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第七章 证明（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．命题“对顶角相等”的条件是（ ）
A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角
【答案】D
【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这
两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”．
【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，
∴条件为“两个角是对顶角”，
故选：D．
2．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D．两点之间线段最短
【答案】C
【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据定义的属性进行判断
即可．
【详解】解：A．直角都相等是直角的性质，不是定义，故A不符合题意；
B．作已知角的平分线是作图语言，不是定义，故B不符合题意；
C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度是定义，故C符合题意；
D．两点之间线段最短是公理，不是定义，故D不符合题意．
故选C．
3．下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接 D．三角形的内角和为
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句．根据命题的定义即可作出判断即可．
【详解】解：∵命题需为陈述句且可判断真假，
A项“画 ”为指令，非陈述句；B项“小于直角的角是锐角吗？”为疑问句，非陈述句；
C项“连接 ”为指令，非陈述句；
D项“三角形的内角和为 ”为陈述句，且在初中几何中为真命题．
∴只有D是命题．
故选：D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高所在的直线交于一点 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D．有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高线，垂直的定义和性质，平行的性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的
关键，利用三角形的高线，垂直的定义和性质，平行的性质逐项判断即可．
【详解】解：A中，三角形三条高所在的直线交于一点，即三角形的垂心，正确，故选项符合题意；
B中，应为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项错误，故选项不符合题意；
C中，应为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项错误，故选项不符合题意；
D中，应为：有无数条直线与已知直线平行，选项错误，故选项不符合题意；
故选：A．
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等
C．实数与数轴上的点一一对应 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质、实数与数轴的关系、及等式的性质，关键是熟练掌握
知识点并进行判断；根据知识点进行判断即可．
【详解】解：∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），
∴A命题是假命题；
∵ 两直线平行时同旁内角互补，
∴ B命题是假命题；
∵ 实数与数轴上的点一一对应，
∴ C命题是真命题；
∵ 时， 或 ，
∴ D命题是假命题；
故答案选：C．6．下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若 ，则 ”是假命题的反例是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若 ，则 ”为假，需找到反例，即 成
立但 不成立，逐一验证各选项即可解答．
【详解】解：选项A： ， ， 成立， ，结论成立，不符合反例；
选项B： ， ， 成立， ，结论成立，不符合反例；
选项C： ， ， 成立，结论 不成立，符合反例；
选项D： ， ， 不成立，不符合反例条件．
故选：C．
7．如图， ， 于点E， 交 于点F， 交 于点M，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据 ，
得 ， ，再根据角的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
8．下列各图形中， ，能确定 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位
角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【详解】解：A、由 能判定 ，不能判定 ，故A不符合题意；
B、由 ，结合内错角相等，两直线平行判定 ，故B符合题意；
C、由 ，不能判定 ，故C不符合题意；
D、由 不能判定 ，故D不符合题意；
故选：B．
9．如图 ，已知 是一块平面镜，光线 在平面镜 上经点 反射后，形成反射光线 ，我们称
为入射光线， 为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的
夹角，即 ．如图 ， 和 是两块平面镜，入射光线 经过两次反射后，得到反射光线 ．
则下列判断错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平
行线的性质和判定逐项判断即可．
【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴ ，正确，故此选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，正确，故此选项不符合题意；
C、 ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，不能得出 ，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．将一块含有 、 、 的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①
，② ，③ ，④ ，⑤ ， ，能判断
的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的
判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到 ，从而可以解答本题．
【详解】解： ， ，
不一定等于 ，
和n不一定平行，故①不符合题意；
， ，
不一定等于 ，
和n不一定平行，故②不符合题意；
过点C作 ，
，
， ，
，
，
，故③符合题意；
，
，
，故④符合题意；
， ， ，
，
，故⑤符合题意；
故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，直线 ， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是 （填“真命题”或“假命题”），并将其改写成
“如果 那么 ”的形式 ．
【答案】 真命题 “如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”
【分析】本题考查了命题，根据平行公理的推论可判断命题的真假，找出命题的题设和结论，再改写成
“如果 那么 ”的形式即可，掌握课本基本知识是解题的关键．
【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题，
写成“如果 那么 ”的形式是“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”，
故答案为：真命题；“如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行”．
13．如图， 平分 ， 平分 ，当 和 满足 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，由 平分 ， 平分 ，得 ，
，根据平行线性质可得 ，则 ，从而求解，掌握知识点
的应用是解题的关键
【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．如图，已知 ，若 ， ，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根
据 求出 的度数，再由 求出 的度数，进而可得出结论．
【详解】∵ ，
故答案为：40．
15．如图，在 和 中，点 在同一直线上，点 为边 的中点， ，
， ，若 ，则 的长为
【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根
据 ，得出 ，证明 ，得出 ．【详解】解：∵点 为边 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
16．如图， ， ，点 、 在 上， 平分 ，且 平分 ，下列
结论中正确的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤若 ，则
．
【答案】①②⑤
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；②由 ，得到
，得出 ．③ 平分 ，得出
，从而计算出 ．④由
，得出 ．⑤由
，得到 ，再得到
，从而计算出 ．
【详解】解：∵ ，
，
平分 ，
，
，故①正确，符合题意；，
，
，
，故②正确，符合题意；
平分 ，
，
，
，
故③错误，不符合题意；
，
，故④错误，不符合题意；
，
，
，
，
，故⑤正确，符合题意．
故答案为：①②⑤．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；
如果是假命题，举出反例．
(1)若 ，则 ；
(2)对于任意实数 ，一定有 ；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
【答案】(1)假命题，见解析；
(2)假命题，见解析；
(3)真命题，证明见解析；(4)假命题，见解析．
【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成
立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出
发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条
件，不具备命题的结论的例子）即可
根据真命题和假命题的定义判断并说明即可．
【详解】（1）解：是假命题，反例：
当 时，
， ，
∴结论不成立；
（2）解：是假命题，反例：
当 时，
，
∴结论不成立；
（3）解：是真命题，证明：
设两个连续的正奇数为 ， （ 为正整数），
则
∵ 为正整数，
∴ 是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）解：是假命题，反例：
当四边形为等腰梯形时结论不成立．
18．如图，在 中，点D在 上， 交 于点E，点F在 上， ．
(1)说明 与 平行的理由．理由如下：
∵ （ ），
∴ （ ）．
∵ ，
∴ （ ）．
∴ （ ）．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)已知；两直线平行，内错角相等； ；内错角相等，两直线平行
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据等量代换可得 ，然后根据平行线的
判定即可得证；
（2）先根据平行线的性质可得 ， ，从而可得 ，再根据平角
的定义即可得．
【详解】（1）解：理由如下：
∵ （已知），
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∵ ，
∴ ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
．
19．如图，已知 ，且点D在边 上．(1)求证∶ ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定：
（1）根据全等三角形的性质可得 ，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为10．
20．已知 .
(1)计算：当 时， ___________， ___________；
当 时， ___________， ___________；
当 时， __________， __________．
(2)猜想：无论 为任何非负实数， __________ 始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）．
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
【答案】(1) ； ； ，
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键．
（1）把的值分别代入计算即可求解；（2）根据（1）所得结果即可判断求解；
（3）分别求出 ，再利用作差法比较出 的大小，进而即可求证．
【详解】（1）解：当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时，
故答案为： ； ； ， ；
（2）猜想：无论 为任何非负实数， 始终成立，
故答案为： ．
（3）因为 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
21．如图， 平分 ，点 在 上， 交 的延长线于点 ，若 恰好平分 ．
求证：
(1) ；(2)点D为 的中点．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ，进热即可得到结论；
（2）先 ，再证 ，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．
【详解】（1）证明： 平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
（2） ，
，
在 和 中，
，
，
；
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
即：点D为 的中点．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行的性质，角平分线的定义，证明 ，
是解题的关键．
22．如图，在 中，点 、 分别在 、 上，且 ，点O在 上，连接 ．
(1)给出下列选项：① 平分 ；② 平分 ；③ ．请你选用其中的两个选项作
为补充条件，余下的选项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；你补充的条件是_____，结论是_____．
（填序号）
(2)在（1）的条件下，若 的周长为6， ，求 的周长．
【答案】(1)①②，③．
(2)
【分析】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积的应用，能求出
是解此题的关键．
（1）先选择条件与结论，再根据角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质证明即可；
（2）先求出 的周长，再求出 的周长即可．
【详解】（1）方法一：条件是：①②，结论是：③．
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ；
故答案为：①②，③．
方法二：条件是：①③，结论是：②；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ；∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
故答案为：①③，② ；
方法三：条件是：②③，结论是：①．
证明：∵ ，
∴
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
故答案为：②③， ①（答案不唯一）.
（2）∵ 的周长
；
∴ 的周长 ．23．点D在 内，点E为边 上一点，连接 ．
(1)如图1，连接 ，若 ，求证： ；
(2)在（1）的结论下，若过点A的直线 ，如图2，点E在线段 上，猜想并验证 与
的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) 见解析
【分析】（1）证明 ，即可证明 ；
（2）过点B作 ， ，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
（2）解： ．
理由如下：
过点B作 ， ，二线交于点G，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．24．在学习第4章时，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究——平面图形变
换的简单应用．如图1，长方形纸条 中， ， ．第一步，将长方形纸条折叠，使折
痕经过点A，得到折痕 ，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕 折到 处，点B落在 处；第
三步，如图3，将 对折，使点M落在 处，点N落在 处， 与 共线，得到折痕 ．
(1)如图2，①若 ，则 ；②若 ，则 （用含 的式子表示）．
(2)如图2， 和 有怎样的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，折痕 和 有怎样的位置关系，请说明理由．
【答案】(1)① ；②
(2) ，理由见解析
(3) ．理由见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握图形中线之间的位置关系，角之间的关
系是解答本题的关键．
（1）①由折叠可得 ， ，根据平行线的性质得 ，利
用平角的定义即可解答 ；②由折叠可得 ， ，根据平行线的性质得
，利用平角的定义即可解答 ；
（2）利用折叠的性质和平行线的性质，可得 ， 从而判定 和 的位置
关系；
（3）利用折叠的性质和平行线的性质，可得 ，从而判定 和 的位置关系．
【详解】（1）解：①∵ 是由 折叠得到的，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
②∵ 是由 折叠得到的，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ．
理由：因为 是由 折叠得到的，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（3）解： ．理由：由（1）知 ，
由折叠，知 ， ，
所以 ，
所以 ．
25．如图，直线 ， 被直线 所截，且 ，点E在线段 上，P，Q分别在直线 ，
上，连接 ， ．
(1)如图1，求证： ．
(2)如图2， ， ．若 ，请利用（1）中的结论，求 的度数．
(3)如图3，若 ， ，请写出 和 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点E作 ，得到 ，利用平行线的性质得到 ， ，得出结
论；
（2）根据（1）的结论得到 ，利用平行线的性质得到 ，结合角平分线定
义以及利用（1）的结论得出结果；
（3）设 ， ，得到 ，利用（1）的结
论得出结果．
【详解】（1）解：过点E作 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）的结论得 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
由（1）的结论得 ；
（3）解： ．理由如下：
如图，设 ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由（1）的结论得 ， ，
∴ ，
即 ．
