文档内容
2024-2025 学年八年级下学期第一次月考模拟测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：初二下第15-16章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．
【详解】∵22+32≠42， 不能构成直角三角形，故A选项错误；
∵32+42=52， 可以构成直角三角形，故B选项正确；
∵42+52≠62， 不能构成直角三角形，故C选项错误；
∵52+62≠72， 不能构成直角三角形，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．如果两条边的平方和等于
第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1 1
A．❑√2 B．❑ C． D．❑√12
2 ❑√3
【答案】A
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因
式．
【详解】解：A．❑√2是最简二次根式，故符合同意；
√1 ❑√2
B．❑ = ，故不符合题意；
2 21 ❑√3
C． = ，故不符合题意；
❑√3 3
D．❑√12=2❑√3 ，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．如果二次根
式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式．
3．下列计算正确的是（ ）
A．❑√7+❑√3=❑√10 B．❑√8÷❑√2=4 C．3❑√7−❑√7=3 D．❑√7⋅❑√3=❑√21
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算进行判断即可．
【详解】解：A、❑√7、❑√3被开方数不同，不能合并，计算错误，不合题意；
B、❑√8÷❑√2=❑√4=2，计算错误，不合题意；
C、3❑√7−❑√7=2❑√7，计算错误，不合题意；
D、❑√7⋅❑√3=❑√21，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只
有被开方数相同才能进行合并．
4．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面5m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处， 旗杆折断之前的
高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由旗杆折断之前的高度是BC+AB求解即可．
【详解】解：由题意得BC⊥AC,BC=5,AC=12，
∴∠ACB=90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13，
∴BC+AB=5+13=18米，
∴旗杆折断之前的高度是18米，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用知识是解题的关键．
5．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．−❑√2 B．❑√2 C．1−❑√2 D．❑√2−1
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=❑√2，推出OC=❑√2－1即可解决问题．
【详解】解：在Rt△AOB中，AB=❑√OB2+OA2=❑√2，
∴AB=AC=❑√2，
∴OC=AC－OA=❑√2－1，
∴点C表示的数为1－❑√2．
故选C．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是由勾股定理求出的线段长再算出数轴上点
表示的数．
6．如图中的小方格都是边长为1的正方形，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或者直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，利用勾股定理和勾股定
理的逆定理证明AB2=BC2+AC2，AC=BC，即可得到△ABC是等腰直角三角形．
【详解】解：Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2=22+42=20，
Rt△DBC中，由勾股定理得：BC2=BD2+CD2=12+32=10，
同理可得，Rt△AEC中，AC2=10，
∴AB2=BC2+AC2，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选：D．
7．当a<2时，化简❑√(a−2) 2的值为（ ）A．2 B．a C．a−2 D．2−a
【答案】D
【分析】先判断出a−2<0，再根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：∵a<2，
∴a−2<0，
∴❑√(a−2) 2=|a−2)=2−a，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
8．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感
应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学
生身高CD为（ ）米．
A．1.3 B．14 C．1.5 D．1.6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作DE⊥AB
于E，得到CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE，进而得到BE=AB−AE=1.6米，即可得出
答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD=BE，DE=BC=1.2米，
在Rt△ADE中，AD=1.5米，由勾股定理得
AE=❑√AD2−DE2=❑√(1.5) 2−(1.2) 2=0.9（米），
∴BE=AB−AE=2.5−0.9=1.6（米），
∴CD=BE=1.6米．
故选：D．
9．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、B的边长
分别是5，3，则最大正方形的面积是（ ）
A．8 B．34 C．❑√8 D．❑√34
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正
方形A的面积+正方形B的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答．
【详解】解：由图形可知，正方形A的面积+正方形B的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜
边的平方，
∴S +S =S ，
A B C
∵正方形A、B的面积分别为52、32，
∴最大正方形C的面积=52+32=34，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是∠CAB、∠ACB的平分线的交点，且BC=8cm，AC=10cm，
则点O到边AB的距离为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据勾股定理求出AB，根据角平分
线的性质得到OD=OE=OF，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8cm，AC=10cm，
由勾股定理得：AB=❑√AC2−BC2=❑√102−82=6(cm)，
∵点O是∠CAB、∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD=OE，OE=OF，
∴OD=OE=OF，
∵S =S +S +S ，
△ABC △AOB △AOC △BOC
1 1 1 1
∴ AB⋅BC= AB⋅OD+ AC⋅OE+ BC⋅OF，即
2 2 2 2
1 1 1 1
×6×8= ×6×OD+ ×8×OD+ ×10×OD，
2 2 2 2
解得：OD=2，
则点O到边AB的距离为2cm，
故选：A．
11．如果a满足|2024−a)+❑√a−2025=a，那么a−20242的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出a的范围，把原式化简，计算即可．
【详解】解：由题意得：a−2025≥0，
解得：a≥2025，
∵|2024−a)+❑√a−2025=a，
∴a−2024+❑√a−2025=a，
∴❑√a−2025=2024，
∴a−2025=20242，
∴a−20242=2025，故选：C．
12．如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每
一个直角三角形的周长为（ ）
A．6 B．12 C．13 D．25
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设直
角三角形直角边的长分别a,b，斜边长为c，根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平
方公式化简后代入计算即可求出值．
【详解】解：设直角三角形直角边的长分别a,b（a＞b），斜边长为c，
1
根据题意得：c2=a2+b2=25，4× ab=4×6=24，即2ab=24，
2
则(a+b) 2=a2+2ab+b2=25+24=49，(a−b) 2=a2−2ab+b2=25−24=1，
{a+b=7)
∴ ，
a−b=1
{a=4)
∴ ，
b=3
∵c=❑√25=5，
∴每个直角三角形的周长为5+4+3=12，
故选：B．
第Ⅱ卷
二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．二次根式❑√x−5中字母x的取值范围是 ．
【答案】x≥5
【分析】根据二次根式成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
x−5≥0，解得：x≥5；
故答案为x≥5．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．14．已知10，x−2<0，
∴原式=x−1−(x−2)=x−1−x+2=1．
故答案为：1．
15．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的
面积之和为64cm2，则最大的正方形的边长为 cm．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的
平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，掌握勾股定理的
几何意义是解答本题的关键．
根据题意可得，最大的正方形的面积为S=S +S +S +S ，即可解答．
A B C D
【详解】解：根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为S=S +S +S +S =64cm2 ，则最大的
A B C D
正方形的边长为❑√64=8cm．
16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2，D、E分别是AC、AB上的动点，且
AD=BE，F是BC的中点，则BD+EF的最小值为 ．
【答案】❑√13
【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，正切等知识，延长CB到H，使BH=BF，
1
过点H作GH⊥BH，使GH= AB=1，连接GB,GF,≥,由勾股定理求出BC=2❑√3，由F是BC的中点
2得BF=CF=❑√3，证明△GBE≌△BAD(SSS)，求出GF=❑√13，根据三角形三边关系可得结论．
1
【详解】解：延长CB到H，使BH=BF，过点H作GH⊥BH，使GH= AB=1，连接GB,GF,≥,如
2
图，
∵AB=2,∠BAC=60°,∠ABC=90°,
∴∠C=30°,
∴AC=2AB=4，
∴BC=❑√AC2−AB2=2❑√3，
又F是BC的中点，
∴BF=CF=❑√3，
∴HB=BF=❑√3，
又GH=1，
∴GB=❑√BH2+GH2=2，
∴GB=AB=2,
又∠GHB=90°,
GH 1 ❑√3
∴tan∠HBG= = = ，
BH ❑√3 3
∴∠HBG=30°,
∴∠GBE=60°=∠BAD,
又BE=AD,
∴△GBE≌△BAD(SSS)，
∴¿=BD,
又GF=❑√GH2+H F2=❑√12+(2❑√3) 2=❑√13,
∴BD+EF=≥+EF≥GF=❑√13，
∴BD+EF最小值为❑√13，
故答案为：❑√13．
三、解答题（本题共7小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算：
(1)(❑√45+❑√18)−(❑√8−❑√125)+|−❑√2)
(2)(❑√2+2)(2−❑√2)−(❑√3−1) 2
【答案】(1)8❑√5+2❑√2
(2)−2+2❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据二次根式的混合运算的法则来计算．
（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式=3❑√5+3❑√2−2❑√2+5❑√5+❑√2
=8❑√5+2❑√2
（2）解：原式=4−2−(4−2❑√3)
=−2+2❑√3
18．已知x=❑√2+1，y=❑√2−1，求下列各式的值．
(1)x2+ y2；
√ x √ y
(2)❑ +❑ ．
y x
【答案】(1)6
(2)2❑√2
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）利用公式a2+b2=(a+b) 2−2ab，代入x=❑√2+1，y=❑√2−1，即可求值；
√ x √ y 2 x √ x y y x y x2+ y2
（2）先得出(❑ +❑ ) = +2❑ ⋅ + = + +2= +2，结合（1）代入值即可求得答案．
y x y y x x y x xy
【详解】（1）解：根据x=❑√2+1,y=❑√2−1，则有：
x+ y=(❑√2+1)+(❑√2−1)=2❑√2，
xy=(❑√2+1)(❑√2−1)=2−1=1，
代入x2+ y2得到：
x2+ y2=(x+ y) 2−2xy=(2❑√2) 2 −2×1=8−2=6；
√ x √ y 2 x √ x y y x y x2+ y2
（2）(❑ +❑ ) = +2❑ ⋅ + = + +2= +2，
y x y y x x y x xy
因为x2+ y2=6，xy=(❑√2+1)(❑√2−1)=2−1=1，
√ x √ y 2 x2+ y2 6
所以(❑ +❑ ) = +2= +2=8，
y x xy 1√ x √ y
所以❑ +❑ =❑√8=2❑√2．
y x
19．如图，在△ABC中，
(1)尺规作图：过C点作CE⊥AB，交AB于点E；
(2)在（1）的条件下，AC=13，CB=5❑√2，CE=5，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)S =42.5
△ABC
【分析】本题考查作图−基本作图，二次根式的乘法，作垂线，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属
于中考常考题型．
（1）以C为圆心，大于C到AB的距离为半径画弧，得到与AB的两个交点，再作这两个交点的连线段的
垂直平分线即可；
（2）利用勾股定理求解AE=12，BE=5，再利用面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：CE为所求图形
（2）解：由（1）可得CE⊥AB，
在Rt△ACE，AE=❑√AC2−CE2=❑√132−52=12，
在Rt△BCE中，BE=❑√BC2−CE2=❑√ (5❑√2) 2 −52=5，
1 1
∴S = AB⋅CE= ×(12+5)×5=42.5．
△ABC 2 2
20．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，
并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，
AB=AC=13m，BD=8m，CD=6m，且BC=10m．(1)试说明：∠BDC=90°；
(2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1m2花卉需要花费200元，则此块空地全部种
植花卉共需花费多少元？
【答案】(1)见解析
(2)7200元
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟
练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理可证△BDC是直角三角形，即可说明∠BDC=90°；
1
（2）过A作AE⊥BC于点E，由等腰三角形的性质得BE=CE= BC=5m，再由勾股定理得AE，然后
2
求出阴影部分的面积，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵ BD=8m，CD=6m，BC=10m，
62+82=100=102，
∴ △BDC是直角三角形，其中BC是斜边，
∴ ∠BDC=90°；
（2）解：如图，过A作AE⊥BC于点E，
∵ AB=AC=13m BC=10m AE⊥BC
， ， ，
1
∴ BE=CE= BC=5m，
2
∴ AE=❑√AB2−BE2=❑√132−52=12(m)，
1 1
∴ S = BC⋅AE= ×10×12=60(m2)，
△ABC 2 2
1 1
∵ S = BD⋅CD= ×8×6=24(m2)，
△BDC 2 2
∴ S =S −S =60−24=36(m2)，
阴影 △ABC △BDC36×200=7200（元），
∴此块空地全部种植花卉共需花费7200元．
21．（24-25八年级上·河南郑州·期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者
——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋
楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置
A与楼房的距离为24米．
(1)求B处与地面的距离．
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小
孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米?
【答案】(1)21米；
(2)6米．
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（1）先根据勾股定理求出OB的长，进而可得出结论；
（2）由勾股定理求出OA的长，利用OC=OA−OC即可得出结论．
【详解】（1）解：在Rt△OAB中，
∵AB=30米，OA=24米，
∴OB=❑√AB2−OA 2 =❑√302−242=18米
∴BE=OB+OE=18+3=21（米）．
答：B处与地面的距离是21米；
（2）在Rt△COD中，
∵CD=30米，OD=OB+BD=18+6=24（米），
∴OC=❑√CD2−OD2=❑√302−242=18米
∴AC=OA−OC=24−18=6（米）．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为6米．22．阅读下面的材料并解决问题．
1 ❑√2−1
= =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1 ❑√3−❑√2
= =❑√3−❑√2=❑√3−❑√2；
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 2−❑√3
= =2−❑√3…
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
1
(1)观察上式并填空： =__________；
❑√6+❑√5
1
(2)观察上式并猜想：当n是正整数时， =__________（用含n的式子表示）
❑√n+1+❑√n
(3)请利用（2）的结论计算：
( 1 1 ) 1 1 )
+ +⋯ + + ×(❑√2024+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023
【答案】(1)❑√6−❑√5
(2)❑√n+1−❑√n
(3)2023
【分析】本题主要二次根式的化简求值、分母有理数，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算
法则．
（1）分子、分母都乘以❑√6−❑√5，再进一步计算可得；
（2）分子、分母都乘以❑√n+1−❑√n，再进一步计算可得；
（3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以(❑√2024+1)求解可得．
1 ❑√6−❑√5 ❑√6−❑√5
【详解】（1）解： = = =❑√6−❑√5，
❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5) 6−5
1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n
（2） = = =❑√n+1−❑√n，
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) n+1−n
( 1 1 ) 1 1 )
（3） + +⋯ + + ×(❑√2024+1)
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√2023+❑√2022 ❑√2024+❑√2023
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+…+❑√2023−❑√2022+❑√2024−❑√2023)×(❑√2024+1)
=(❑√2024−1)(❑√2024+1)
=(❑√2024) 2 −12
=2024−1
=2023．23．如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，
C两岛的距离为20❑√2 km，A，B两岛的距离为68km．
(1)求出B，C两岛的距离；
(2)在岛屿B产生了台风，风力影响半径为25km（即以台风中心B为圆心，25km为半径的圆形区域都会受
到台风影响），台风中心以20km/h的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会
受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？
【答案】(1)52(km)
(2)1.5h
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作CD⊥AB构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出AD，CD，再在Rt△BCD中，
利用勾股定理即可求出BC，从而解决问题；
（2）由25<20，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，利用勾股定理求
出DE，进而得到EF的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间．
【详解】（1）解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意可得：∠ACD=45°，
∴∠A=∠ACD=45°，
∴CD=AD，
在Rt△ACD中，
AC=20❑√2km，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴2AD2=(20❑√2) 2 ，
解得：AD=20km
∴CD=20km
在Rt△BCD中，
BD=AB−AD=68−20=48(km)，由勾股定理得：BC=❑√CD2+BD2=❑√202+482=52（km），
答：B，C两岛的距离为52(km)；
（2）解：会受影响，
以点C为圆心，25km长为半径画弧与AB交于点E，F，
则EF=2DE，
在Rt△CDE中，
由勾股定理，得DE=❑√CE2−CD2=❑√252−202=15（km），
∴EF=30km，
30÷20=1.5(h)，
答：台风影响岛屿C持续时间为1.5h．
