文档内容
2022～2023 学年第二学期八年级期中教学质量评估试卷
数学
（满分150分）
注意事项：
1.时间120分钟；
2.请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 二次根式 中字母x的取值范围是（ ）
A. x＜3 B. x≥3 C. x＞3 D. x≤3
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x-3≥0，求解即可．
【详解】解：由题意，得x-3≥0，
解得，x≥3．
故选：B．
【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被开
方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角的度数之比为 B. 三内角的度数之比为
C. 三边长之比为 D. 三边长的平方之比为
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 ， ， ，所以此三角形是直角三角形，
不符合题意；
B、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 ， ， ，所以此三角形不是直角三角形，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、设三边长分别为 ， ， ，因为 ，符合勾股定理的逆定理，所以是
直角三角形，不符合题意；
D、三边长的平方之比为 ，即设三边长的平方分别为 ， ， ，即 ，符合勾
股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用三角形内角和定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已
知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3. 如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当 时，四边形 是菱形
B. 当 时，四边形 是菱形
C. 当 时，四边形 是矩形
D. 当 时，四边形 是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和矩形，菱形，正方形判定进行判定.
【详解】A．四边形 是平行四边形，当 时，它是菱形，故A选项正确；
B．∵四边形 是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∵ ，
∴四边形 是菱形，故B选项正确；
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学科网（北京）股份有限公司C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D．根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当 时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选D．
【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；
根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边
形是矩形．
4. 已知 ，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查二次根式的性质及化简．首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再
利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：A
5. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的
最短路线的长是( )
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学科网（北京）股份有限公司A. (3 +8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：
如图(1)所示：
如图(2)所示：
由于
所以最短路径为10.
故选B.
6. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在F处，BF交AD于点E．若∠BDC＝62°，则
∠DEF的度数为（ ）
A. 31° B. 28° C. 62° D. 56°
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先利用互余计算出∠BDE＝28°，再根据平行线的性质得∠CBD＝∠BDE＝28°，接着根据折叠
的性质得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性质计算∠DEF的度数，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵ ，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线和折叠的性质，综合运用以上性质是解题的关键．
7. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可；
【详解】解：原式
．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．
8. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表
示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半
轴于点P，则点P所表示的数介于( )
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学科网（北京）股份有限公司A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.
【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB= ，
∴P点所表示的数就是 ，
∵ ，
∴ ，
即点P所表示的数介于3和4之间，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的
关键.
9. 如图，在 中， ， ， ， 是 点一动点，过点 作 于
点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据勾股定理可得 的长，根据 ， ， ，可判定四边形
是矩形，求 的最小值就是求 的最小，当 时，线段 的值最小，即线段 的
值最小，再根据等面积法即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
如图所示，连接 ，
∴ ，
∴求 的最小值就是求 的最小，
的
∴当 时，线段 值最小，即线段 的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴线段 的最小值是 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，掌握以上知识的综合运用是解题的关
键．
10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，
交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明 ，再证明四边形MOND的面积等于， 的面积，继而解得正
方形的面积，据此解题．
【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图， 中， ，D为斜边 的中点， ， ，则 的长为
______________ ．
【答案】5
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：有勾股定理得， ，
， 为斜边 的中点，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
12. 若最简二次根式 与 是可以合并的二次根式，则a＝______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵ ＝2 ，
根据题意得：a+1＝2，
解得a＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能
开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那
么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．
13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次
为4、6、20，则正方形B的面积为）_______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】10
【解析】
【分析】根据勾股定理 的几何意义： 解得即可．
【详解】解：如图，
由题意： ，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方．
14. 如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．
（1）∠DAE＝___°；
（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB＋PC的最小值为____．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. 15 ②.
【解析】
【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，可得AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，进而即可
求解；
（2）作点C关于AE的对称点 ，连接 B交AE于点P，连接 A，CP，可得PB＋PC的最小值= PB
＋P = B ，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）∵△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形，
∴AD=CD=DE，∠ADC=60°，∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠DAE=（180°-150°）÷2=15°，
故答案是：15，
（2）作点C关于AE的对称点 ，连接 B交AE于点P，连接 A，CP，
∵∠DAE=15°，∠DAC=60°，
∴∠CAE=60°-15°=45°，
∵点C关于AE的对称点 ，
∴∠CAE=∠ AE=45°， A=CA=2， P=CP，
∴∠ AC=90°，
∴PB＋PC的最小值= PB＋P =B = ．
故答案是： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查勾股定理，轴对称—线段和最小值问题以及等边三角形和正方形的性质，添加辅助
线，构造直角三角形和轴对称图形，是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算： .
【答案】 ．
【解析】
【详解】试题分析：原式= = ．
考点：二次根式的加减法．
16. 若 都是实数，且 ，求 的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性可求出 的值，代入计算并根据求一个数的平方根的计算方法即可求
解．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ 且 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，二次根式的性质化简，求一个数的平方根的运算，掌握以上知
识是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 在 中，AB，BC，AC三边的长分别 ， ， ，求这个三角形的面积．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求 的高，而借用网
格就能计算出它的面积．
（1）请你将 的面积直接填写在横线上______；
（2）我们把上述求 面积的方法叫做构图法，若 三边AB，BC，AC的长分别为 ， ，
，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积．
【答案】（1）2.5 （2）图见解析，4
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积减去边角的三角形面积即可；
（2） 是边长为2和2的直角三角形的斜边， 是边长为1和3的直角三角形的斜边， 是边长
为1和5的直角三角形的斜边，再利用长方形面积减去多余的三角形即可．
【小问1详解】
解： ；
故答案为：2.5；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图2，
， ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了在网格中画图，勾股定理计算边长，构建长方形求三角形 的面积，根据三角形三边的
长度在网格中画出三角形是解题的关键，需要掌握直角三角形的勾股数才能正确画图．
18. 如图，在 中，E为 上一点， ，连接 并延长，交 的延长线于点F．若
，求 的度数．
【答案】110°
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出
△ADE≌△FCE，证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠B=∠D，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=FC，
∵AD=BC，AB=2BC，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠F=35°，
∴∠B=180°-2×35°=110°，
∴∠D=110°．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角
和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图所示，点 是菱形 对角线的交点， ， ，连接 ，交 于 ．
， ．
（1）求菱形 的面积；
（2）求 的长．
【答案】（1）菱形 的面积为
（2） 的长为
【解析】
【分析】（1）根据菱形的面积方法“对角线乘积的一半”，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质可求出 的长，再证四边形 是矩形，可得 ，由此即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ．
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形，对角线的交点为 ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识是解题的关键．
20. 今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向104km的B处，正
以16km/h的速度沿BC方向移动．
（1）已知A市到BC的距离AD＝40km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心50km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 台风中心从B点移到D点需要6小时．(2) A市受台风影响的时间为3.75小时．
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD，再根据台风的速度即可求出时间；
（2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意画出图形，可知，△ADP和△ADQ全
等，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出PQ两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝104km，AD＝40km，
∴BD＝ ＝96km，
∴时间为 ＝6小时，
即台风中心从B点移到D点需要6小时；
（2）如图，以A为圆心，以50km为半径画弧，交BC于P、Q，则A市在P点开始受到影响，Q点恰好
不受影响．
由题意，AP＝AQ=50km，
在Rt△ADP中，AD＝40km，
PD＝ ＝30km，
∵AP＝AQ，∠ADB＝90°，
∴DP＝DQ＝30km，
∴PQ＝60km，
时间为 ＝3.75小时．
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学科网（北京）股份有限公司即A市受台风影响的时间为3.75小时．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理，正确画出图形是解题的关键..
六、（本题满分12分）
21. 如图，等腰 中， ， 交 于D点，E点是 的中点，分别过D、E两点
作线段 的垂线，垂足分别为G、F两点．
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE=DE=5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的
长度；最后结合AB=AC=AF+FG+CG=10求解，进而解答即可．
【小问1详解】
证明： ， ，
点 是 的中点．
点是 中的点，
是 的中位线．
．
， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
四边形 是平行四边形．
又 ，
四边形 为矩形；
【小问2详解】
交 于 点， 点是 的中点， ，
．
由（1）知，四边形 为矩形，则 ．
在直角 中， ， ，由勾股定理得： ．
， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形 的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意
找到长度相等的线段是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ， 时
∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号，
例如：当 时，求 的最小值．
解：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，当 时取等号．
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当 时，当且仅当 ______时， 有最小值为______．
（2）当 时，求 的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平
行于墙的一边长为 米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】（1）3，6 （2）
（3）60米
【解析】
【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；
（2）先化简，再运用公式计算即可；
（3）由题意得篱笆的长为 米，再根据例题中的公式计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，当且仅当 时取等号．
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的最小值为6．
故答案为：3，6．
【小问2详解】
，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
即 的最小值为 ；
【小问3详解】
根据题意可得，垂直于墙的一边长为 米，则篱笆的长为 米，
∵ ∴ ，
又∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发沿 方向以每秒 个
单位长的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒 个单位长的速度向点 匀速运动，
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 运动的时间是 秒 ．过点 作
于点 ，连接 、 ．
（1）直接写出在运动过程中，线段 和 的关系__________________；
（2）四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；如果不能，说明理由．
（3）当 为何值时， 为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）
（2）当 时，四边形 是菱形
（3）当 或 时， 为直角三角形
【解析】
【分析】（1）根据点的运用规律，含 角的直角三角形的性质，分别用含 的式子表示出 ， 的
值，由此即可求解；
（2）根据题意可得四边形 是平行四边形，再根据菱形的判定方法及性质即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）根据点的运动规律，分类讨论，①如图所示，当 时， 为直角三角形；②如图所
示，当 时， 为直角三角形；③当 时，不存在 为直角三角形；根
据含 角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，图形结合即可求解．
【小问1详解】
解： ，理由如下，
∵点 的运动速度为每秒 个单位长度，点 的运动速度为每秒 个单位长度，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：当 时，四边形 是菱形，理由如下，
在 中， ， ， ，
∴设 ，则 ，
∴ ，即 ，解得， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，
若 ，则平行四边形 是菱形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得， ，
∴当 时，四边形 是菱形．
【小问3详解】
解：当 或 时， 为直角三角形
①如图所示，当 时， 为直角三角形，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，即 ，解得， ；
②如图所示，当 时， 为直角三角形，
∵在 中， ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知 ， ，
∴四边形 是平行四边形，即 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ ，即 ，解得， ；
③当 时，
∵ ， ，点 在 上，
∴当 时，点 在 上，即点 与点 重合，则点 与点 重合，不符合题意，
∴此种情况不存在；
综上所述，当 或 时， 为直角三角形．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，掌握含 角的直角三角形的性质，平行四边形的判定及
性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识的灵活运用是解题的关键．
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
