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17.2 勾股定理的逆定理
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
注意：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若
c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2n,m,n是正整数），则△ABC是直角三
角形吗？【答案】见解析。
【解析】先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.
则a=9,b=40,c=41,c最大。
∵（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2，
∴a2+b2=c2，
∴能成为直角三角形的三边长．
4.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
【答案】见解析。
【解析】证明： AD为中线，
在 中，
5.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
【答案】见解析。
【解析】勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2
=A B2
∴AC2+BC2= A B2
∴△ABC是直角三角形。
6.如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.【答案】9
【解析】先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．
∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.
7.如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三
角形．
【答案】见解析。
【解析】
本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．
将式子变形，得
a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，
即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.
整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.
因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13.
∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，
这个三角形是直角三角形．
