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专题 6.1 平均数与方差
1.理解算术平均数、加权平均数和方差的概念，能准确计算相关统计量，知道平均数
教学目标
描述集中趋势、方差刻画离散程度。
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学科网（北京）股份有限公司2.能从统计图表中提取数据计算统计量，借助计算器处理复杂数据，提升数据分析能
力。
3.体会统计知识在生活中的应用，能解释分析结果并简单判断，形成数据观念。
1.重点
（1）掌握算术平均数、加权平均数的计算方法，理解“权”对结果的影响，能结合
情境计算。
（2）熟练掌握方差的计算公式，能通过方差大小分析数据的离散程度与稳定性。
教学重难点 2.难点
（1）深刻理解“权”的实际意义，能根据具体问题确定权重，区分加权平均数与算
术平均数的适用场景。
（2）理解方差公式的本质，明确其反映数据偏离平均数程度的原理，能运用方差解
决实际决策问题。
知识点01 众数
众数：一组数据中出现次数最多的数据.
注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量.、
【即学即练1】
1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）我市10月份某一周每天的最高气温（单位： ）统计如下：19，
25，22，26，22，27，29，则这组数据的众数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，可能有1个，也可能有多个．
根据众数的定义作答即可．
【详解】解：这组数据中， 出现两次，出现次数最多，
即这组数据的众数是 ．
故答案为： ．
2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某班42名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
时间/h 6 7 8 9
人数 2 18 14 8
那么该班42名同学一周参加体育锻炼时间的众数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了众数，众数是指一组数据中出现次数最多的数据．根据统计表，比较各时间对应的人
数，即可确定众数．
【详解】解：由统计表可知，参加体育锻炼时间为 的人数为2人， 的人数为18人， 的人数为14
人， 的人数为8人，其中 对应的人数18人最多，因此众数为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相
关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，那么这12名学生测试成绩的众数是
．（单位：分）
【答案】90
【分析】本题考查了求一组数据的众数﹒“一组数据中出现次数最多的数，是这组数据的众数”，据此即
可求解．
【详解】解：这12名学生测试成绩的众数为出现次数最多的分数，成绩为90分的有4人，次数最多，
∴这12名学生测试成绩的众数为90分．
故答案为：90．
知识点02 算术平均数
1
(x +x +¿⋅¿+x )
x n 1 2 n
1）算术平均数：一般地，有n个数x，x，…，x，那么 = .简称平均数.
1 2 n
算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平.
注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数.
1
(x +x +¿⋅¿+x )
x n 1 2 n
2）结论：若 = ； = .
则：①x±y，x±y，…，x±y 的平均数为 ± ；②x，y，x，y…，x，y 的平均数为 （ + ）.
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
③ax+b，ax+b，…，ax+b的平均数为a +b.
1 2 n
∵ax，ax，…，ax 的平均数为a ； ∴x+b，x+b，…，x+b的平均数为 +b.
1 2 n 1 2 n
【即学即练2】
1．（24-25七年级下·北京延庆·期末）一组数据：3，13，17，20，7的平均数是 ．
【答案】12
【分析】根据算术平均数的定义解答即可．
本题考查了平均数的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为：12．
2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某校篮球队在一次定点投篮训练中的进球情况如图所示，那么平均
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学科网（北京）股份有限公司每个队员的进球数是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了加权平均数，正确理解图中的信息是解题的关键．由图可知，有1人进球4个，有4
人进球5个，有1人进球8个，有4人进球7个，根据加权平均数的计算方法计算，即得答案．
【详解】解：根据题意得 ．
故答案为：6．
3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）若一组数据 的平均数为 ，则另一组数据
的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平均数，根据平均数的变化规律，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
知识点03 加权平均数
加权平均数：一般地，若n个数x ，x ，…，x 的权分别是ω ，ω ，…，ω ，则叫做这n个数的加权平均
1 2 n 1 2 n
数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1.
注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆.
【即学即练3】
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现、
体育理论测试、体育技能测试，三项成绩按 的比例计入总成绩．小颖的上述三项成绩依次是 分、
分、 分，则小颖的体育成绩是 分．
【答案】
【分析】本题考查加权平均数的计算，根据三项成绩的比例 ，计算加权平均数。
【详解】解： 平时体育活动表现、体育理论测试、体育技能测试的比例为 ，总份数为 ，
小颖的体育成绩是 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试、微型课、教学反思
得分分别为90分、92分、88分．按照如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为
分．
【答案】91
【分析】本题主要考查加权平均数；根据加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】解： ，
∴李老师的综合成绩为91；
故答案为：91．
3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）我校八年级举行英语演讲比赛．小高和小新积极参与，两人比赛后
各项得分如表：
演讲内容 语言表达 演讲技巧
小高 95 85 85
小新 85 90 93
(1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？（结果精确到 ）
(2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“演讲技巧”三个项目
在总分中的占比为 ，那么两位同学的排名顺序又怎样？
【答案】(1)小新排名第一，小高排名第二
(2)小高排名第一，小新排名第二
【分析】本题考查了平均数和加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义与计算公式是解答本题的关键．
（1）先分别计算出两人的平均数，然后按照从高到低进行排名；
（2）根据加权平均数的概念再计算各班的加权平均数，然后再排名．
【详解】（1）解：小高的平均数为 （分），
小新的平均数为 （分），
∵ ，
∴小新排名第一，小高排名第二；
（2）解：小高的得分为： （分），
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学科网（北京）股份有限公司小新的得分为： （分），
∵ ，
∴小高排名第一，小新排名第二．
知识点04 极差、方差、标准差
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大.
x ,x ,⋯,x , x
2）方差： 在一组数据 1 2 n 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
s2 n 1 2 n
方差.通常用“ ”表示，即
结论：若数据a ，a ，……a 的方差是s2，则数据a+b，a+b，……a+b的方差仍然是s2，数据ka+b，
1 2 n 1 2 n 1
ka+b，……ka+b的方差是k2s2.
2 n
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定.
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
√1
s= √s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性.
【即学即练4】
1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）北京时间8月5日 分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射
决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜
牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8
轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，
4分，5分，4分，5分
(1)李越宏的8轮成绩的众数为 ；
(2)求李越宏8轮得分的方差．
【答案】(1)5和4
(2)李越宏 轮得分的方差为 分
【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键．
（ ）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可；
（ ）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可．
【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分，
其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多，
∴众数为5和4，
故答案为：5和4；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵平均得分为： （分），
∴
（分 ），
答：李越宏 轮得分的方差为 分 ．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛（满分100分）．
成绩如下：
甲班：96，92，94，97，96；
乙班：90，98，97，98，92，
通过数据分析，列表如下：
班级 平均分 众数 方差
甲班 a 96 c
乙班 95 b
(1) ________， ________， ________；
(2)如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？
为什么？
【答案】(1)95，98，
(2)选择甲班，理由见解析
【分析】本题主要考查了平均数，众数和方差的定义，以及用方差做决策，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解．
（1）根据平均数、众数、方差的定义进行求解即可得到答案；
（2）根据（1）中的数据可知，平均数两者相同，但是甲班的方差更小，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
∵乙班中数据 98 出现的次数最多，
∴它的众数为 98，
，
，
故答案为：95，98， ．
（2）解：我认为选甲班的学生更合适．理由：由表格中数据可知，甲、乙两班学生成绩的平均分相同，
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学科网（北京）股份有限公司但甲班学生成绩的方差小于乙班，甲班学生成绩更整齐．（合理即可）
题型01 利用众数求未知数据的值
【典例1】（24-25九年级上·全国·期末）一组数据80，82，79，69，74，78，81， 的众数是82，则
【答案】82
【知识点】 利用众数求未知数据的值
【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，据此即可得出答案．
【详解】解：因为此组数据的众数是82，说明82出现的次数最多，
即可确定 ，
故答案为：82．
【变式1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知数据2，3，2，3，5，x的众数是2，则x的值是
．
【答案】2
【知识点】 利用众数求未知数据的值
【分析】本题主要考查了众数，“一组数据中，出现次数最多的数是众数”．根据众数的定义，即可求解．
【详解】解：∵数据2，3，2，3，5，x的众数是2，
∴ ，
故答案为：2．
【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）一组数据： 、 、 、 、 、 的众数是 ，在这组数据的中位
数是 ；
【答案】
【知识点】求中位数、 利用众数求未知数据的值
【分析】本题考查一组数据的中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数值,有时众数在一组数中
有好几个. 中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最
中间的两个数据的平均数）．根据数据的众数是5可求得x的值，进而可求得中位数．
【详解】解：∵ 、 、 、 、 、 的众数是 ，
∴ ，
即 、 、 、 、 、 的中位数为 ，
故答案为： ．
题型02 求一组数据的平均数
【典例2】某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数统计如图．该车间平均每人每日加工螺杆数
为 个．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】20
【知识点】求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，根据平均数的计算公式进行解答即可
【详解】解：该车间工人日均生产螺杆数的平均数为：
（个），
故答案为：20．
【变式1】一组数据：3，6，2，7，1，8的平均数是 ；
【答案】
【知识点】求一组数据的平均数
【分析】本题考查平均数的计算，平均数等于这组数据的总和除以数据的个数，根据平均数的计算方法求
解即可．
【详解】∵一组数据：3，6，2，7，1，8
∴平均数为 ．
故答案为： ．
【变式2】在一次体育课上，体育老师对八年级（一）班的50名同学进行了立定跳远项目的测试，测试所
得分数及相应的人数如图，则这50名学生测试的平均得分为 分．
【答案】
【知识点】频数分布直方图、求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了平均数的求法和对统计图的理解．熟记平均数的公式是解决本题的关键．
先从统计图中读出数据，然后根据平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：这50名学生测试的平均得分为= （分）．
故答案为 ．
【变式3】小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根
据统计图，小亮该周平均每天校外锻炼时间是 分钟．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】70
【知识点】求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，把这七天的锻炼时间相加再除以7即可得到答案．
【详解】解： 分钟，
∴小亮该周平均每天校外锻炼时间是70分钟，
故答案为：70．
题型03 已知平均数求未知数据的值
【典例4】若一组数据6、7、 、8的平均数是7，则 的值为 ．
【答案】7
【知识点】已知 平均数求未知数据的值
【分析】本题考查了已知平均数求未知数据的值，根据一组数据6、7、 、8的平均数是7，得出
，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵一组数据6、7、 、8的平均数是7，
∴ ，
∴ ，
故答案为：7．
【变式1】一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为 ．
【答案】12
【知识点】已知 平均数求未知数据的值
【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数得计算公式．根据平均数是指在一组数据
中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可．
【详解】解： 一组数据6，8，10， 的平均数是9，
，
解得 ．
故答案为：12．
【变式2】有一组数据如下： ， ， ， ， ，它们的平均数是 ，则 的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】已知 平均数求未知数据的值
【分析】本题考查算术平均数，根据平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ．
故答案为：5．
【变式3】一组数据 ， ， ， 的平均数是2，则 的值是 ．
【答案】6
【知识点】已知 平均数求未知数据的值
【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数的定义列式，再计算即可．
【详解】∵ 的平均数是2，
∴ ，
解得 ．
故答案为：6．
题型04 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【典例4】若a、b、c的平均数为15，则 、 、 的平均数为 ．
【答案】
【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【分析】本题考查了求一组数的平均数，先根据a、b、c的平均数为15，得出 ，再结合 、
、 的平均数 ，据此即可作答．
【详解】解：∵a、b、c的平均数为15，
∴
∴
则
∴则 、 、 的平均数为 ，
故答案为： ．
【变式1】已知数据 的平均数是6，那么数据 的平均数是 ．
【答案】
【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【分析】本题主要考查算术平均数，根据题意得出 ，进而即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵数据 的平均数是6，
∴ ，
∴
故答案为：4．
【变式2】已知 ， ， ，…， 的平均数 ，求 ， ，…， 的平均数为 ．
【答案】
【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【分析】本题考查了平均数．由题意知， ， ， ， ， 的和为 ，则可计算出 ， ， ，
的和，除以10，即为新数据的平均数．
【详解】解： ， ， ， ， 的平均数为
， ， ， 的平均数 ．
故答案为： ．
【变式3】已知一组数据 ， ， ， 的平均数是5，则另一组数据 ， ， ，
的平均数是 ．
【答案】20
【知识点】求一组数据的平均数、 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【分析】根据算术平均数的定义，先求得 ，然后再根据公式计算 ， ，
， 的平均数，将 整体代入进去即可求解．
本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：∵数据 ， ， ， 的平均数是5，
∴ ，
∴一组数据 ， ， ， 的平均数为：
．
故答案为：20．
题型05 求加权平均数
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学科网（北京）股份有限公司【典例5】某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100
分），三个方面的重要性之比依次为 ．小王经过考核后所得的分数依次为90分、88分、83分，那
么小王的最后得分是 分．
【答案】87.6
【知识点】求加权平均数
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计
算即可．
【详解】解：小王的最终得分是： （分）．
故答案为： ．
【变式1】小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分，各项
占学期成绩的百分比分别为 ，则小明的数学学期成绩是 分．
【答案】
【知识点】求加权平均数
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计
算即可．
【详解】解：小明的数学成绩是 （分），
故答案为： ．
【变式2】夏天来临，某超市销售 三种不同型号的手持小风扇，它们的单价分别为 元， 元，
元，某天该超市的小风扇销售数量情况如图所示，那么这天该超市销售的小风扇每个平均价格是
元．
【答案】
【知识点】求加权平均数
【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式
计算可得结果．
【详解】解：这天该超市销售的小风扇每个平均价格为： ，
故答案为：24．
【变式3】某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课
堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
专业知
教育理论 模拟课堂
识
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学科网（北京）股份有限公司甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按 的比例确定，并录用平均成绩（百分
制）最高的应聘者，则被录用的是 ．
【答案】乙
【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．根据表格中的数据
和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
【详解】解：由题意可得，
甲的成绩为：
乙的成绩为：
丙的成绩为：
∵ ，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
题型06 利用加权平均数求未知数据的值
【典例6】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占 、物理占 计算，若小安物
理得分为 分，综合得分为 分，则小安数学得分是 分．
【答案】
【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值
【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为 分，根据加权平均数的计算公式可得
，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：设小安数学得分为 分，
则 ，
解得 ，
∴小安数学得分是 分，
故答案为： ．
【变式1】一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是 和 ，公司给出他这两项测试的平
均成绩为 ，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大．
【答案】面试
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、 利用加权平均数求未知数据的值
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是设出面试和笔试的权重，根据加权平均数的定义列出方
程．设面试成绩所占百分比为 ，则笔试成绩所占百分比为 ，根据加权平均数的定义列出方程求解
即可得出答案．
【详解】解：设面试成绩所占百分比为 ，则笔试成绩所占百分比为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
则 ，
∴此次招聘中面试的权重较大，
故答案为：面试．
【变式2】如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则
．
分 9
70 80 100
数 0
人
1 3 x 1
数
【答案】
【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值
【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力．
根据加权平均数的定义列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意和图表可得，
解得：
故答案为： ．
【变式3】某校体育期末考核“仰卧起坐”和“ 米”两项，并按 的比例算出期末成绩．已知小林这
两项的考试成绩分别为 分、 分，则小林的体育期末成绩为 分．
【答案】
【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值
【分析】小林这两项的考试成绩分别为 分、 分，按 的比例算出期末成绩，由此即可求解．
【详解】解： ， ，
∴小林的体育期末成绩为 ，
故答案为： ．
题型07 利用平均数与加权平均数做决策
【典例7】东升广告公司欲招聘广告策划人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试，他们
的各项测试成绩如下表所示：
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学科网（北京）股份有限公司测 试 成 绩
测试项
目
甲 乙 丙
创 新 72 85 67
综合知
50 74 70
识
语 言 88 45 67
(1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
(2)根据实际需要，公司将创新、综合知识、语言三项测试得分按扇形统计图所示比例确定甲、乙、丙三人
的测试成绩，此时谁将被录用？
【答案】(1)甲
(2)乙
【知识点】求一组数据的平均数、利用平均数做决策、求加权平均数、运用加权平均数做决策
【分析】本题考查了平均数，加权平均数，熟练掌握计算公式是解题的关键．
（1）根据题意求出甲、乙、丙的平均成绩，再进行比较即可；
（2）按扇形统计图所示比例求出甲、乙、丙三人的测试成绩，再进行比较即可．
【详解】（1）解：甲三项测试的平均成绩为：
乙三项测试的平均成绩为
丙三项测试的平均成绩为
甲将被录用．
（2）解：三人的成绩分别为：
甲：
乙：
丙：
乙将被录用．
【变式1】某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术
水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表：
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学科网（北京）股份有限公司候选人 文化水平/分 艺术水平/分 组织能力/分
甲 78 89 82
乙 84 92 76
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩按照 确定每
个人的综合成绩，应该录取谁？
【答案】(1)以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人
(2)应该录取甲候选人，理由见解析
【知识点】求一组数据的平均数、利用平均数做决策、求加权平均数、运用加权平均数做决策
【分析】本题主要考查了算术平均数、加权平均数等知识点，掌握算术平均数和加权平均数的区别是解答
本题的关键．
（1）分别求出甲、乙的算术平均数，然后比较即可解答；
（2）分别求出甲、乙的加权平均数，然后比较即可解答．
【详解】（1）解：甲平均分为 （分），
乙平均分为 （分），
∵ ，
∴以平均分作为综合成绩应该录取乙候选人；
（2）解：甲综合成绩为 （分），
乙综合成绩为 （分），
∵ ，
∴应该录取甲候选人．
【变式2】某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、
乙、丙三人的考核成绩统计如下：
候选
百分制
人
教学技能考核成绩 专业知识考核成绩
甲 85 92
乙 91 85
丙 80 90
(1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则哪位候选人将被录取？为什么？
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学科网（北京）股份有限公司(2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6：4的权计算他们赋权后
各自的平均成绩，那么谁将被录取？
【答案】(1) ； ； ；甲
(2) ； ； ；乙
【知识点】求一组数据的平均数、利用平均数做决策、求加权平均数、运用加权平均数做决策
【分析】此题考查了平均数，关键是掌握加权平均数和算术平均数的计算公式．
（1）根据平均数的计算公式分别计算出甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据题意先算出甲、乙、丙的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：甲的平均数是： （分），
乙的平均数是： （分），
丙的平均数是： （分），
∵甲的平均成绩最高，
∴候选人甲将被录取．
（2）解：根据题意得：
甲的平均成绩为： （分），
乙的平均成绩为： （分），
丙的平均成绩为： （分），
∵乙的平均分数最高，
∴乙将被录取．
【变式3】某外贸公司人事部拟招聘一位负责外贸销售的公关人员，对应聘者进行英语听、说、读、写四
个方面的考核，成绩优秀者入选．下面是甲、乙两位应聘人员的考核成绩：
听 说 读 写
甲的成绩 80 90 75 75
乙的成绩 80 75 85 80
(1)人事部最初拟定通过比较甲乙两人四项的平均分确定录用者，请你通过计算说明此方案可行吗？
(2)为了招聘到更适合岗位需求的人才，董事会改进了选聘方案，将听、说、读、写成绩依次按
的权数记入总分，并以此为依据确定录用者，请问，谁将被录用？
【答案】(1)此方案不可行，理由见解析
(2)甲会被录用
【知识点】求一组数据的平均数、求加权平均数、运用加权平均数做决策
【分析】此题考查加权平均数，掌握运算法则是解题关键，
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学科网（北京）股份有限公司（1）代入求平均数公式即可求出两人的平均成绩，根据结果即可解决；
（2）根据加权平均数定义算出甲、乙的得分即可得出结论．
【详解】（1）解：此方案不可行，理由如下：
分，
分，
∴ ，
∴两人平均分相同，无法做选择，故此方案不可行；
（2）甲的成绩为： 分，
乙的成绩为： 分，
∵甲的成绩高于乙的成绩，
∴甲会被录用．
题型08 求方差
【典例8】某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩
（单位：环）统计如下：
1
甲 7 9 7 9 6
0
1
乙 5 8 9 10 6
0
(1)根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环；
甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环；
(2)求甲、乙测试成绩的方差；
(3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．
【答案】(1)8，8，8，10
(2)2，
(3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析
【知识点】求中位数、求众数、求方差、运用方差做决策
【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数、方差等知识点，掌握方差的定义是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据平均数和方差的意义即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：甲的平均成绩是 （环），
乙的平均成绩是 （环），
甲成绩的中位数是 （环），
乙成绩的众数是10环．
故答案为：8，8，8，10．
（2）解： ；
．
（3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：
因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．
【变式1】某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名同学参加，按团体总分多少排列名次，在规
定时间内每人踢 个以上（含 ）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：
个）．
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲班
乙班
统计两班总分相等，此时有同学建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请你解答下列问题：
(1)甲班比赛数据的中位数为 ，乙班比赛数据的极差为 ；
(2)分别计算出甲乙两班比赛数据的方差；
(3)根椐以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)甲班，甲、乙两班平均数相同，甲班方差小，成绩稳定
【知识点】求极差、运用方差做决策、求方差、求中位数
【分析】此题主要考查了方差、中位数、极差等知识．
（1）根据中位数和极差的含义和求法，分别求出答案即可．
（2）根据方差的含义和求法，求出两个比赛数据的方差各是多少即可．
（3）根据以上信息，判断出哪个班的成绩稳定，就应该把冠军奖状发给哪一个班级．
【详解】（1）解：甲班比赛数据从小到大排列为： ， ， ， ， ，
∴中位数为 ，
乙班比赛数据的最大值为 ，最小值为 ，
∴乙班比赛数据的极差为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ，
（2）甲班5名学生踢毽子的个数的平均数是： （个）；
乙班5名学生踢毽子的个数的平均数是： （个）；
；
（3）甲班，理由：∵甲、乙两班平均数相同，甲班方差小，成绩稳定，
∴把冠军奖状发给甲班．
【变式2】某学校八年级 班和 班进行了一次数学测试，各班前 名的成绩（满分： 分）分别是：
八 班： ， ， ， ， ； 八 班： ， ， ， ， ．
两班前5名成绩的有关统计数据见表：
中位
平均分 众数
数
八
八
请解决下面问题：
(1)填空： __________， __________， __________；
(2)计算八年级 班前 名成绩的方差；
(3)已知八年级 班前 名成绩的方差为 ，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3)八年级 班较好．
【知识点】根据方差判断稳定性、求方差、求众数、求一组数据的平均数
【分析】 根据平均数的定义列算式 计算即可求出 ，根据中位数定义把八
班的成绩从高到低依次排列，最中间的数就是这组数据的中位数是 ，根据众数的定义可知：这组数据中
出现次数最多的数是 ，所以这组数据的众数是 ；
根据方差的定义列式 ，计算求出结果即可；
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学科网（北京）股份有限公司通过比较两个班级成绩的平均分、中位数、众数、方差判断两个班成绩的好坏．
【详解】（1）解：八 班的成绩从高到低依次是： ， ， ， ， ；
五个数中处在中间的是 ， ，
出现次数最多的是 ， ，
八 班的成绩是： ， ， ， ， ，
，
；
（2）八 班的方差是:
；
（3） 八年级 班和八年级 班的前五名同学的成绩的中位数与众数相同；八年级 班的平均分
比八年级 的平均分高；八年级 班的方差比八年级 的方差小，说明八年级 班前五名的成绩比较
移稳定，所以八年级 班前五名的整体成绩较好．
题型09 利用方差求未知数据的值
【典例9】小明在计算一组数据的方差时，列式计算如下： ，这组数
据的众数是 ．
【答案】9
【知识点】 利用方差求未知数据的值、求众数
【分析】本题主要考查方差和众数，解题的关键是由计算方差的算式得出这组数据．由计算方差的算式得
出这组数据为7、7、8、9、9、9，再根据众数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，这组数据为7、7、8、9、9、9，
所以这组数据的众数为9，
故答案为：9．
【变式1】在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算
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学科网（北京）股份有限公司公式为： ，上述公式中的“38”是这组数据 ．
【答案】平均数
【知识点】 利用方差求未知数据的值
【分析】根据方差的计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方
差的计算公式．
【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： ，
∴上述公式中的“38”是这组数据平均数．
故答案为：平均数．
【变式2】如果一组数据的方差 ，那么 的值为 ．
【答案】15
【知识点】 利用方差求未知数据的值
【分析】本题考查对方差计算公式的理解．根据方差的公式可以得到这组数据及平均数，从而算出 的
值．
【详解】解：∵一组数据的方差 ，
∴这组数据共5个，为7，9，9，m，n，平均数为8，
∴ ，
∴ ．
故答案为：15
【变式3】已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是4，方差为3，另一组数据 ， ，
， ， 的平均数与方差的和为 ．
【答案】17
【知识点】 利用方差求未知数据的值、求方差、 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求一组数据的
平均数
【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出
， ，再根据平均数公式和方差
公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解．
【详解】解：∵这组数据的平均数是4，
∴ ，
∴ ，
∴ 另一组数据的平均数
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学科网（北京）股份有限公司；
∵这组数据的方差为3，
∴ ，
∴另一组数据的方差
，
∴另一组数据 ， ， ， ， 的平均数与方差的和 ．
题型10 根据方差判断稳定性或做决策
【典例10】甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成
下列问题：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 80 40 70 50 60
乙成绩 70 50 70 a 70
(1)统计表中， _________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________
(2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是 ，请你求出乙同学成绩的平均数和方差．
(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
【答案】(1)40，60，70
(2)乙同学成绩的平均数是60，方差是160
(3)乙同学的成绩更稳定
【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了中位数和和众数、平均数和方差，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键．
（1）根据甲、乙同学5次考试的总成绩相同可求出 的值，再根据中位数和和众数的定义求解即可得；
（2）根据平均数和方差的计算公式求解即可得；
（3）根据平均数和方差的意义求解即可得．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由题意得： ，
解得 ，
将甲同学成绩从小到大进行排序为 ，
则甲同学成绩的中位数是60，
乙同学成绩中，70出现的次数最多，
所以乙同学成绩的众数是70，
故答案为：40，60，70．
（2）解：乙同学成绩的平均数是 ，
乙同学成绩的方差是 ．
（3）解：因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差，
所以乙同学的成绩更稳定．
【变式1】某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单
位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小
宇的作业）．
小宇的作业：
解：
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
(1) ______， ______；
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学科网（北京）股份有限公司(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
(3)①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【答案】(1)4，6；
(2)见解析
(3)①乙；②乙将被选中．
【知识点】运用方差做决策、根据方差判断稳定性、求一组数据的平均数、折线统计图
【分析】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先求出甲射箭5次的总环数，进而求出a的值，再根据平均数的定义求出乙的平均数即可；
（2）根据（1）所求结合表格中的数据补全统计图即可；
（3）①根据折线图可知乙的波动小，乙更稳定；②根据方差计算公式求出乙的方，再由二者平均数相同，
乙的方差小，则乙被选择．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ ，
故答案为：4；6；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：①观察统计图可知，甲的成绩波动比乙的成绩波动大，故乙的成绩比较稳定；
故答案为：乙；
②
，
从平均数来看，两人的平均数相同，从方差来看，乙的方差小于甲的方差，即乙的成绩比甲稳定，因此应
选择乙，即乙被选中．
【变式2】苏东坡中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实
地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应
等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并
绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级
八年级
(1)根据以上信息可以求出：a＝ ，b＝ ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
【答案】(1)9，10，图见解析；
(2)七年级更好，理由见解析．
【知识点】运用方差做决策、求众数、求中位数、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差．
（1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级B中，可以确定的 值，根据所占百分比最大的数
据是众数，可以确定 的值；根据题意得到七年级等级C人数后补全条形图即可．
（2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答．
【详解】（1）解： 七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩，
七年级中位数为从小到大排序后的第 名同学的成绩，
由条形统计图可知；从小到大排序后的第 名同学的成绩在等级B中，
故七年级中位数 ，
由扇形图可知： 即等级A所占比例最多，
八年级众数 ，
由题可知：七年级等级C人数为： （人），
补全条形统计图如下：
故答案为： ， ；
（2）解：七年级更好，理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差
小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．
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学科网（北京）股份有限公司题型11 求极差、标准差
【典例11】一组数据3，5，8， 的极差是 ．
【答案】
【知识点】求极差
【分析】本题考查极差，掌握极差的定义是关键．先找出最大和最小的数，再算极差即可．
【详解】解： ，
这组数据的极差是 ，
故答案为： ．
【变式1】一组数据3、5、6、5、8的中位数和极差分别是 ．
【答案】5、5
【知识点】求中位数、求极差
【分析】此题考查了中位数、极差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的
那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．极差是指在一组数据中最大数与最小数之差．
根据中位数、极差的定义分别列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为3、5、5、6、8，
则中位数是 ；
极差是： ．
故答案为：5、5．
【变式2】一组数据： ，4，4，5，5的极差是3，则这组数据的方差为 ．
【答案】
【知识点】求极差、求方差、求一组数据的平均数
【分析】根据极差的计算公式先求出 ，再求出平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．本题
考查了方差：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差
．
【详解】解：∵一组数据： ，4，4，5，5的极差是3，
∴当 时，
∴ ，
∴ ，
方差 ．
∴当 时，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司方差 ．
综上：这组数据的方差为 ；
故答案为：
【变式3】已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为 ，
则该组数据的标准差为 ．
【答案】 或
【知识点】标准差、概率的意义理解、素数与合数
【分析】本题考查了素数，概率，标准差等知识．熟练掌握素数，概率，标准差是解题的关键．
由题意知，数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8，当数据个数为6时，设连续正整数
为 ，可得平均数为 ，则标准差
为 ，
计算求解；同理可求当数据个数为8时的标准差，然后作答即可．
【详解】解：∵从中随机抽取一个数字，是素数的概率为 ，
∴数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8，
当数据个数为6时，设连续正整数为 ，
平均数为 ，
∴标准差为
，
同理，当数据个数为8时，标准差为 ，
综上所述，标准差为 或 ，
故答案为： 或 ．
题型12 已知极差求未知数据
【典例12】已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则 ．
【答案】 或3
【知识点】 已知极差求未知数据
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学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查了极差，分两种情况讨论，当 是数据中最小的数时和当 是数据中最大的数时，根据
极差的定义解答即可．熟知极差的定义是关键．
【详解】解：当 是数据中最小的数时， ；
当 是数据中最大的数时 ．
则 或3；
故答案为： 或3．
【变式1】若五个数据2， ，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
【答案】7或
【知识点】 已知极差求未知数据
【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，
可求解．
【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，
若x是最大值，则 ，∴ ，
若x是最小值，则 ，∴ ，
则x的值为7或 ，
故答案为：7或 ．
【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键．
【变式2】一组数据： ，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
【答案】2.8
【知识点】 已知极差求未知数据、求方差、求一组数据的平均数
【分析】本题考查了极差、求平均数、求方差，根据这组数据的极差是4，求出 的值，再根据平均数的
定义和方差的定义进行计算即可，解题的关键是根据极差求出 的值．
【详解】解：∵数据： ，2，2，5，5的极差是4，
或 ，
或6，
当 时，这组数据的平均数是 ，
方差 ，
当 时，这组数据的平均数是 ，
方差 ，
∴这组数据的方差为 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，下列四个温度计显示度数的平均数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平均数的计算，根据四个温度计显示度数分别是 ，直接计算平均
数即可．
【详解】解：由图知，四个温度计显示度数分别是 ，
∴四个温度计显示度数的平均数为 ，
故选：D．
2．（25-26八年级下·重庆江津·期末）江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如
下：
码号 4
38 39 40 42 43
（码） 1
件数 1
2 4 7 5 1
（双） 8
你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（ ）
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C
【分析】本题主要考查统计中的众数概念．掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键．
根据进货量应多进众数对应的码号，据此即可解答．
【详解】解：∵ 41码的销售件数为18双，高于其他码号的件数（38码2双、39码4双、40码7双、42
码5双、43码1双），
∴ 41码是众数，应多进41码的鞋子．
故选C．
3．（2024·广东·模拟预测）若一组数据4，5， ，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（ ）．
A．4 B．5 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司先根据平均数求出 ，再用方差的公式解题即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得： ，
∴这组数据的方差为： ．
故选：C ．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为 分，期中考试
成绩为 分，期末考试成绩为 分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按 、 、
计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（ ）
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
【答案】D
【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平
均数的定义，将各成绩乘以对应权重后求和即可得到总评成绩．
【详解】解：
（分），
∴ 小丽本学期的总评成绩是93.3分．
故选：D．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方
差相等，则x的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第
二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值．
【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值，
又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等，
∴第一组数据也应为连续整数，
当 时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数，
当 时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数，
∴x的值为1或6．
故选：C．
6．（2025·安徽·模拟预测）已知一组数据 、 、 、 、 的平均数为a，方差为b，则数据 、
、2 、 、 的平均数和方差分别为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 、 B． 、 C． 、 D． 、
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差．根据题意可得 ，
，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的
方差和平均数，即可求解．
【详解】解：∵一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，方差是 ，
∴ ， ，
∴数据 、 、2 、 、 的平均数为
；
数据 、 、2 、 、 的方差为
故选C.
二、填空题
7．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）一组数据2，2，3，4，6，7的平均数是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，解题的关键是掌握平均数公式．
通过计算所有数据的和除以数据的个数得到平均数．
【详解】解： ，
故答案为：4．
8．（2025·河南·模拟预测）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则
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学科网（北京）股份有限公司数据x是 ．
【答案】1或2
【分析】根据众数的定义，结合正整数的性质解答即可．
本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，
∴ ，
由x为正整数,
故数据x是1或2．
故答案为：1或2．
9．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）某中学举办“定点投篮比赛”，甲、乙两组各选出5名选手组成代
表队参加决赛，两组选手进球数如图所示.则 组的得分较稳定．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【分析】本题考查方差的应用，解题思路是通过计算甲、乙两组的方差，比较方差大小判断稳定性；考查
的知识点是方差，用到的思想是统计思想，方法是方差计算法，技巧是准确计算方差，解题关键是掌握方
差的计算方法，易错点是方差计算时数据代入错误．
【详解】解：甲组 5 名选手的进球数： ，
，
；
乙组 5 名选手的进球数： ，
，
，
，
所以甲组的得分更稳定；
故答案为甲．
10．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）一组数据的方差计算公式为
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学科网（北京）股份有限公司，则这组数据的方差是 ．
【答案】7.6
【分析】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．本题主要考查平均数和方差，解题的关键是
掌握方差及平均数的计算公式．
【详解】解：平均数为 ，
则方差
．
故答案为：7.6．
11．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是5，方差为2，
则另一组新数据 、 、 、 、 的方差是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查数据的方差，根据平均数、方差的变化规律可得：数据 、 、 、
、 的平均数是 ，方差是 ，计算即可解答．
【详解】解：∵数据 、 、 、 、 的平均数是5，方差为2，
∴新数据 、 、 、 、 的平均数是 ，
方差为 ．
故答案为：8．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一组数据 ，其平均数为1，方差为 ，则另一组
数据 的平均数为 ，标准差为 ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查平均数，标准差，方差；根据数据的倍数影响平均数，方差，标准差，后面的常数
项影响平均数，不影响方差，标准差，进行整体计算即可．
【详解】解：∵一组数据 ，其平均数为1，
∴另一组数据 的平均数为： ，
∵一组数据 ，方差为 ，
∴另一组数据 的标准差为： ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：3， ．
三、解答题
13．（25-26八年级下·吉林四平·期末）自双减以来，学校课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期
举办“篮球特色班”，大量热爱篮球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终
评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩／分
篮球知识 身体素质 篮球技能
甲
乙
(1)如果由三项成绩的平均分确定最终评价成绩，则_________将被录取（填“甲”或“乙”）；
(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按 的比例确定最终评价成绩，请计算
说明谁将被录取．
【答案】(1)甲
(2)乙被录取，见解析
【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数，掌握定义是解题的关键．
（ ）根据算术平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（ ）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ，
∵ ，
∴甲被录取，
故答案为：甲；
（2）解： ， ，
∵ ，
∴乙被录取．
14．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对
这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩（满分10分）如下：
小聪： ， ， ， ， 小明： ， ， ， ，
(1)填写下表：
众
平均数 中位数 方差
数
小 8 8
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学科网（北京）股份有限公司聪
小
9 3.2
明
(2)根据上面的计算，老师选择小聪代表班级参赛，理由是什么？
(3)如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的方差______．（填“变大”、“变小”或“不
变”）
【答案】(1)8，0.4，8，9
(2)选择小聪，理由见解析
(3)变小
【分析】本题考查求一组数据的众数、方差、中位数、平均数，利用平均数、方差作决策：
（1）根据众数、方差、中位数、平均数的定义求解；
（2）利用平均数、方差作决策；
（3）根据方差公式计算出新方差，与原方差比较大小即可．
【详解】（1）解：小聪5次成绩为 ， ， ， ， ，
众数为：8，
方差为： ；
小明5次成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
中位数为：9
平均数为： ，
故答案为：8，0.4，8，9；
（2）解：选择小聪，理由为：小聪和小明的平均成绩相同，但小聪的方差比小明的小，成绩更稳定；
（3）解：如果再组织一次测试，小明得8分，那么小明成绩的平均数仍为8分，
方差变为： ，
故答案为：变小．
15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）五莲县所产大樱桃色泽艳丽，果肉细腻，汁甜如蜜，个大味美，营
养丰富，深受消费者欢迎，叩官镇张先生几年前种植了甲、乙两块樱桃园，各栽种200棵樱桃树，成活率
为99%，现已挂果．为分析收成情况，他分别从两块樱桃园随机抽取5棵树作为样本，并采摘完样本树上
的樱桃，每棵树的产量如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)分别计算甲、乙两块樱桃园样本数据的中位数与平均数；
(2)请根据样本中的平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃的产量；
(3)根据样本，通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定．
【答案】(1)甲样本的中位数为45，平均数为45（kg），乙样本的中位数为43，平均数为44（kg）
(2)甲樱桃园樱桃的产量为8910（kg）；乙樱桃园樱桃的产量为8712（kg）
(3)乙樱桃园的樱桃产量比较稳定，理由见解析
【分析】（1）先根据折线统计图得出甲、乙两块樱桃园样本数据，再根据中位数、平均数的定义列式计
算即可；
（2）用总棵数乘以成活率再乘以甲、乙李子产量平均数的和即可；
（3）分别计算出两块林地产量的方差，根据方差的意义求解即可．
【详解】（1）解：由折线统计图知，甲的数据从小到大排列为40，40，45，46，54，乙的数据从小到大
排列为38，42，43，48，49，
所以甲样本的中位数为45，平均数为 （kg），
乙样本的中位数为43，平均数为 （kg）；
（2）解：甲樱桃园樱桃的产量为200×99%×45＝8910（kg）；
乙樱桃园樱桃的产量为200×99%×44＝8712（kg）；
（3）解：甲样本的方差为 ，
乙样本的方差为 ，
16.4＜26.4，
所以乙樱桃园的樱桃产量比较稳定．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数、方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则
与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
16．（24-25八年级下·广东东莞·期末）东莞是全国闻名的荔枝之乡，荔枝已成为东莞种植面积最大、品种
最鲜明、区域优势最明显的水果．为了解①号、②号两个品种荔枝的年产量（ 株）情况，在某荔枝种
植基地随机抽取①号、②号两个品种荔枝各20株进行调查，下面给出了部分信息：
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学科网（北京）股份有限公司抽取的①号、②号品种荔枝年产量的统计表：
品种 平均数 方差
①号 70 a
②号 27
(1)填空： ___________， __________；
(2)根据图表中的数据，若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大几号品种荔枝的种植面积？为什么？
【答案】(1)7.1；70
(2)果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由见解析
【分析】本题考查计算平均数、方差，以及利用平均数和方差做决策．理解方差的意义是解题的关键．
（1）结合条形统计图数据，根据平均数、方差的计算方法计算即可；
（2）先比较平均数，再比较方差即可得出结论．
【详解】（1）解：
；
．
故答案为：7.1；70；
（2）解：果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由如下：
，
．
由此可知，①号、②号品种年平均产量相同，但①号品种的年产量比②号品种的稳定，
所以果农应扩大①号品种荔枝的种植面积．
17．（2025七年级上·全国·专题练习）为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：
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学科网（北京）股份有限公司次）的情况，从全年级700名学生中随机抽取20名学生进行调查．同时对调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：3 7 5 10 5 9 6 7 4 7 8 7
10 8 7 9 6 9 8 5
【整理数据】结果如表：
【分析数据】数据的平均数是_________，方差是_________．
【解决问题】回答下列问题：
（1）请补全频数分布表和频数直方图；
（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数．
次数x分组 画记 频数
T 2
正 5
正 下 8
正 5
【答案】[分析数据]7， ；[解决问题]（1）见解析，（2）
【分析】本题考查平均数和方差的定义、频数分布表和频数直方图的应用，利用样本估计总体，熟练掌握
从图中获得信息是解题的关键．
[分析数据]根据平均数和方差的定义，进行计算求解即可；
[解决问题]（1）一共抽查学生总人数为 人，据此进行计算求解即可；
（2）先计算抽查人数中参加公益活动次数超过6次的人数所占百分比，再计算该校八年级全部学生参加公
益活动次数超过6次的人数即可．
【详解】解：[分析数据]
数据的平均数是： ；
方差是： ，
因此数据的平均数是 ，方差是 ；
故答案为： ， ；
[解决问题]
（1）由题意得，“ ” 的频数为 ，
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学科网（北京）股份有限公司频数分布表为：
次数x分组 画记 频数
T 2
正 5
正 下 8
正 5
频数直方图为：
（2） （人），
答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为 人．
18．（24-25八年级下·广东广州·期末）某校乒乓球队16名队员的年龄分布如表：
年
1
龄/ 12 14 15
3
岁
人
3 5 6 2
数
(1)则该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是______；
(2)求该校乒乓球队16名队员的平均年龄； 结果取整数
(3)教练组采用六维雷达图评估乒乓球队员的竞技水平，评估维度包括力量、速度、技巧、发球、防守和经
验，权重比为 ．某队员的雷达图评分如图所示，计算该队员的综合得分？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)14岁
(2)13岁
(3) 分
【分析】本题主要考查众数和加权平均数，解题的关键是掌握众数、加权平均数的定义．
（1）根据众数的定义即可得出答案；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】（1）解：年龄为 岁的人数有 人，且为人数最多，
该校乒乓球队16名队员的年龄的众数是14岁，
故答案为：14岁；
（2）解：依题意 （分）
（3）解：该队员的综合得分为 （分）
19．（24-25八年级下·广东阳江·期末）春节是中华民族最为重要的传统节日之一，光明中学语文老师给八
年级的学生布置了一篇主题为“我的春节”的作文，并随机抽取八年级 （1）班、（2）班各10名学生，
对作文成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（单位：分）表示，共分成四个等级， ：
， ： ， ： ， ： ）， 下面给出了部分信息．
八年级 （1） 班的学生B等级的成绩为92， 92， 93， 94；
八年级 （2） 班的学生A等级的成绩为95， 95， 95， 97， 100．
请根据相关信息，回答以下问题：
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学科网（北京）股份有限公司八年级 （1）、（2）班抽取的学生作文成绩统计表：
平均 中位 众 方
班级
数 数 数 差
八年级 （1）
92 a 92 23.4
班
八年级 （2）
92 94 b 29.8
班
(1)填空： ， ，扇形统计图中C对应的圆心角度数为 ；
(2)补全八年级 （2）班抽取的学生作文成绩条形统计图；
(3)若该校八年级共500人，则成绩在95分及以上的估计有多少人？
(4)请从平均数、中位数、众数、方差中选取合适的统计量，对两个班级学生的作文成绩进行评价．
【答案】(1) ，95，
(2)补全条形统计图见解析
(3)成绩在95分及以上的估计有200人；
(4)八年级（2）班学生的作文成绩较好，见解析
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数、众数、方差，样本估计总体；
（1）根据中位数、众数的意义求解即可，根据扇形统计图中C等级的占比乘以 即可得出C对应的圆
心角的度数；
（2）根据题意得 等级 人， 等级的 人，进而补全统计图；
（3）根据样本根据总体即可求解；
（4）根据题意，从中位数、众数这两方面的统计量进行分析，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，八年级（1）班10名同学成绩 等级的人数为 人，
八年级（1）班参赛的学生 等级的成绩为：92， 92， 93， 94；
∴处在中间位置的两个数都是92，93，因此中位数是 ，即 ，
八年级（2）班参赛的学生 等级的成绩为：95， 95， 95， 97， 100．
等级的 人， 等级的 人，则 等级的 人，
八年级（2）班10名学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司扇形统计图中C对应的圆心角的度数为 ，
故答案为： ，95， ；
（2）解：由（1）可得 等级 人， 等级的 人，补全统计图如图所示，
；
（3）解：∵八年级（1）班成绩在95分及以上的有 （人），
八年级（2）班成绩在95分及以上的有5人，
∴ （人），
∴成绩在95分及以上的估计有200人；
（4）解：八年级（2）班学生的作文成绩较好．
∵八年级（2）班学生成绩的中位数、众数都比八年级（1）班的高．
∴八年级（2）班学生的作文成绩较好．
20．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）2025年10月，某学校举行了“国庆知识问答”系列活动，
其中七、八年级的同学参加了知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名同学的成绩进行了整理、描述
和分析（成绩得分用 表示，其中 ）．下面给出了
部分信息：
七年级20名学生的成绩为：100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，
90，89，88，88，86，85，82，77，68，57；
八年级 等级的学生成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82．
七、八年级所抽学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 90
八年级 88
根据以上信息，解答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)上述图表中， _____， _____； _____；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理
由即可）；
(3)该校七年级有400名学生，八年级有600名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成
绩为 等的学生共有多少人?
【答案】(1)90， ，45
(2)八年级，理由见解析
(3)490人
【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差．
（1）分别根据众数和中位数的定义可得 、 的值，用 组人数除以样本容量可得 的值；
（2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可（答案不唯一）；
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：七年级20名同学的成绩中90出现的次数最多，故众数 ；
由题意得，八年级 组人数为8人，所以占总人数的 ，
八年级 组的人数占总人数的 ，故 ；
八年级选取了20名同学的成绩，
八年级 组的人数为： （人），
八年级 组的人数为： （人），
八年级 组的人数为： （人），
把八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是88，89，故中位数 ．
故答案为：90， ，45；
（2）解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下：
因为两个年级成绩的平均数相同，虽然七年级学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于八年级，但是七年级
学生的竞赛成绩的方差比八年级的大很多，意味着七年级学生的竞赛成绩波动很大，所以我认为八年级学
生的竞赛成绩较好（答案不唯一）；
（3）解：由题意得，七年级 组的人数有11人，占总人数的 ，
该校七年级有400名学生参加了此次竞赛，
七年级 组的人数有： （人）；
由（1）得，八年级 组的人数占总人数的 ，
该校八年级有600名学生参加了此次竞赛，
八年级 组的人数有： （人）；
该校七、八年级参加此次竞赛成绩为 等的学生共有 （人）．
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