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正 方 形
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图是一张矩形纸片 ABCD,AD=10cm,若将纸片沿
DE 折叠,使 DC 落在 DA 上,点 C 的对应点为点 F,若
BE=6cm,则CD=( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
2.(2013· 凉 山 州 中 考 ) 如 图 , 菱 形 ABCD 中 ,
∠B=60°,AB=4,则以 AC 为边的正方形 ACEF 的周长为(
)
A.14 B.15
C.16 D.17
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3. 如 图 , 四 边 形 ABCD
中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边
形ABCD的面积为8,则BE=( )A.2 B.3
C.2 D.2
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图正方形 ABCD与正三角形AEF的顶点 A重合,将△AEF
绕其顶点A 旋转,在旋转过程中,当 BE=DF 时,∠BAE 的大小
可以是 .
5.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,连接 AC,BD,相交于点 O,CE 平
分∠ACD交BD于点E,则DE= .
6.(2013·绵阳中考)对正方形 ABCD 进行分割,如图 1,其中 E,F 分别
是 BC,CD 的中点,M,N,G 分别是 OB,OD,EF 的中点,沿分化线可以剪出
一副“七巧板”,用这些部件可以拼出很多图案,图 2 就是用其中 6
块拼出的“飞机”.若△GOM 的面积为 1,则“飞机”的面积为.
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三、解答题(共 26 分)7.(8 分)(2013·黔东南州中考)
如图,在正方形 ABCD 中,点 M 是对角线 BD 上的一点,过
点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.
8.(8 分)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠A=90°,点
P,Q 分别是 AB,AC 上的一动点,且满足 BP=AQ,D 是BC 的
中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
【拓展延伸】
9.(10分)在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B,D作BE⊥PA,DF⊥PA,垂足分别为E,F,如图①.
(1)请探究 BE,DF,EF 这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点 P
在DC的延长线上,如图②,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的
数量关系?若点P在CD的延长线上呢,如图③,请分别直接写出结论.
(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.
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答案解析
1.【解析】选A.∵四边形CEFD是正方形,AD=BC=10cm,BE=6cm,
∴CE=EF=CD=10-6=4(cm).
2.【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+FA=4×4=16.
3.【解析】选 C.过 B 点作 BF⊥CD,与 DC 的延长线交于
点F,
则有△BCF≌△BAE,
∴BE=BF,四边形BEDF是正方形,
∴S =S =8,
四边形ABCD 正方形BEDF
∴BE= =2 .
4.【解析】由 SSS 知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,当△AEF 在正方
形内部时,∠BAE=15°,当△AEF在正方形外部时,
如图∠BAE+∠DAF=330°,∴∠BAE=165°.
答案:15°或165°
5.【解析】过E作EF⊥DC于点F.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF.
∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC= ,∴CO= AC= .
∴CF=CO= ,∴EF=DF=DC-CF=1- ,
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∴DE= = -1.
答案: -1
6.【解析】连接AC,四边形ABCD是正方形,AC⊥BD,E,F分别是BC,CD
的中点,EF∥BD,AC⊥EF,CF=CE,△EFC 是等腰直角三角形,直线 AC 是
△EFC 底边上的高所在直线,根据等腰三角形“三线合一”,AC 必过
EF 的中点 G,点 A,O,G 和 C 在同一条直线上,OC=OB=OD,OC⊥OB,FG 是
△DCO 的中位线 ,OG=CG= OC,M,N 分别是 OB,OD 的中点 ,OM=BM=OB,ON=DN= OD,OG=OM=BM=ON=DN= BD,等腰直角三角形 GOM 的面积为
1, OM·OG= OM2=1,OM= ,BD=4OM=4 ,2AD2=BD2=32,AD=4,图 2 中飞
机面积等于图 1 中多边形 ABEFD 的面积,飞机面积=正方形 ABCD 的面
积-三角形CEF的面积=16-2=14.
答案:14
7.【证明】如图,过点M作MP⊥AB于点P,过点M作MQ⊥AD于点Q.
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形 MFDQ 和四边形 PBEM 是正方形,四边形 APMQ
是矩形,
∴AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,
∵在△APM和△FME中,
∴△APM≌△FME(SAS),∴AM=EF.
8.【解析】(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP= AB,∴四边形APDQ为正方形.
9.【解析】(1)在图①中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量
关系:BE-DF=EF;
在图②中,BE,DF,EF 这三条线段长度具有这样的数量关系:DF-BE=EF;
在 图 ③ 中 ,BE,DF,EF 这 三 条 线 段 长 度 具 有 这 样 的 数 量 关
系:DF+BE=EF.
(2)答案不唯一.对图①中结论证明如下:
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∵BE⊥PA,DF⊥PA,∴∠BEA=∠AFD=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠BAE=∠ADF,∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF,AE=DF,
∵AF-AE=EF,∴BE-DF=EF.
