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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题6.1平行四边形的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•新丰县期末）在平行四边形ABCD中，若∠B＝135°，则∠D＝（ ）
A．45° B．55° C．135° D．145°
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B＝135°，
∴∠D＝∠B＝135°，
故选：C．
2．（2021 春•绥滨县期末）如图，在 ABCD 中，DE 平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 CD 的长是
（ ） ▱
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC＝6，AD∥BC，根据平行线性质求出∠ADE＝
∠DEC，根据角平分线定义求出∠ADE＝∠CDE，推出∠CDE＝∠DEC，推出CE＝DC，求出CD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，∴CE＝DC，
∵BC＝6，BE＝2，
∴CD＝CE＝6﹣2＝4，
故选：C．
3．（2021春•永嘉县校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC
的周长长（ ）
A．2 B．4 C．5 D．
【分析】根据平行四边形的性质得到 AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，根据勾股
定理得到OC＝3cm，BD＝10cm，于是得到结论．
【解答】解：在 ABCD中，∵AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，
∵AC⊥BC， ▱
∴AC6cm，
∴OC＝3cm，
∴BO5cm，
∴BD＝10cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝10﹣6＝4cm，
故选：B．
4．（2020•河南模拟）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：
3， ABCD的周长为10，则A▱B的长为（ ）
▱
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，
可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC+CD＝10÷2＝5，
根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．
∴BC＝3，CD＝2，
∴AB＝CD＝2，
故选：A．
5．（2020•成都模拟）如图，在周长为12cm的 ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交
AD于E，则△ABE的周长为（ ） ▱
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴OE是BD的线段垂直平分线，
∴BE＝ED，
∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．
故选：C．
6．（2022•遵义模拟）如图， ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD＝5cm，OC＝2cm，则对角线
BD的长为（ ） ▱
A．cm B．8cm C．3cm D．2cm
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO▱＝OC＝2cm，BC＝AD＝5cm，
∵AB⊥AC，∴∠BAO＝90°，
∴AB3（cm），
在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO（cm），
∴BD＝2BO＝2（cm），
故选：D．
7．（2021•河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED
＝80°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝
80°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
在△BAC和△AED中，
，
∴△BAC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠AED＝80°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，
故选：C．
8．（2021春•商河县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角 ＝30°，若
AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（ ） αA．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先过点D作DE⊥AC于点E，由在 ABCD中，AC＝8，BD＝6，可求得OD的长，又由对角
线AC、BD相交成的锐角 为30°，求得DE的▱长，△ACD的面积，则可求得答案．
【解答】解：过点D作DEα⊥AC于点E，
∵在 ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD▱BD＝3，
∵∠ ＝30°，
∴DEαOD＝31.5，
∴S△ACD AC•DE8×1.5＝6，
∴S
ABCD
＝2S△ACD ＝12．
故选▱：D．
9．（2021春•镇江期中）如图，在边长为1的正方形网格中，平行四边形ABCD的顶点在格点上，平行四
边形EFGH的顶点E、F在边CD上，且AD∥EH，AD＝EH，AG交CD于点O，则S阴影 为（ ）
A．7平方单位 B．8平方单位 C．14平方单位 D．无法确定【分析】由平行四边形的性质得 EH＝GF，EH∥GF，再证△AOD≌△GOF（AAS），得S△AOD 为＝
S△GOF ，则S阴影 ＝S△ADC ，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD ＝7×2＝14（平方单位），
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∵AD∥EH，AD＝EH，
∴AD∥GF，AD＝GF，
∴∠DAO＝∠FGO，
在△AOD和△GOF中，
，
∴△AOD≌△GOF（AAS），
∴S△AOD ＝S△GOF ，
∴S阴影 ＝S△ADC S平行四边形ABCD ＝7（平方单位），
故选：A．
10．（2020春•内乡县期中）如图所示，在平行四边形 ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等
边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF是等边三角形；
③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根
据全等三角形对应边相等可得CE＝CF＝EF，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”
判定③正确；若CE∥DF，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案．【解答】解：在 ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，CD＝AB，
∵△ABE、△AD▱F都是等边三角形，
∴AD＝DF，AB＝EB，∠DFA＝∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴DF＝BC，CD＝BE，
∴∠CDF＝∠ADC﹣60°，
∠EBC＝∠ABC﹣60°，
∴∠CDF＝∠EBC，
在△CDF和△EBC中，，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；
在 ABCD中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵▱AB∥CD，
∴∠DOA＝∠OAB＝60°，
∴∠DOA＝∠DFO，
∵∠OKD＝∠AKF，
∴∠ODF＝∠OAF，
故③正确；
在△CDF和△EAF中，，
∴△CDF≌△EAF（SAS），
∴EF＝CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE＝CF，
∴EC＝CF＝EF，
∴△ECF是等边三角形，故②正确；
则∠CFE＝60°，
若CE∥DF时，
则∠DFE＝∠CEF＝60°，
∵∠DFA＝60°＝∠CFE，
∴∠CFE+∠DFE+∠DFA＝180°，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2021春•铁西区期末）在 ABCD中，∠B＝56°，则∠A的度数为 124 ° ．
【分析】由平行四边形的性质▱得AD∥BC，再由平行线的性质得∠A+∠B＝180°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124°．
12．（2020春•临海市期末）如图，点E在 ABCD的边BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则∠A＝ 120
°． ▱
【分析】根据邻补角的性质求得∠BCD，再由平行四边形的对角相等求得结果．
【解答】解：∵∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝120°，
故答案为：120．13．（2020春•仪征市期末）如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝5，
EC＝3，则AB的长为 8 ．
【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝5，
∴CD＝CE+DE＝5+3＝8，
∴AB＝CD＝8，
故答案为：8．
14．（2019春•沙坪坝区校级期中）如图， ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD
于E，则△CDE的周长为 1 0 cm． ▱
【分析】先由平行四边形的性质和周长求出AD+DC＝10，再根据线段垂直平分线的性质得出AE＝
CE，即可得出△CDE的周长＝AD+DC．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，OA＝OC，
∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC＝10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝10（cm）；
故答案是：10．
15．（2021•婺城区校级模拟）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数
是 2 0 °． α
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠ ＝180°﹣（540°﹣60°﹣140°﹣180°）＝20°，
故答α案为：20．
16．（2020春•岳麓区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD
于点E，则△CDE的周长为 1 0 ．
【分析】根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求出△CDE的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA＝EC，
∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝6，
则△CDE的周长为：
DE+EC+DC＝AD+DC＝6+4＝10．
故答案为：10．17．（2020春•邳州市期中）如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，设 ABCD的面积为S ，四
1
边形AEDF的面积为S ，则的值是 2 ▱． ▱
2
【分析】首先由ASA可证明：△BCE≌△ADF；由平行四边形的性质可知：S△BEC +S△AED S
ABCD
，进而
▱
可求出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA），
∴S△BCE ＝S△ADF ，
∵点E在 ABCD内部，
∴S△BEC +S▱△AED S
ABCD
，
∴S四边形AEDF ＝S ▱ △ADF +S△AED ＝S△BEC +S△AED S ABCD ，
∵ ABCD的面积为S ，四边形AEDF的面积▱为S ，
1 2
∴▱2，
故答案为：2．
18．（2021•南岗区校级一模）在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，CE⊥AD，点F在AB上，连接EF，EF＝CE，若BC＝6，CD＝5，则线段BF的长为 ．
【分析】延长FE交CD的延长线于点M，连接CF，由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC＝AD＝6，
证明△AEF≌△DEM（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝DM，EF＝EM，设BF＝x，则AF＝DM
＝5﹣x，由勾股定理得出方程，则可得出答案．
【解答】解：延长FE交CD的延长线于点M，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，BC＝AD＝6，
∴∠AFE＝∠EMD，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE＝3，
在△AEF和△DEM中，
，
∴△AEF≌△DEM（AAS），
∴AF＝DM，EF＝EM，
又∵EF＝CE，
∴EF＝CE＝EM，
∴∠FCM＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE4，
∴FM＝2CE＝8，
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠DCF＝90°，设BF＝x，则AF＝DM＝5﹣x，
∴CM＝10﹣x，
∵CF2+CM2＝FM2，
∵62﹣x2+（10﹣x）2＝82，
∴x，
∴BF．
故答案为．
三．解答题（共6小题）
19．（2022春•东台市月考）如图，在 ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD与点F，
分别交AB、CD的延长线于点G、H▱，且EG＝FH．求证：BE＝DF．
【分析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（AAS）．∴BE＝DF．
20．（2021春•瓯海区期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的
中点，连接AE，CF，求证：AE＝C▱F．
【分析】利用SAS证明△ABE≌△CDF后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ED，OF＝BF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
21．（2020•邗江区二模）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，EA⊥AC，
FC⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF．
【分析】（1）由平行四边形的性质及垂直于同一直线的两直线平行，可推得判定△ABE和△CDF全等
的条件，从而利用SAS判定△ABE≌△CDF；
（2）过点A作AG⊥EC于点G，由等腰三角形的“三线合一”性质、直角三角形的斜边中线等于斜边
的一半和30°角所对直角边等于斜边的一半，可得AGECAFAB，则可证得结论．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵EA⊥AC，FC⊥AC，
∴EA∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴EC＝AF，
∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF，
∴在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）过点A作AG⊥EC于点G，如图所示：
∵EA⊥AC，∠AEC＝45°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∵AG⊥EC，
∴AGECAF，
∵∠B＝30°，
∴AGAB，
∴AFAB，
∴AB＝AF．
22．（2021春•市北区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形的判定得出即
可；（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
23．（2021春•南平期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝60°，∠AED＝70°，求∠ACD的度数；
（3）若AB＝5，BE＝6，EC＝1，求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再利用全等三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的性质解答即可；
（3）根据勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
（2）由（1）得△ABC≌△EAD，
∴∠BAC＝∠AED＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ACD＝∠BAC＝70°；
（3）如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AE，
∴，
在Rt△ABF和Rt△AFC中，由勾股定理得，，
由（1）得△ABC≌△EAD，
∴．
24．（2021春•龙岗区校级期末）如图所示，平行四边形 ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB
和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接
EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，则△BCF的面积为 3 ；△BCF的周长为 ；
（2）求证：BC＝AG+EG．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，可得AE＝BF＝2，由勾股
定理可求CF，BC的长，即可求解；
（2）如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．利用全等三角形的性质证明GE＝DM即可
解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，
∴AB＝EF＝5，
∴AE＝BF＝2，
∴AF＝AC＝3，
∵AB∥CD，AC⊥CD
∴AB⊥AC，
∴CF3，
BC，
∴△BCF的面积BF•AC2×3＝3，
△BCF的周长＝BF+BC+CF＝2+3；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．
∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB＝CD＝EF，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠GAM＝90°，
∴∠FAG＝∠CAM，
∵AF＝AC，AG＝AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），∴∠ACM＝∠AFG＝45°，FG＝CM．
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠EFG，
∵EF＝CD，FG＝CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG＝DM，
∴AG+EG＝AM+DM＝AD＝BC．
即BC＝AG+EG．
故答案为：3；．
