文档内容
第七章 证明
1.梳理定义、命题、公理、定理等核心概念，明确命题的构成与真假判断方法，构建
单元知识网络。
教学目标 2.掌握综合法证明的步骤与规范，能清晰区分平行线的判定与性质，并灵活运用进行
推理。
3.体会证明的必要性，提升逻辑推理与规范表达能力，树立严谨的数学思维意识。
1.重点
教学重难点
（1）系统整合单元知识，深化对命题、证明等概念的理解，熟练掌握证明的规范书写格式。
（2）灵活运用平行线的判定与性质、三角形内角和定理等解决几何证明问题，构建
清晰推理链。
2.难点
（1）难以将零散知识结构化，在复杂图形中易混淆平行线的判定与性质，导致推理
方向错误。
（2）证明思路构建困难，尤其在需添加辅助线的问题中，无法有效衔接已知与求
证，推理依据缺失。
知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，
不能保证结论正确，即结论不成立.
知识点02 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定
理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
知识点03 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
知识点04 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.
题型01 判断是否是命题
【典例1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句中： 墙是白色的； 2加3等于5； 不是负
数； 化简 ．其中不是命题的是( ) ① ② ③
A④． B． C． D．
【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中命题的个数是（ ）
① ② ③ ④
①明天下雨吗；②白色的墙；③过直线l外一点作l的垂线；④两点确定一条直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句属于命题的有（ ）
①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫
做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子 的值都是质数吗？
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型02 判断命题的真假
【典例2】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．如果 ，那么
【变式1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列命题中①若 ，则 ；②4的平方根为 ；③
立方根是 ；④ 的算术平方根为 ．是真命题的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）给出下列命题：①若 ，则 ；②若 ，则
；③能被5整除的数，末位数字必是5；④若 ，则 ．其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型03 举反例说明命题是假命题
【典例3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）请写出一个a的值，能说明命题“若 ，则 ”是假命题，则 ．
【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）要说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题，可
举反例为 ．
【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数
a，b的值为 ， ．
题型04 写出命题的题设与结论
【典例4】（2025八年级上·全国·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是 ，结论是
同位角相等．
【变式1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）“垂线段最短”的题设是 ，结论是
．
【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”
的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ．
题型05 判断使两直线是否平行
【典例5】（24-25七年级下·广东揭阳·月考）如图，由下列条件不能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，下列条件无法判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中 ，那么
下列结论错误的是（ ）
A．如果 ，那么B．如果 ，那么
C．如果 ， ，那么
D．如果 ， ， ，那么
题型06 补充条件使两直线平行
【典例6】（24-25七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使 ，则可以添加的一个条件是
．（只填一个）
【变式1】（2025·山东德州·中考真题）如图， 是 的外角，射线 在 的内部，添加
一个条件 ，使得 ．（写出一种情况即可）
【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，木条 ， 与木条 钉在一起， ，转动木条 ，
当 时，木条 与 平行．
题型07 利用平行线的性质求解
【典例7】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，已知 ， ，则 的度数为 ．
【变式1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知 平分 ，
于点E， ，则 ．【变式2】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）如图直线 ，点 C 在 上，点 B 在 ，
，则
题型08 平行线的判定与性质多结论问题
【典例8】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图所示，已知 ， 于点B，
，则下列结论一定正确的有 （填序号）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图， ， ，点 、 在 上，
平分 ，且 平分 ，下列结论中正确的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则
．
【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）如图，E在线段 的延长线上， ， ，
，连 交 于G， 的余角比 大 ，K为线段 上一点，连 ，使
，在 内部有射线 ， 平分 ，则下列结论：① ；② 平分
；③ ；④ 的角度为定值且定值为 ，其中正确的结论是（填序号） ．题型09 平行线的判定与性质的综合问题
【典例9】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，射线 被直线 所截，交点分别为 ，连
接 ，若 平分 ．
(1)试说明 的理由；
(2)若 ，求 的度数？
【变式1】（25-26八年级上·湖北宜昌·月考）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且 ．
(1)求证： ；
(2)当 满足什么条件时， ？并说明理由
【变式2】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图， ，直线 分别与 、 交于点 、点 ，
连接 ，且 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若 平分 ， 平分 ，交 于点 ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理
由．一、单选题
1．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）下列语句不是命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．同位角都相等
C．如果 ，那么 D．延长线段 至点C
2．（2024·广东·模拟预测）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．相等的角是对顶角 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C． 是有理数 D．若 ，则
3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列图形中，由 ，能得到 的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·贵州·月考）以下可以用来证明命题“若 ，则 ”是假命题的反例的是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线 ，OG是 的平分线， ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，已知 ， ， 、 分别为
的角平分线， 则下列说法正确的是（ ）
① ；② ；③ 平分 ；④ ．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题
7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“直角三角形的两个锐角互余”是 ．（填“公理”或“定
理”）
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”
的形式： ．
9．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，补充一个条件，使 成立，这个条件可以是
．
10．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）要说明命题“若 ，则 ”是假命题，可举出反例“
”．
11．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的
数学模型，若领带的上边缘 与 平行， 与 平行， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
，则 °．
12．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）如图，点E在 延长线上， 交于点F，且 ，
， 比 的余角小 ，P为线段 上的一动点，Q为 上一点，且满足
， 为 的平分线，则下列结论：
① ；② 平分 ；③ ；④ 的角度为定值，其中正确的结论有
．
三、解答题
13．（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？（2）两点之间线段最短；
（3）2不是无理数；
（4）作一条直线和已知直线平行．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是
真命题还是假命题．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
(2)同旁内角互补．
15．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知 ， 于D， 于F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
16．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，点 、 在 上，且 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
17．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开
展数学活动，如图，已知两直线a，b，且 ， 是直角三角形， ， ，操作发
现：
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2，若 的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把 的位置改变，发现 ，请
说明理由；
(3)如图3，此时发现 与 又存在新的数量关系，直接写出 与 的数量关系．18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： ，点H在线段 上，点E在线段 上，过
点E作线段 、 ，使 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ，过点F作 交线段 于点M，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下， 平分 交 于点T， 平分 交 的延长线于点R，点N
在线段TF上，连接 ，过点R作 交 的延长线于点K，若 ，
， 的面积为9，求 的长度．（提示：不能直接应用三角形内角和为 ）
