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第17章 勾股定理过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．（24-25九年级上·重庆·期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成
直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，7，8 C．1，❑√2，3 D．9，12，15
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的
条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】A、∵22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵62+72≠82，
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵ ，
C 12+(❑√2) 2 ≠32
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵92+122=152，
∴能组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方
格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A．❑√12 B．❑√9 C．❑√8 D．❑√10
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．【详解】解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为： ，
❑√32+12=❑√9+1=❑√10
故选：D．
3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，分别以边AB、
AC、BC向外作正方形，图形中数字或字母表示该正方形的面积，则字母S所代表的
正方形的面积是（ ）
A．18 B．39 C．194 D．144
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
直接利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵∠BAC=90°，
∴AB2=25，CB2=169，,
∴AC2=BC2−AB2=169−25=144
∴S所代表的正方形的面积是144，
故选：D．
4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，若AC=1，BC=2，
则AB的长是（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．❑√5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ∠C=90°，AC=1，BC=2，，
∴ AB=❑√AC2+BC2=❑√12+22=❑√5
故选：D．
5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在直角坐标系中，已知点A(0,−3)，
B(4,0)，则线段AB的长度为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．7
【答案】A
【分析】根据勾股定理求解即可．
此题考查了坐标平面内两点间的距离的计算方法，能够熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理，得 ．
AB=❑√OA2+OB2=❑√32+42=5
故选：A．
6．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，一根长15cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm、
高为8cm的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为
ℎ
cm，则
ℎ
的取值范围是
（ ）
A．3≤ℎ≤5 B．4≤ℎ≤6 C．5≤ℎ≤7 D．6≤ℎ≤8
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的运算是解题的关键．
【详解】解：当牙刷垂直放置时，
ℎ
=15−8=7；
当牙刷如图所示放置时，AC=8cm，BC=6cm，且AC⊥BC，∴在 中， ，
Rt△ABC AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10(cm)
∴ℎ =15−10=5(cm)，
∴
ℎ
的取值范围为：5≤ℎ≤7，
故选：C ．
7．（21-22八年级下·湖北鄂州·期中）如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3，过点
A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧
与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A．❑√7 B．4 C．❑√11 D．❑√13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算 即可求解．
❑√OA2+AB2
【详解】解：由题意得： ，
OC=OB=❑√OA2+AB2=❑√13
故选：D.
8．（24-25八年级上·福建福州·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学
家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二
步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长
有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）
时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设
秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）A． B．
x2+102=(x+1) 2 (x−5) 2+102=x2
C． D．
x2+102=(x−4) 2 (x−4) 2+102=x2
【答案】D
【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得
OE=(x−4)尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，则OA=OB=x尺
由题意可知：AC=1尺，BD=CE=5尺，则AE=4尺，则OE=(x−4)尺，
在Rt△OBE中，由勾股定理可得：OE2+BE2=OB2，
则可列方程为： ．
(x−4) 2+102=x2
故选：D．
9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，小明用1.9m的木棒DC加固小树，已知
AB=1.2m,AD=0.6m，AB⊥BC，则木棒底端C距树根B之间的距离BC（ ）
A．0.5m B．0.6m C．0.8m D．1m
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三
角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．在Rt△ABC中，利用勾
股定理求得BC的长度即可．
【详解】解：∵DC=1.9m，AD=0.6m，
∴AC=DC−AD=1.3m,
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
在 中，由勾股定理知： ．
Rt△ABC BC=❑√AC2−AB2=❑√1.32−1.22=0.5(m)
故选：A．10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在Rt△ABC中，AC=18，BC=12，根据如图所
示的尺规作图痕迹，可得AD的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段的和与差，作垂线（尺规作图），线段垂直平分线的性
质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定
理是解题的关键．
设AD=x，则CD=18−x，由图中的尺规作图痕迹可知，DE是AB的垂直平分线，
由线段垂直平分线的性质可得BD=AD=x，由勾股定理可得BD2=BC2+CD2，即
，解方程即可求出 的长．
x2=122+(18−x) 2 AD
【详解】解：设AD=x，则CD=AC−AD=18−x，
由图中的尺规作图痕迹可知，DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=x，
由勾股定理可得：
BD2=BC2+CD2，
即： ，
x2=122+(18−x) 2
解得：x=13，
∴AD=13，
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°．若BC=9，AC=12，
则AB= ．
【答案】15
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，
∴ ，
AB=❑√BC2+AC2=❑√92+122=15
故答案为：15．
12．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如下图以直角三角形三条边为分别向外作三个
正方形，其中两个正方形的面积分别为225和289，则图中正方形字母A所代表的正方
形的面积为 ．
【答案】64
【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，利用数形结合的思想是解题关键．根据
勾股定理可直接求得正方形字母A所代表的正方形的边长．
【详解】解：如图，
∵其中两个正方形的面积分别为225和289，
∴BD2=225，CD2=289．
∵△BCD为直角三角形，
∴BC2=CD2−BD2=64，
∴正方形字母A所代表的正方形的面积为64．
故答案为：64．
13．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽
度都是2cm，每级台阶的高度都是1.5cm，连接AB，则AB的长为 cm．【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，由题意得AO=4×1.5=6，
BO=2×4=8，
故 ．
AB=❑√62+82=10(cm)
故答案为：10．
14．（2024·贵州贵阳·一模）如图，BA=BC，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接
近的整数是 ．
【答案】−3
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出AB，即可得a的值．
【详解】解：由图可得， ，
BC=❑√22+12=❑√5=AB
∴A表示的数比B表示的数小❑√5，
∴a=−1−❑√5，
∵2<❑√5<3，
∴−3<−❑√5<−2，
∴−4<−1−❑√5<−3，
∴a的值最接近的整数是−3，
故答案为：−3．
15．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒
下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是
．
【答案】26m/26米【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC
的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解．
【详解】解：如图，∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m，
BC=❑√AB2+AC2=❑√102+242=26m
故答案为：26m
16．（24-25八年级上·福建宁德·期末）我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中，
勾股定理的证明是将4个边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形
ACDEF．若a=1，b=2，则空白部分的面积是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由空白部分的面积等于正方形ABEF的面积减
去2个直角三角形面积即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四个直角三角形全等，
∴AB=BE=EF=AF，c2=a2+b2，
∵∠AFG+∠EFH=90°，
∴ABEF为正方形，
∴空白部分的面积为：
c2−ab=a2+b2−ab
=12+22−1×2
=3，
故答案为：3．三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）（24-25八年级上·福建宁德·期中）某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑
雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则滑雪台水平距离BC长为多少米？
【答案】24米
【分析】本题考查勾股定理，直接运用勾股定理求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，AC=7，
由勾股定理得： ．
BC=❑√AB2−AC2 =❑√252−72 =24
答：滑雪台整体的水平距离BC为24米
18．（8分）（23-24八年级上·广东清远·期末）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长
为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D
(1)求BD的长；
(2)请在图中以B为原点，BC边为x轴建立平面直角坐标系，并写出A、B、C的坐标．
【答案】(1)BD=3
(2)点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（0，0），点C的坐标（5，0）
1
【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长度，根据S = AC⋅BD即可求BD的长；
△ABC 2
（2）根据题意建立平面直角坐标系，根据点的坐标特征写出A、B、C的坐标．
1 1 15
【详解】（1）解：S = AC⋅BD= ×5×3= ，
△ABC 2 2 2
由勾股定理得： ，
AC=❑√32+42=5
1 15
∴ ×5⋅BD= ，
2 2解得：BD=3；
（2）解：平面直角坐标系如图所示，
点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（0，0），点C的坐标（5，0）．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系、勾股定理以及三角形的面积计算，根据勾股
定理求出AC是解题的关键．
19．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=8，BC=6．点D为AC上一点，且点D到AB距离等于CD的长．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规在边AC上作出点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求AD的长度．
【答案】(1)见解析
(2)AD=5．
【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，正确作
出图形．
（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D，点D即为所求；
（2）过点D作DH⊥AB于点H．证明DC=DH，利用面积法求解．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
；（2）解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴ ，
AB=❑√AC2+BC2=10
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，∠C=90°，
∴DH=DC，
∵S =S +S ，
△ABC △BDC △ADB
1 1 1
∴ ·AC·BC= ·BC·CD+ ·AB·DH，
2 2 2
1 1 1
∴ ×6×8= ×6×CD+ ×10×CD，
2 2 2
∴CD=3，
∴AD=AC−CD=8−3=5．
20．（8分）（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年
级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒ABCD放倒（如图所示）后变
成AB′C′D′，通过不同的方法计算梯形B′C′CD的面积，可以验证勾股定理．请写出
验证过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．
根据 ，列出等式并整理可证．
S =S +S +S
四边形B′C′CD △ACC′ △ADC △AB′C′
【详解】证明：连接AC,AC′，由图形可知 ，
S =S +S +S
四边形B′C′CD △ACC′ △ADC △AB′C′
1 1 1
则 (a+b)(a+b)= c2+2× ab
2 2 2
1 1
∴ (a2+b2 )+ab= c2+ab．
2 2
∴a2+b2=c2．
21．（10分）（24-25八年级上·陕西西安·期中）爬山不仅可以增强身体素质而且可以锻炼
人的心理承受能力．登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目．如图是一座山的局
部山体模拟图，经测量此段山体的长BC为25m，AB的长为20m，且AC⊥AB．
(1)小锦猜想山体高AC为22.5m，请判断小锦的猜想是否正确？如果正确，请说明理
由；如果不正确，请求出正确的山体高AC；
(2)为加强攀登的安全性，工作人员将山体斜坡进行了修整，修整后的山体斜坡长
CD=30m，请你求出此时山脚B向外延伸多少米到点D．
【答案】(1)15m
(2)
(15❑√3−20)m
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个
直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
（1）根据勾股定理直接进行计算即可；
（2）根据勾股定理求出AD的长，然后再根据AB的长，求出结果即可．
【详解】（1）解：不正确；
∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，∵BC=25m，AB=20m，
∴在Rt△ABC中，
，
AC=❑√BC2−AB2=❑√252−202=15(m)
15<22.5，
∴小锦的猜想不正确，山体的高AC为15m；
（2）解：修整后CD=30m，
由（1）知，AC=15m，
在 中，
Rt△ADC AD=❑√CD2−AC2=❑√302−152=15❑√3(m)
，
BD=AD−AB=(15❑√3−20)m
此时山脚B向外延伸 到点D．
∴ (15❑√3−20)m
22．（10分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的
截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯
子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
(1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6
米，AP=1.2米，则甲房间的宽度AB= 米．
(2)当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽
AB；
(3)当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的
宽AB．
【答案】(1)3.2
(2)2.8米
(3)丙房间的宽AB是1.6米
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论;（2）证明△ △ ，从而得到 米， ，
AMP≌ BPN MA=PB=1.6 PA=❑√PM2−M A2=1.2
即可求出结果；
（3）根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形，表示出
MN，MP的长，可得结果；
此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据PM=PN
以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：在Rt△ AMP中，∵∠A=90°，MA=1.6米，AP=1.2米，
，
∴PM=❑√AM2+AP2=2
∵PB=PM=2，
∴甲房间的宽度AB=AP+PB=3.2米，
故答案为：3.2；
（2）∵∠MPN=90°，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
{
∠AMP=∠BPN
)
∠MAP=∠PBN=90° ，
MP=PN
∴△AMP≌△BPN，
∴MA=PB=1.6米，
，
∵PA=❑√PM2−M A2=1.2
∴AB=PA+PB=1.2+1.6=2.8；
（3）过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB=x，且AB=ND=x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形(180°−45°−75°=60°，梯子
长度相同），∠MND=15°．
∵∠APM=75°，
∴∠AMP=15°．
∴∠DNM=∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM=PM．
∴△AMP≌△DNM(AAS)，
∴AM=DN，
∴AB=DN=AM=1.6米，
即丙房间的宽AB是1.6米．
