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期末考试模拟试卷（3）
（满分100分，考试时间120分钟）
一、单项选择题（本题8个小题，每题3分，共24分）
1.下列等式不一定成立的是（ ）
A． = （b≠0） B． a3•a﹣5= （a≠0）
C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6
【答案】A
【解析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出
即可．
A． = （a≥0，b＞0），故此选项错误，符合题意；
B．a3•a﹣5= （a≠0），正确，不合题意；
C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），正确，不合题意；
D．（﹣2a3）2=4a6，正确，不合题意．
2．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（ ）
A．13或 B．13或15 C．13 D．15
【答案】C
【解析】
直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.
【详解】当12，5为直角边长时，第三边长为
故第三边的长为13.
故选:C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
√3
3．（2020•聊城）计算❑√45÷3❑√3×❑ 的结果正确的是（ ）
5
5
A．1 B． C．5 D．9
3
【答案】A
❑√15
【解析】原式=3❑√5÷3❑√3×
5
❑√3 ❑√15
=3❑√5× ×
9 5
❑√5×3×15
=
15
15
=
15
＝1．
【点拨】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．
4．（2020•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形
的周长．如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
1 1
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA= AC＝4，OB= BD＝3，AC⊥BD，
2 2
∴AB 5，
=❑√OA2+OB2=❑√42+32=
∴此菱形的周长＝4×5＝20
5.（2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长
是（ ）
A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm
【答案】A
【解析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角
形，从而可求AC的长．
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长是4cm，
∴AB＝BC＝AC＝1cm．
6.下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数
【答案】C
【解析】根据中位数、众数、平均数和方差的意义进行判断．
数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏
离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．
7.（2019湖南邵阳）一次函数 的图象 如图所示，将直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
的函数表达式为 ．下列说法中错误的是
A． B．
C． D．当 时，
【答案】B
【解析】 将直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
直线 直线 ，，
直线 向下平移若干个单位后得直线 ，
，
当 时，
8．如图，ABC 中，B90，BC 3，AC 4，则AB的长度为 ( )
A．2 B． 7 C．2 3 D．5
【答案】B．
【解析】解：在RtABC中，B90，
AC2 AB2 BC2 ，
AB AC2 BC2 42 32 7
二、填空题（本题8个小题，每空3分，共24分）
9．计算 的结果是 ．
【答案】5
【解析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可．
= × =5．
10．已知两条线段的长为 和 ，当第三条线段的长为___ 时，这三条线段能组成一个直角三角
形.
【答案】13或
【解析】
【分析】
已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然
后根据勾股定理解答．
【详解】
解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为 =13；
当12为斜边时，第三条线段长为= ；
故答案为13或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两
种情况讨论．
11．（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则
EC＝ ．【答案】1
【解析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1，
∴EC＝1
12．如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，AB∥CD，则下列结论：① AC⊥BD；
②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是 （只填写序号）【答案】①②③④．
【解析】考点有菱形的判定；全等三角形的判定；轴对称图形．
根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．
因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，
则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，
则∠2=∠4，
∴AD=DC，
同理可得：AB=AD=BC=DC，
所以四边形ABCD是菱形．
根据菱形的性质，可以得出以下结论：
所以①AC⊥BD，正确；
②AD∥BC，正确；
③四边形ABCD是菱形，正确；④在△ABD和△CDB中
∵
∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．
13．（2020•衢州）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组
数据的中位数是 ．
【答案】5
【解析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中
位数．
∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，
∴x＝5×5﹣4﹣4﹣5﹣6＝6，
∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，
∴这组数据的中位数是5．
14．（2020•成都）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ．
1
【答案】m＞ ．
2
【解析】先根据一次函数的性质得出关于m的不等式2m﹣1＞0，再解不等式即可求出m的取值范围．
∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，
1
∴2m﹣1＞0，解得m＞ ．
2
15．（2020•黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距
离是2，则这个正比例函数的解析式是 ．【答案】y＝﹣2x．
【分析】根据图象和题意，可以得到点P的纵坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到点P的坐标，然
后代入正比例函数解析式，即可得到这个正比例函数的解析式．
【解析】∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝﹣x+1上，
∴2＝﹣x+1，得x＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，2），
设正比例函数解析式为y＝kx，
则2＝﹣k，得k＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x，
故答案为：y＝﹣2x．
16．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是 ABCD的对
▱
角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是 26° ．
【答案】26°．
【解析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结
论．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°
三、解答题（本题6个题，17题6分、18题6分、19题8分、20题9分、21题9分、22题14分，共52
分）
1 1 1 1
+ + +⋯+
17.计算
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 49√47+47√49
【答案】3/7
【解析】
1 1 1 1
= + + +⋯+
√3(√3+1) √5⋅√3(√5+√3) √7⋅√5(√7+√5) √49⋅√47(√49+√47)
原式
√3−1 √5−√3 √7−√5 √49−√47
= + + +⋯+
2√3 2√5⋅√3 2√7⋅√5 2√49⋅√47
1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − +⋯+ −
2 2√3 2√3 2√5 2√5 2√7 2√47 2√49
1 1
= −
2 2√491 1 3
= − =
2 14 7
18．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮
船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时
航行多少海里？
【答案】乙轮船平均每小时航行15海里
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角.然后根据路程=速
度×时间,根据勾股定理即可得出答案.
【详解】
解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB=20×2=40（海里），
∵AB=50海里，
在Rt△AOB中，AO= ，∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15海里．
19．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，
EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】见解析。
1
【解析】（1）根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OE= AD，推出OE∥FG，求得四
2
边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
1
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE= AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩
2
形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF 3，于是得到结论．
=❑√AE2−EF2=
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，
∵E是AD的中点，
1
∴AE＝OE= AD，
2
∴∠EAO＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠BAO，
∴OE∥FG，∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，
1
∵E是AD的中点，∴OE＝AE= AD＝5；
2
由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，∴AF 3，
=❑√AE2−EF2=
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
20．（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某
同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直
线l'．
x ﹣1 0
y ﹣2 1
（1）求直线1的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的
值．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
【解析】（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，
{−b+k=−2 {k=1
∴ ，解得 ，
k=1 b=3
∴直线1′的解析式为y＝3x+1；
∴直线1的解析式为y＝x+3；
{ y=x+3 {x=1
（2）如图，解 得 ，
y=3x+1 y=4
∴两直线的交点为（1，4），
∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为： ；
❑√12+(4−1) 2=❑√10a−1
（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x= ；
3
把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；
a−1 5
当a﹣3+ =0时，a= ，
3 2
1 a−1
当 （a﹣3+0）= 时，a＝7，
2 3
1 a−1 17
当 （ +0）＝a﹣3时，a= ，
2 3 5
5
∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为 或7或
2
17
．
5
21．（2020•泸州）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共 30件．其中甲
种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【答案】见解析。【解析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，
根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，
解得x＝20，
则30﹣x＝10，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，
w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，
∵10＞0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
22．（2020•湘西州）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防
溺水”安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分
制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：
50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示
b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：
70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79
c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.9 m 80
d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第 名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】见解析。
【分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．
【解析】（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人），
故答案为：31．
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
77+78
∴m= =77.5，
2
故答案为：77.5；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，故答案为：24；
4+15+8
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500× =270（人）．
50
