文档内容
第七章 证明
1.梳理定义、命题、公理、定理等核心概念，明确命题的构成与真假判断方法，构建
单元知识网络。
教学目标 2.掌握综合法证明的步骤与规范，能清晰区分平行线的判定与性质，并灵活运用进行
推理。
3.体会证明的必要性，提升逻辑推理与规范表达能力，树立严谨的数学思维意识。
1.重点
教学重难点
（1）系统整合单元知识，深化对命题、证明等概念的理解，熟练掌握证明的规范书写格式。
（2）灵活运用平行线的判定与性质、三角形内角和定理等解决几何证明问题，构建
清晰推理链。
2.难点
（1）难以将零散知识结构化，在复杂图形中易混淆平行线的判定与性质，导致推理
方向错误。
（2）证明思路构建困难，尤其在需添加辅助线的问题中，无法有效衔接已知与求
证，推理依据缺失。
知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
知识点02 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
知识点03 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
知识点04 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.
题型01 判断是否是命题
【典例1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句中： 墙是白色的； 2加3等于5； 不是负
数； 化简 ．其中不是命题的是( ) ① ② ③
A④． B． C． D．
【答案】D
① ② ③ ④
【分析】本题考查了命题的概念，解题的关键是判断语句是否对某一事情作出明确判断．
判断语句是否为命题的核心是看其是否对事情作出真假可辨的判断；①明确判断墙的颜色，②明确判断运
算结果，③明确判断 的取值性质，均为命题；④仅表示化简操作，未作出任何判断，不属于命题．
【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题．①对墙的颜色作出判断，是命题；②对
的结果作出判断，是命题；③对 的取值性质作出判断，是命题；④仅为化简指令，未作出任何判断，
不是命题．
故选：D．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中命题的个数是（ ）
①明天下雨吗；②白色的墙；③过直线l外一点作l的垂线；④两点确定一条直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要了考查命题的定义．命题是能够判断真假的陈述句，据此逐个判断即可．
【详解】解：命题是可以判断真假的陈述句．
①“明天下雨吗”是疑问句，不能判断真假，不是命题；
②“白色的墙”不是完整的句子，不能判断真假，不是命题；
③“过直线 外一点作 的垂线”是祈使句，不能判断真假，不是命题；
④“两点确定一条直线”是陈述句，且为真命题．
综上，命题的个数是1个，
故选：A．
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句属于命题的有（ ）
①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫
做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子 的值都是质数吗？A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可．
【详解】解：①两点之间线段最短是命题；
②不许大声喧哗不是命题；
③连接P，Q两点不是命题；
④花儿在春天开放是命题；
⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题；
⑥无论n取怎样的自然数，式子 的值都是质数吗？不是命题．
故选：B
题型02 判断命题的真假
【典例2】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】本题考查命题的真假判断．根据直线公理、余角的性质、全等三角形的性质以及反例逐项判断即
可．
【详解】解：选项A：两点确定一条直线，是几何基本公理，正确；
选项B：同角的余角相等，设 和 均为 的余角，则 ， ，∴ ，
正确；
选项C：全等三角形的对应角相等，由全等三角形性质可知，正确；
选项D：取 ， ，则 ，但 ， ， ，即 ，∴ 命题不成立．
∴ 假命题是D，
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列命题中①若 ，则 ；②4的平方根为 ；③
立方根是 ；④ 的算术平方根为 ．是真命题的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据平方根和立方根
的定义逐一判断各命题的真假即可得到答案．
【详解】解：对于①：∵当 ，则 ，但 ，有 ，
∴①为假命题；
对于②：∵平方根的定义，4的平方根为 ，
∴②为真命题；对于③：∵ 的立方根为 ，
∴③为真命题；
对于④：∵ 的算术平方根为 ，
∴④为真命题；
∴真命题为②③④，
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）给出下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则
；③能被5整除的数，末位数字必是5；④若 ，则 ．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】本题考查真假命题的应用，熟练掌握真假命题的概念是解题的关键．
通过命题的概念逐一判断每个命题的真假：①和③是假命题，②和④是真命题，因此假命题有2个．
【分析】解：①：根据平方的性质得： ⇒ ，不一定有 ，因此①是假命题；
②：根据 ，则 ，因此②是真命题；
③：能被5整除的数，末位数字是0或5，不一定必是5，因此③是假命题；
④：根据 或 ，即 ，因此④是真命题；
综上，假命题有2个．
故选：B．
题型03 举反例说明命题是假命题
【典例3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）请写出一个a的值，能说明命题“若 ，则 ”是假
命题，则 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得
成立，则 或 ，因此举反例可列举 的数字即可．
【详解】解：当 时， ，但不满足 ，
故命题“ ，则 ”是假命题，
故答案为： （满足条件即可）．
【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）要说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题，可
举反例为 ．
【答案】答案不唯一，如： 角的补角是 ，而 小于
【分析】本题主要考查命题中关于假命题的知识，当一个命题是假命题时，可以举出很多例子与假命题所
陈述的内容相悖，这个例子就叫做假命题的一个反例．根据题意所举的反例为一个角的度数为 ，则补
角为 ，即可说明原命题是假命题．【详解】解：设这个角度数为 ，当 时，这个角的补角小于这个角.
故答案不唯一，如： 角的补角是 ，而 小于 ，
故答案为：答案不唯一，如： 角的补角是 ，而 小于 ．
【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数
a，b的值为 ， ．
【答案】 1（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例
是解题的关键．
根据举反例的方法找到a，b满足 ，但是不满足 即可解答．
【详解】解：当 时， ，
但 ，
故答案为： ，1．
题型04 写出命题的题设与结论
【典例4】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是
同位角相等．
【答案】两直线平行
【分析】本题考查命题的定义．将命题改为““如果……那么……”的形式即可判断．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”可改为“如果两条直线平行，那么同位角相等”，因此该
命题的条件是两直线平行．
故答案为：两直线平行．
【变式1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）“垂线段最短”的题设是 ，结论是
．
【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短
【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论
部分．
将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结
论．
【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，
那么垂线段最短．
所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短．
【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”
的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ．
【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这
两个角相等
【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可．【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
该命题的条件是：两个角是同一个角的余角，
结论是：这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等．
题型05 判断使两直线是否平行
【典例5】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用．
利用平行线的判定定理进行分析即可．
【详解】解：A、当 时，根据内错角相等，两直线平行得 ，故A不符合题意；
B、当 时，根据同位角相等，两直线平行得 ，故B不符合题意；
C、当 时，根据同旁内角互补，两直线平行得 ，故C不符合题意；
D、 与 不属于同位角或内错角，故不能判定 ，故D符合题意，
故选：D．
【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、由 ，可以根据内错角相等，两直线平行得到 ，故此选项不符合题意；
B、由 ，可以根据同位角相等，两直线平行得到 ，故此选项不符合题意；
C、由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 ，故此选项不符合题意；
D、由 ，可以根据内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，故此选项符合题
意；故选：D．
【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中 ，那么
下列结论错误的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ， ，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答．
【详解】解：A、若 ，则 ，结论正确，本选项不符合题意；
B、若 ，则 ，结论正确，本选项不符合题意；
C、若 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，原结论错误，本选项符合题意；
D、若 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，结论正确，本选项不符合题意．
故选：C．
题型06 补充条件使两直线平行
【典例6】（24-25七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使 ，则可以添加的一个条件是
．（只填一个）【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键.
【详解】解：当 ，则 （同位角相等，两直线平行）；
当 ，则 （同旁内角互补，两直线平行）；
当 ，则 （同位角相等，两直线平行）；
当 ，则 （内错角相等，两直线平行）；
当 ，则 （同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为： 或 或 或 或 （答案不
唯一）.
【变式1】（2025·山东德州·中考真题）如图， 是 的外角，射线 在 的内部，添加
一个条件 ，使得 ．（写出一种情况即可）
【答案】 或 或 （答案不唯一，填一个即可）
【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错
角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ （同位角相等，两直线平行）；
∵ ，
∴ （同旁内角互补，两直线平行）；
∵ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为： 或 或 （答案不唯一，填一个即可）．
【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条 ， 与木条 钉在一起， ，转动木条 ，
当 时，木条 与 平行．【答案】 /45度
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键；
由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．
【详解】解： ,
要使木条 ，由内错角相等，两直线平行得：
当 时， ．
故答案为： ．
题型07 利用平行线的性质求解
【典例7】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知 ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据“内错角相等，两直线平行”判定 ，再根据平
行线的性质可得 ，由此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知 平分 ，
于点E， ，则 ．【答案】
【分析】直接利用平行线的判定得出 ，进而得出 ，利用角平分线的定义结合已
知得出 ，即可得出答案．
此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出 是解题关键．
【详解】解： ，
，
， ，
，
平分 ，
又 ，
．
故答案为： ．
【变式2】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图直线 ，点 C 在 上，点 B 在 ，
，则
【答案】 /65度【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，余角性质，解答即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】如图，∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
题型08 平行线的判定与性质多结论问题
【典例8】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图所示，已知 ， 于点B，
，则下列结论一定正确的有 （填序号）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查平行线的判定和性质.
根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故①正确；
∴ ；故③正确；
∴ ；故②正确；
∴ ；故⑥错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；故⑤正确；
条件不足，无法得到 ；故④错误；
故答案为：①②③⑤．
【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图， ， ，点 、 在 上，平分 ，且 平分 ，下列结论中正确的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则
．
【答案】①②⑤
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由 ，得到
，得出 ．③ 平分 ，得出
，从而计算出 ．④由
，得出 ．⑤由
，得到 ，再得到
，从而计算出 ．
【详解】解：∵ ，
，
平分 ，
，
，故①正确，符合题意；
，
，
，
，故②正确，符合题意；
平分 ，
，
，
，
故③错误，不符合题意；
，
，故④错误，不符合题意；
，，
，
，
，故⑤正确，符合题意．
故答案为：①②⑤．
【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）如图，E在线段 的延长线上， ， ，
，连 交 于G， 的余角比 大 ，K为线段 上一点，连 ，使
，在 内部有射线 ， 平分 ，则下列结论：① ；② 平分
；③ ；④ 的角度为定值且定值为 ，其中正确的结论是（填序号） ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及余角关系，①根据条件 ，
得 ， 与 为同位角，根据平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），
可推导 ，故①正确； ②由 ，可得 为等腰三角形（底角相等），但又因为
，即可得出 平分 ；故②正确；③由余角关系得 ，可得
，故③正确，所以 ，结合 ，再通过 平分 及等
腰三角形性质，计算 ，故④错误．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确，符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；故②正确，符合题意；
∵ 的余角比 大 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确，符合题意；
设 ， ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④错误，不符合题意；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③．
题型09 平行线的判定与性质的综合问题
【典例9】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，射线 被直线 所截，交点分别为 ，连
接 ，若 平分 ．
(1)试说明 的理由；
(2)若 ，求 的度数？
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质．
（1）根据同角的补角相等可得 ，根据平行线的判定即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，
，根据已知条件 ，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
；
（2） 平分 ， ，
，
，
， ，又 ，
．
【变式1】（25-26八年级上·湖北宜昌·月考）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且 ．
(1)求证： ；
(2)当 满足什么条件时， ？并说明理由
【答案】(1)见解析
(2)当 时， ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，
通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好．
（1）根据全等三角形的性质求出 ， ，代入求出即可；
（2）结合 ，则 ，根据全等三角形的性质求出 ，推出
，根据平行线的判定求出即可．
【详解】（1）证明： ，
， ，
，
即 ；
（2）解：当 时， ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
，
， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
【变式2】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图， ，直线 分别与 、 交于点 、点 ，
连接 ，且 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若 平分 ， 平分 ，交 于点 ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理
由．
【答案】(1)
(2) ．见解析
(3) ．见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）根据平行线的性质得到 ，进而根据 计算即可；
（2）根据平行线的性质得到 ，进而可知 ，即可得到 ；
（3）根据平行线的性质得到 ， ， ，根据角平分线的定
义得到 ，可知 ．
【详解】（1） ，
．
又 ，
；
（2） ．
理由： ，
．
又 ，
，
；
（3） 与 的数量关系为： ．
理由： ，
， ， ．
平分 ， 平分 ，
，
．一、单选题
1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）下列语句不是命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等
C．如果 ，那么 D．延长线段 至点C
【答案】D
【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对事件作出判断的语句，叫做命题，进行判断即可．
【详解】解：A，B，C选项都对事件作出了判断，是命题，D选项没有对事件作出判断，不是命题；
故选：D．
2．（2024·广东·模拟预测）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C． 是有理数 D．若 ，则
【答案】B
【分析】本题考查了真假命题，对顶角，平行线公理的推论，无理数，绝对值的意义，熟练掌握各知识点
是解题的关键．
根据对顶角的定义，平行线公理的推论，无理数的定义，绝对值的意义分别判断各选项即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，本选项符合题意；
C、 是无理数，原命题是假命题，本选项不符合题意；
D、若 ，则 ，原命题是假命题，本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，由 ，能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键，根据平行线判定方法依次判定
即可．
【详解】解：A、由 ，能得到 ，故本选项不符合题意；
B、由 ，能得到 ，故本选项不符合题意；
C、由 ，无法得到 ，故本选项不符合题意；
D、由 ，能得到 ，故本选项符合题意；
故选：D．4．（24-25七年级下·贵州·月考）以下可以用来证明命题“若 ，则 ”是假命题的反例的是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较、命题与定理、绝对值的意义，根据题意所表达的意思，逐项分析
即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、当 ， 时， ，此时 ， ，则 ，不符合题意；
B、当 ， 时， ，不符合题意；
C、当 ， 时， ，此时 ， ，则 ，符合题意；
D、当 ， 时， ，不符合题意；
故选：C．
5．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线 ，OG是 的平分线， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解
题的关键．
结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得 的度数，再由角平分线的定义即可算出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ．
故选：C．
6．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知 ， ， 、 分别为
的角平分线， 则下列说法正确的是（ ）
① ；② ；③ 平分 ；④ ．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】如图，延长 交 于 ，由 ，可得 ，由 ，可得
， ，进而可判断①的正误；由 分别为 的角平分线，则
， ，如图，过 作 ，则 ，有
， ，根据
，可得
，可得 ，进而
可判断④的正误；由 ，可知 ， ，由
，可得 ，进而可判断③
的正误；由 ，可知 ，由于 与 的位置关系不确定，可知 与 的大小关
系不确定，则 不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ 分别为 的角平分线，
∴ ， ，
如图，过 作 ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴
∴ ，
∴④正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴③正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ，
∵ 与 的位置关系不确定，
∴ 与 的大小关系不确定，
∴ 不一定成立，
∴②错误，故不符合要求；
∴正确的共有3个，①③④
故选D．
二、填空题
7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“直角三角形的两个锐角互余”是 ．（填“公理”或“定
理”）
【答案】定理
【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌
握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接
受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真
实性依赖于演绎推理过程．
【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理．
故答案为：定理．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”
的形式： ．【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行
【分析】本题考查了命题改写，掌握“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键．
根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可．
【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”，
写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”．
故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行．
9．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，补充一个条件，使 成立，这个条件可以是
．
【答案】 （或 或 ）
【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方
法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于
同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．
根据平行线的判定方法作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： （或 或 ）
10．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）要说明命题“若 ，则 ”是假命题，可举出反例“
”．
【答案】
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、
假命题的概念解答．
【详解】解：当 时， ，
说明命题“若 ，则 ”是假命题，
故答案为： ．
11．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的
数学模型，若领带的上边缘 与 平行， 与 平行， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
，则 °．【答案】135
【分析】本题考查平行线的性质，周角的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据两直线平行，同旁内角互补，先求出 ，再由周角为 ，即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：135．
12．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）如图，点E在 延长线上， 交于点F，且 ，
， 比 的余角小 ，P为线段 上的一动点，Q为 上一点，且满足
， 为 的平分线，则下列结论：
① ；② 平分 ；③ ；④ 的角度为定值，其中正确的结论有
．
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，余角和补角的性质，准确分析计算是解
题的关键．
利用平行线的判定和性质，角平分线的性质，余角和补角的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
,
∴ ，
故①正确，符合题意；
②∵ ，
∴∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
故②正确，符合题意；
③∵ ，
，
∵ 比 的余角小 ，
则 ，
，
，
∴ ,
故③正确，符合题意；
④∵ 为 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②③④．
三、解答题
13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短；
（3）2不是无理数；
（4）作一条直线和已知直线平行．
【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题
【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的
陈述句叫做命题．
根据命题的定义即可求解．
【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是
真命题还是假命题．
(1)互为相反数的两个数的和为零；(2)同旁内角互补．
【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题
(2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题
【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键．
（1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果 条件，那么 结论，即可进行改写，再判断真假；
（2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果 条件，那么 结论，即可进行改写，再判断真假．
【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图， 和 是同旁内角，
但两直线不平行，故 和 不互补．
15．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知 ， 于D， 于F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行，证明 即可；
（2）根据垂直于同一直线的两直线平行，平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，点 、 在 上，且 ， ，．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．
根据 ，可知 ，根据两直线平行，内错角相等，可证 ，利用 可证结论成
立；
根据 可知 ，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
；
（2）证明：由 可知 ，
，
．
17．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开
展数学活动，如图，已知两直线a，b，且 ， 是直角三角形， ， ，操作发
现：
(1)如图1，若 ，求 的度数；(2)如图2，若 的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把 的位置改变，发现 ，请
说明理由；
(3)如图3，此时发现 与 又存在新的数量关系，直接写出 与 的数量关系．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3) ，详见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质．
（1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可；
（2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可；
（3）根据三角形内角和定理及对顶角的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：如图2，过点B作 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
即 ；
（3）解： ，理由如下：
由三角形内角和定理可得， ，而 ，
∴ ．
18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： ，点H在线段 上，点E在线段 上，过
点E作线段 、 ，使 ， ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ，过点F作 交线段 于点M，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下， 平分 交 于点T， 平分 交 的延长线于点R，点N
在线段TF上，连接 ，过点R作 交 的延长线于点K，若 ，
， 的面积为9，求 的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为 ）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义、三角形面积等知识；本题综合性
强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
（1）根据 得到 ，进而证明 ，即可证明 ，根据
，即可证明 ；
（2）过点F作 ，即可得到 ， ，证明 ，得到
，从而证明 ，即可证明 ；
（3）过点F作 交 于O，设 ，则 ，证出 ，过点
R作 ，则 ，证 ，进而得出 ，由平行线的性质得
，再由三角形面积关系即可得出答案 ﹒
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点F作 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点F作 交 于O﹒
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
过点R作 ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 中 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ﹒
