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专题 7.3 期末复习选择压轴题专题
1．（2022春·全国·七年级期末）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，
28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规
律，221+311的末位数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【思路点拨】
通过观察发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据21÷4=5…1，得出221的个位数字与
21的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．11÷4=2…3即可知311的个位数
字，从而得到221+311的末位数字．
【解题过程】
解：由题意可知，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，……，
即末位数字是每4个算式是一个周期，
末位分别为2，4，8，6，
∵21÷4=5…1，
∴21的末位数字与21的末位数字相同，为2；
由题意可知，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…
以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，
11÷4=2…3，
所以311的个位数字是7，
所以221+311的个位数字是9，
故选：D．
2．（2022春·全国·七年级期末）已知a，b，c的积为负数，和为正数，且
a b c ab ac bc
x= + + + + + ，则x的值为( )
|a| |b| |c| |ab| |ac| |bc|
A．0 B．0，2 C．0，−2，1 D．0，1，−2，6
【思路点拨】
先判断出a,b,c的符号，再化简绝对值运算即可得．
【解题过程】
解：∵a,b,c的积为负数∴a,b,c的符号为三负或两正一负
∵a,b,c的和为正数
∴a,b,c的符号为两正一负
因此，分以下三种情况：
（1）当a>0,b>0,c<0时
a b c ab ac bc
x= + + + + +
|a| |b| |c| |ab| |ac| |bc|
=1+1−1+1−1−1
=0
（2）当a>0,c>0,b<0时
a b c ab ac bc
x= + + + + +
|a| |b| |c| |ab| |ac| |bc|
=1−1+1−1+1−1
=0
（3）当b>0,c>0,a<0时
a b c ab ac bc
x= + + + + +
|a| |b| |c| |ab| |ac| |bc|
=−1+1+1−1−1+1
=0
综上，x的值为0
故选：A．
|a| |b| |c|
3．（2022春·全国·七年级期末）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， + + =−1，那么
a b c
|ab| |bc| |ac| |abc|
+ + + 的值为（ ）
ab bc ac abc
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
【思路点拨】
|b| |c|
根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到 + =−2，则b<0，c<0，再进行化简
b c
计算，即可得到答案．
【解题过程】
解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当x=5时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴a=8，
|a| |b| |c|
∵ + + =−1，
a b c
|8| |b| |c|
∴ + + =−1，
8 b c
|b| |c|
∴ + =−2，
b c
|b| |c|
∴ =−1， =−1，
b c
∴b<0，c<0，
∴bc>0
|ab| |bc| |ac| |abc|
∴ + + +
ab bc ac abc
|8b| |bc| |8c| |8bc|
= + + +
8b bc 8c 8bc
|b| |bc| |c| |bc|
= + + +
b bc c bc
|bc| |bc|
=−2+ +
bc bc
=−2+1+1
=0；
故选：C．
4．（2022春·全国·七年级期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．
点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不
超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（ ）
3 5 3 7 13 15
A． 秒或 秒 B． 秒或 秒或 秒或 秒
2 2 2 2 2 2
13 17 3 7 13 17
C．3秒或7秒或 秒或 秒 D． 秒或 秒或 秒或 秒
2 2 2 2 2 2
【思路点拨】
分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可．
【解题过程】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t−5|＝2，
∴2t−5＝−2，或2t−5＝2，
3 7
解得t＝ 或t＝ ；
2 2
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t，
∵PB＝2，
∴|20−2t−5|＝2，
∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2，
13 17
解得t＝ 或t＝ ．
2 2
3 7 13 17
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒．
2 2 2 2
故选：D．
5．（2022春·全国·七年级期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
|1| 1
①若 = ，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
a a
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
b+c a+c a+b
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则 + + 的值为±1．
|a| |b| |c|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
根据绝对值的性质，数轴上的两点之间的距离逐项分析即可．
【解题过程】
|1| 1
解：若 = ，则a>0，故①不正确；
a a
∵ |a|>|b|，当a>b>0时，
则a+b>0,a−b>0，
∴ (a+b)(a−b)>0，
∵ |a|>|b|，当a>0>b时，
则a+b>0,a−b>0，∴ (a+b)(a−b)>0
∵ |a|>|b|，当a0
∴ |a|>|b|，(a+b)(a−b)>0，故②正确；
A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，
−2+x
当B为AC的中点时，即 =6，则x=14
2
−2+6
当C为AB的中点时，即x= ，则x=2
2
6+x
当A为BC的中点时，即−2= ，则x=−10
2
故③不正确；
若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，；
即2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011
=2x+9−3x−1+x+2011
=2019
故④不正确；
∵ abc<0，a+b+c=0
∴ a,b,c有1个负数，2个正数，
设a>0,b>0,c<0，
∵ a+b+c=0，
∴ a=−(b+c),b=−(a+c),c=−(a+b)
b+c a+c a+b
+ +
|a| |b| |c|
−a −b −c a −b −c
= + + =− + + =−1−1+1=−1
|a| |b| |c| a b −c
故⑤不正确
综上所述，正确的有②，共1个．
故选A．
6．（2022春·全国·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，
且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，
N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的
长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即
可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【解题过程】
解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，
∴x=-4，
∴点B对应的数是-4，
故①正确；
由题意得：
12÷2=6（秒），
∴点P到达点B时，t=6，
故②正确；
分两种情况：
当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，
∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），
∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，
∵AB=12，BP=2，
∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），
∴BP=2时，t=7，
综上所述，BP=2时，t=5或7，
故③错误；
分两种情况：
当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
1 1
∴MP= AP，NP= BP，
2 2
∴MN=MP+NP
1 1
= AP+ BP
2 2
1
= AB
2
1
= ×12
2
=6，
当点P在点B的左侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
1 1
∴MP= AP，NP= BP，
2 2
∴MN=MP-NP
1 1
= AP- BP
2 2
1
= AB
2
1
= ×12
2
=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，
故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，
故选：C．
7．（2022春·全国·七年级期末）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C 正方形纸片①和四张周长分别
1为C ，C ，C ，C 的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是
2 3 4 5
（ ）
A．C B．C +C C．C +C +C D．C +C +C
1 3 5 1 3 5 1 2 4
【思路点拨】
将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为C和正方形纸片①的周长C 和四张长方形纸片
1
②，③，④，⑤的周长分别为C ，C ，C ，C 表示出来，其中大长方形ABCD的周长为C为定值，然后分
2 3 4 5
别计算C +C ，C +C +C ，C +C +C ，找出其中为定值的即可．
3 5 1 3 5 1 2 4
【解题过程】
解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为C=2a+2b+2c+2ℎ为定值，
∴C =2a+2b，C =2c+2d，C =2e+2f，C =2ℎ +2g，
2 3 4 5
∵①是正方形，
∴c−f =e−ℎ =g−b=a−d
∴a+b=g+d，
∴C +C =2c+2d+2ℎ +2g=2a+2b+2c+2ℎ =C，
3 5
C +C +C =4(a−d)+2c+2d+2ℎ +2g=4a−2d+2c+2ℎ +2g，
1 3 5
C +C +C =4(a−d)+2a+2b+2e+2f =6a−4d+2b+2e+2f，
1 2 4
∴C +C 为定值，
3 5
故选：B．
8．（2022春·全国·七年级期末）如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方
形．现将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所示．已知AB=10，BC=8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（
）
A．20 B．24 C．26 D．28
【思路点拨】
如图，由AB=10，BC=8，得AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，而长方形ABCD的内部放置了四个周长均
为12的小长方形，故AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD=6，可得MN+LK+IJ+OP=12，即
XW+UV+ST+QR=12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF=14，即可
求出EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26．
【解题过程】
解：如图：
∵AB=10，BC=8，
∴AB+BC+CD+DA=2（AB+BC）=36，
∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，
1
∴AN+AO=BM+BL=CK+CJ=DI+PD= ×12=6，
2
∴（AB+BC+CD+DA）-（AN+AO）-（BM+BL）-（CK+CJ）-（DI+PD）=36-6-6-6-6=12，即
MN+LK+IJ+OP=12，
∴XW+UV+ST+QR=12，
∵四个重叠部分的周长之和为28，
1
∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF= ×28=14，
2
∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）=14+12=26，∴EF+FG+HG+EH=26，即长方形EFGH的周长为26，
故选：C．
9．（2022春·全国·七年级期末）写出一个三位数，它的各个数位上的数字都不相等．用这个三位数各个数
位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的三位数．对于新得到的
三位数，重复上面的过程，又得到一个新的三位数．一直重复下去，最后得到的结果是( )
A．496 B．495 C．494 D．493
【思路点拨】
按照题中所讲的方法，用特殊值法任意写几个三位数，求出结果，分析找出规律．
【解题过程】
解：如：428，842-248=594；954-459=495…；
253，532-235=297，972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495…；
234，432-234=198，981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459=495…；
综上可知：循环下去都是固定数495．
故选：B．
10．（2022春·全国·七年级期末）由1、2、3、4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用），要求
满足a+c=b+d．这样的四位数共有（ ）
A．36个 B．40个 C．44个 D．48个
【思路点拨】
由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：①只用1个数字，②使用2个不同的
数字，③使用3个不同的数字，④使用4个不同的数字，然后分别分析求解，即可求得答案．
【解题过程】
解：根据使用的不同数字的个数分类考虑：
①只用1个数字，组成的四位数可以是：1111，2222，3333，4444，共有4个；
②使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能：1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4，
如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是：1122，1221，2112，2211，共有4个，
同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个，
因此，这样的四位数共有6×4=24个；
③使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是：1232，2123，2321，
3212，2343，3234，3432，
4323，共有8个；
④使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是：1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个．
∴满足要求的四位数共有：4+24+8+8=44个．
故选C．
11．（2022春·全国·七年级期末）对于任意一个正整数x可以按规则生成无穷数串：x ，x ，x ，…，x
i 1 2 3 n
，x ，…（其中n为正整数），规则为：x =¿．
n+1 n+1
下列说法：
①若x =4，则生成的这数串中必有x =x （i为正整数）；
1 i i+3
②若x =6，生成的前2022个数之和为55；
1
③若生成的数中有一个x =16，则它的前一个数x应为32；
i+1 i
④若x =7，则x 的值只能是9．其中正确的个数是（ ）个
4 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据规则分别求出x ,x ,x 的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出x ,x ,x ,x ,x ,x 的
2 3 4 2 3 4 5 6 7
值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分x为偶数和x为奇数两种情况，分别根据规则建立
i i
方程，解方程求出x的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出x ,x ,x 的值即可判断④．
i 3 2 1
【解题过程】
1 1
解：当x =4时，x = x = ×4=2，
1 2 2 1 2
1 1
x = x = ×2=1，
3 2 2 2
x =3x +1=3×1+1=4，
4 3
由此可知，x ,x ,x ,⋯的值是以4,2,1循环往复的，
1 2 3
所以若x =4，则生成的这数串中必有x =x （i为正整数），说法①正确；
1 i i+3
1 1
当x =6时，x = x = ×6=3，
1 2 2 1 2
x =3x +1=3×3+1=10，
3 2
1 1
x = x = ×10=5，
4 2 3 2
x =3x +1=3×5+1=16，
5 4
1 1
x = x = ×16=8，
6 2 5 2
1 1
x = x = ×8=4，
7 2 6 2则从x 开始，x ,x ,x ,⋯的值是以4,2,1循环往复的，
7 7 8 9
因为2022=6+3×672，
所以若x =6，生成的前2022个数之和为x +x +x +x +x +x +672(x +x +x )
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
=6+3+10+5+16+8+672×(4+2+1)
=4752，说法②错误；
1
若x为偶数，则 x =x =16，解得x =32，符合题设，
i 2 i i+1 i
若x为奇数，则3x +1=x =16，解得x =5，符合题设，
i i i+1 i
所以若生成的数中有一个x =16，则它的前一个数x应为32或5，说法③错误；
i+1 i
当x =7时，因为7为奇数，
4
1
所以 x =7，解得x =14为偶数，
2 3 3
1
所以 x =14或3x +1=14，
2 2 2
13
解得x =28或x = （舍去），
2 2 3
1
所以 x =28或3x +1=28，
2 1 1
解得x =56或x =9，均符合题意，
1 1
即若x =7，则x 的值是9或56，说法④错误；
4 1
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
12．（2022春·全国·七年级期末）甲乙两地相距180km，一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，
慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地．两车相继到达终点乙地，再此过程
中，两车恰好相距10km的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由题意，在此过程中这四种情形的可能：（1）快车未出发时，两车相距10km；（2）快车追赶慢车时，
两车相距10km；（3）快车已反超慢车但未达到乙地时，两车相距10km；（4）快车到达乙地，慢车行驶
了170km时，两车相距10km.再根据两车的速度分析时间上是否匹配即可.
【解题过程】
解：设快车行驶的时间为t小时
依题意有以下四种情形：10 1
（1）快车未出发时，即t=0时，慢车行驶了 = 小时，两车恰好相距10km
40 4
（2）快车已出发，开始追赶慢车时
30 1
则40× +40t=60t+10解得：t=
60 2
30 1 1
此时慢车行驶了40× +40× =40km，快车行驶了60× =30km，两车恰好相距10km
60 2 2
（3）快车已反超慢车但未达到乙地时
30 3
则40× +40t=60t−10解得：t=
60 2
30 3 3
此时慢车行驶了40× +40× =80km，快车行驶了60× =90km，两车恰好相距10km
60 2 2
（4）快车到达乙地，慢车行驶了170km时
则60t=180解得：t=3
30
此时快车行驶了60×3=180km，慢车行驶了40× +40×3=140km，两车相距40km；在这之后，慢
60
3 3
车继续行驶 小时，也就是再行驶 ×40=30km至170km处，这时候两车恰好相距10km
4 4
综上，以上四种情形均符合，即在此过程中，两车恰好相距10km的次数是4
故答案为：D.
13．（2022春·江苏·七年级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，
分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线
为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停
止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【解题过程】
解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
1 1
×2t×6= (6−t)×8，
2 2
解得：t=2.4；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），
DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，要使△BDP与△ACQ面积相等，则
1 1
×8(14−2t)= ×6(t−6)，
2 2
74
解得t＝ ；
11
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
1 1
×8(28−2t)= ×6(t−6)，
2 2
130
解得：t＝ ；
11
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
14．（2022春·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线
段MN=10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M 、N ；第二次操作：分别取线段AM 和AN
1 1 1 1
的中点M ，N ；第三次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M ，N ；……连续这样操作20次，则每
2 2 2 2 3 3次的两个中点所形成的所有线段之和M N +M N +⋯+M N =（ ）
1 1 2 2 20 20
5 5 5 5
A．10+ B．10+ C．10− D．10−
219 220 219 220
【思路点拨】
根据MN=10，M 、N 分别为AM、AN的中点，求出M N 的长度，再由M N 的长度求出M N 的
1 1 1 1 1 1 2 2
长度，找到M N 的规律即可求出M N +M N +⋯+M N 的值．
n n 1 1 2 2 20 20
【解题过程】
解：∵MN=10，M 、N 分别为AM、AN的中点，
1 1
1 1 1 1
∴M N =AM −AN = AM− AN= (AM−AN)= ×10=5，
1 1 1 1 2 2 2 2
∵M 、N 分别为AM 、AN 的中点，
2 2 1 1
1 1 1 1 5
∴M N =AM −AN = AM − AN = (AM −AN )= ×5= ，
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
10
根据规律得到M N = ，
n n 2n
10 10 10 (1 1 1 ) 5
∴M N +M N +⋯+M N = + +⋯+ =10 + +⋯+ =10− ，
1 1 2 2 20 20 2 22 215 2 22 220 219
故选：C．
15．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）已知线段AB，延长AB至C，使AB＝mBC，反向延长AB至
1
D，使AD＝ BD，若AB：CD＝6：13，则m的值为（ ）
3
6 4 3 5
A． B． C． D．
5 3 2 3
【思路点拨】
m (3 )
根据已知条件易求AD＝ BC，再利用线段的和差可得CD＝ m+1 BC，由AB：CD＝6：13可得关于
2 2
m的方程，解方程可求解m值．
【解题过程】
解：如图，1
∵AD＝ BD，
3
∴AB＝2AD，
1
即AD＝ AB
2
∵AB＝mBC，
m
∴AD＝ BC，
2
m 3
∴CD＝AD＋AB＋BC＝ BC＋mBC＋BC＝（ m＋1）BC，
2 2
∵AB：CD＝6：13，
3
∴mBC：（ m＋1）BC＝6：13，9m＋6＝13m
2
3
解得m＝ ，
2
故选：C．
1
16．（2022春·贵州铜仁·七年级统考期末）己知点M是线段AB上一点，若AM= AB，点N是直线AB
4
MN
上的一动点，且AN−BN=MN，则 的（ ）
AB
3 1 1 3
A． B． C．1或 D． 或2
4 2 2 4
【思路点拨】
根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【解题过程】
解：当N在射线BA上时，AN0)秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，t=2；④在点P的运动过程中，线段MN的长
度不变．A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【思路点拨】
①根据两点间距离进行计算即可；
②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即
可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【解题过程】
解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为4，且AB=6 ，
∴4−x=6 ，
∴x=−2 ，
∴点B对应的数是-2，故①错误；
由题意得：
6÷2=3（秒），
∴点P到达点B时，t=3，故②正确；
分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵AB=6，BP=2，
∴AP=AB−BP=6−2=4，
∴4÷2=2（秒），
∴BP=2时，t=2，
当点P在点B的左侧，
∵AB=6，BP=2，
∴AP=AB+BP=6+2=8，
∴8÷2=4（秒），
∴BP=2时，t=4，
综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误；
分两种情况：
当点P在点B的右侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，
1 1
∴MP= AP，NP= BP，
2 2
1 1 1 1
∴MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB=3，
2 2 2 2
当点P在点B的左侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
1 1
MP= AP，NP= BP，
2 2
1 1 1 1
∴MN=MP−NP= AP− BP= (AP−BP)= AB=3，
2 2 2 2
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确．
所以，上列结论中正确的是②④．
故选：D．
23．（2022春·全国·七年级期末）如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=∠BOD，
∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠COF，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，则
∠COF的大小为（ ）
A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°
【思路点拨】
1
设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或 x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
2
【解题过程】
解：设∠DOE=x°，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，
1 1
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD= x°，∠AOC=∠BOD= x°，
2 2∵OA平分∠COF，
1
∴∠AOC=∠AOF= x°，
2
∵∠EOF=∠COG=90°,∠COD=180°，
1 1
∴ x+ x+90+ x=180，
2 2
解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，∠AOC=∠BOD=2x°，
同理， ∠AOC=∠AOF=2x°，
2x+2x+90+ x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
24．（2022春·天津和平·七年级校考期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，OC 是∠AOC的
1
平分线，OC 是∠AOC 的平分线，OC 是∠AOC 的平分线， 则2021∠AOC 与
2 1 n n−1 2021
2022∠AOC 大小关系是（ ）
2022
A．= B．＜ C．＞ D．无法确定
【思路点拨】
1 1 1 1
根据角平分线的性质可得∠AOC= ∠AOB= x∘ ，∠AOC = ∠AOC，∠AOC = ∠AOC ，进
2 2 1 2 2 2 1
1 1
而可得∠AOC = ∠AOC ，即有∠AOC = ∠AOC ，据此即可作答．
n−1 2 n−2 n 2 n−1
【解题过程】
解：∵OC平分∠AOB，∠AOB=x∘，
1 1
∴∠AOC= ∠AOB= x∘ ，
2 2
∵OC 平分∠AOC，
1∴∠AOC =
1
∠AOC=
1
×
1
x∘=
(1) 2
x∘，
1 2 2 2 2
∵OC 平分∠AOC ，
2 1
∴∠AOC =
1
∠AOC =
1
×
1
×
1
x∘=
(1) 3
x∘，
2 2 1 2 2 2 2
1
依次类推可知：∠AOC = ∠AOC ，
n−1 2 n−2
1
∴可知∠AOC = ∠AOC ，
n 2 n−1
1
∴∠AOC = ∠AOC ，
2022 2 2021
1
∴2022∠AOC = ∠AOC ×2022=1011∠AOC ，
2022 2 2021 2021
∵根据题意可知∠AOC ＞0，
2021
∴2022∠AOC =1011∠AOC ＜2021∠AOC ，
2022 2021 2021
即有：2021∠AOC ＞2022∠AOC ，
2021 2022
故选：C．
25．（2022春·天津南开·七年级统考期末）如图．∠AOB=a，OA 、OB 分别是∠AOM和∠MOB的平
1 1
分线，OA 、OB 分别是∠A OM和∠MOB 的平分线，OA 、OB 分别是∠A OM和∠MOB 的平
2 2 1 1 3 3 2 2
分线，…，OA 、分别是∠A OM和∠MOB 的平分线，则∠A OB 的度数是（ ）
n n−1 n−1 n n
a a a a
A． B． C． D．
n 2n−1 2n n2
【思路点拨】
1 a a
由角平分线性质推理得∠A OB = a，∠A OB = ，∠A OB = ，据此规律可解答．
1 1 2 2 2 22 3 3 23
【解题过程】
解：∵∠AOB=a，OA 、OB 分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
1 1
1 1
∴∠A OM= ∠AOM,∠B OM= ∠BOM
1 2 1 21 1 1
∴∠A OB = (∠AOM+∠BOM)= ∠AOB= a
1 1 2 2 2
∵OA 、OB 分别是∠A OM和∠MOB 的平分线，
2 2 1 1
1 1
∴∠A OM= ∠A OM,∠B OM= ∠B OM
2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1 a
∴∠A OB = (∠A OM+∠B OM)= ∠A OB = × ∠AOB= a=
2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 4 22
∵OA 、OB 分别是∠A OM和∠MOB 的平分线，
3 3 2 2
1 1
∴∠A OM= ∠A OM,∠B OM= ∠B OM
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 a
∴∠A OB = (∠A OM+∠B OM)= ∠A OB = × ∠A OB = × × ∠AOB= a=
3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 8 23
…，由此规律得
a
∠A OB =
n n 2n
故选：C．
26．（2022春·广西柳州·七年级统考期末）已知∠AOB=60°，∠AOC=40°，OE平分∠AOB，OF平
分∠AOC，则∠EOF=（ ）
A．50° B．50°或者10° C．50°或者20° D．100°或者20°
【思路点拨】
根据题意画出图形，分OC在∠AOB外部或内部两种情况分别计算即可．
【解题过程】
解：如图，当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝100°，∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
1
∴∠AOE＝ ∠AOB＝30°，
2
1
∠AOF＝ ∠AOC＝20°，
2
∴∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°；
如图，当OC在∠AOB内部时，
∵OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
1
∴∠AOE＝ ∠AOB＝30°，
2
1
∠AOF＝ ∠AOC＝20°，
2
∴∠EOF＝∠AOE−∠AOF＝30°−20°＝10°；
综上所述，∠EOF＝50°或10°，
故选：B．
27．（2022春·江苏·七年级期末）在锐角∠AOB内部由O点引出3种射线，第1种是将∠AOB分成10等
份；第2种是将∠AOB分成12等份；第3种是将∠AOB分成15等份，所有这些射线连同OA､OB可组成
的角的个数是（ ）
A．595 B．406 C．35 D．666
【思路点拨】
α α
设锐角∠AOB=α，第1种中间由9条射线，每个小角为 ，第2种中间由11条射线，每个小角为 ，
10 12
α
第3种中间由14条射线，每个小角为 ，利用∠AOB内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射
15
mα nα pα m n p
线，第一种第m被倍小角为 ，第二种n倍小角 ，与第三种p倍小角 相同，则 = = ，先
10 12 15 10 12 15
看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在∠AOB中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多
28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【解题过程】
解：设锐角∠AOB=α
α
第1种是将∠AOB分成10等份；中间由9条射线，每个小角为 ，
10
α
第2种是将∠AOB分成12等份；中间由11条射线，每个小角为 ，
12
α
第3种是将∠AOB分成15等份，中间由14条射线，每个小角为 ，
15
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
mα nα pα
第一种第m倍小角为 ，第二种n倍小角 ，与第三种p倍小角 相同
10 12 15
m n p
则 = = ，
10 12 15
先看三种分法中同时重合情况m:n:p=10:12:15除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, m:n=5:6，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，m:p=2:3，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, n:p=4:5,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在∠AOB中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
1
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28= ×28×(28+1)=406个角．
2
故选择：B．
28．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，
一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每
秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的
值为（ ）A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【思路点拨】
分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定
义及角的和差关系即可得答案．
【解题过程】
解：∵∠BOC=100°，
∴∠AOC=80°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
1
∴∠BON= ∠AOC=40°，
2
此时，三角板旋转的角度为90°−40°=50°，
∴t=50°÷10°=5；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，
1
∴∠CON= ∠AOC=40°，
2
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴t=230°÷10°=23；
∴t的值为：5或23．
故选：C．
29．（2022春·黑龙江佳木斯·七年级抚远市第三中学统考期末）如图，O是直线AC上的一点，OB是一条1
射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE=60°，∠BOE= ∠EOC．下列四个结论：①
3
∠BOD=30°；②射线OE平分∠AOC；③图中与∠BOE互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其
中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【思路点拨】
由角平分线的定义可求解∠AOD=∠BOD=60°−∠BOE，易求∠EOC=3∠BOE，结合平角的定义
可求解∠BOD的度数，判定①；结合∠DOE=60°可求解∠AOE的度数，进而可判定②；结合余角的定
义可判定③；利用补角的定义可判定④
【解题过程】
解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD=60°−∠BOE，
1
∵∠BOE= ∠EOC，
3
∴∠EOC=3∠BOE，
∵AC是一条直线，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOE+∠EOC=180°，
∴60°−∠BOE+60°−∠BOE+∠BOE+3∠BOE=180°，
∴∠BOE=30°，
∴∠BOD=30°，故①正确；
∵∠BOD=∠AOD=30°，
∴∠AOE=∠AOD+∠BOD+∠BOE=30°+30°+30°=90°，
∴∠EOC=180°−∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠EOC，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE=30°，∠AOB=60°，∠DOE=60°，
∴∠AOB+∠BOE=90°，∠BOE+∠DOE=90°，∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE=∠EOC=90°，
∴∠AOE+∠EOC=180°，
∵∠EOC=90°，∠DOB=30°，∠BOE=30°，∠AOD=30°，
∴∠COD+∠AOD=180°，∠COD+∠BOD=180°，∠COD+∠BOE=180°，
∠COB+∠AOB=180°，∠COB+∠DOE=180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确，
正确的有①②③④，
故选：D．
30．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期末）在同一平面内，点O在直线AD上，∠AOC与∠AOB互
补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=α(0°<α<90°)，则∠AOC=
（ ）
α
A．90°−α B．90°+α C．45°± D．90°±α
2
【思路点拨】
由题意，得到∠AOC+∠AOB=180°，然后进行分类讨论：①当点B、O、C三点共线时；②当点B、
O、C三点不共线时，∠AOC<∠AOB；③当点B、O、C三点不共线时，∠AOC>∠AOB；结合角平
分线的定义，即可求出答案．
【解题过程】
解：∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC+∠AOB=180°，
∵OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
1 1
则∠MON= ×(∠AOC+∠AOB)= ×180°=90°；
2 2
∵∠MON=α(0°<α<90°)，∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时，∠AOC<∠AOB，如下图：
1 1
则∠MON=∠AON−∠AOM= ∠AOB− ∠AOC=α，
2 2
∵∠AOC+∠AOB=180°，
∴∠AOC=90°−α；
③当点B、O、C三点不共线时，∠AOC>∠AOB，如下如：
1 1
则∠MON=∠AOM−∠AON= ∠AOC− ∠AOB=α，
2 2
∵∠AOC+∠AOB=180°，
∴∠AOC=90°+α；
∴∠AOC=90°±α；
故选：D．
