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．
知识点4：勾股定理的逆定理的综合应用
综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要
熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以
用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．
知识点5：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把
其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
A.命题：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
B.命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）和假命题（错误的命题）。所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成
立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
C.公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
D.定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
E.证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
知识点6：直角三角形的判定方法
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。
（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系
a2 +b2 =c2
，那么这个三角形是直角三角
形。
【例题1】（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ）
A．1， ，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6
【答案】A．
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
A.12+（ ）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；
B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．
【例题2】如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是
直角三角形．
【答案】见解析。
【解析】
本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．
将式子变形，得
a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，
即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.
整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13.
∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，
这个三角形是直角三角形．
一、选择题
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6
C．5，8，10 D．8，39，40
【答案】A
【解析】此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2－a2=
（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择支D，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不
能组成直角三角形。
二、填空题
2.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求则四边形ABCD的面积为______。
【答案】36
【解析】本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
1 1
∴S =S +S = AB·BC+ AC·CD=36
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2
三、解答题
3. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数），则△ABC是直角三
角形吗？【答案】见解析。
【解析】先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.
则a=9,b=40,c=41,c最大。
∵（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2，
∴a2+b2=c2，
∴能成为直角三角形的三边长．
4.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
【答案】见解析。
【解析】证明： AD为中线，
在 中，
5.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
【答案】见解析。
【解析】勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2
=A B2
∴AC2+BC2= A B2
∴△ABC是直角三角形。
6.如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.【答案】9
【解析】先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．
∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.
7.如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三
角形．
【答案】见解析。
【解析】
本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．
将式子变形，得
a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，
即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.
整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13.
∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，
这个三角形是直角三角形．
