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第三章 位置与坐标（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列坐标在第四象限的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四
象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得
出答案．
【详解】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
只有选项D符合条件，
故选：D．
2．能够表示某岛大致位置的是（ ）
A．北纬 B．东经 C．海南的东南方向 D．北纬 ，东经
【答案】D
【分析】本题考查了有序数对确定位置，根据坐标定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、北纬 ，不能确定某岛大致位置，故A选项不符合题意；
B、东经 ，不能确定某岛大致位置，故B选项不符合题意；
C、海南的东南方向，不能确定某岛大致位置，故C选项不符合题意；
D、北纬 ，东经 ，能确定某岛大致位置，故D选项符合题意．
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形，确定点的坐标．由点A所在的象限确定点A的横坐标与纵坐标的符号，
再由点A到 轴的距离是3，到 轴的距离是5，即可确定点A的两个坐标，从而可得答案．
【详解】解：∵点A在第二象限，∴ ；
∵点A到 轴的距离是3，到 轴的距离是5，
∴ ，
∴点A的坐标为 ；
故选：A．
4．已知点 与点 关于y轴对称，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出 的
值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵点 与点 关于y轴对称，
∴ ，
∴ ；
故选C．
5．如图，这是一所学校的平面示意图，图中小正方形的边长代表 m，已知图书馆的坐标是 ．若
报告厅、实验楼的位置恰好在格点上，则下列说法正确的是（ ）
A．报告厅的坐标为
B．实验楼与图书馆之间的实际距离是 m
C．实验楼的坐标为
D．图书馆位于报告厅东北方向 m处【答案】B
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的应用．关键根据已知点坐标确定其他点的坐标，理解坐标中横、
纵坐标所代表的位置含义(左右、上下方 向的格点变化，根据口诀：左减右加纵不变，上加下减横不变)；
根据已知图书馆的坐标建立坐标系，进而确定其他地点的坐标、距离和方向关系．
【详解】解：A、图书馆坐标是 ，在平面直角坐标系中，从图书馆向左移动3个单位(因为横坐标从
变为 )，向下移动 个单位(纵坐标从 变为 )，所以符合报告厅坐标为 ；故A选项不符合题意；
B、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4个单位，因为每个单位代表 m，所以
它们之间的距离为 m，所以“实验楼与图书馆之间的实际距离是 m”；故B选项符合题意；
C、由图可得实验楼坐标与图书馆坐标纵坐标相同，横坐标相差4个单位，图书馆坐标是 ，在平面直
角坐标系中，从图书馆向左移动4个单位(因为横坐标从 变为 )，所以实验楼的坐标为 ；故C选
项不符合题意；
D、报告厅坐标为 ，图书馆坐标是 ；根据两点间距离公式，图书馆与报告厅的距离
，故图书馆与报告厅的距离 ；故D选项不符合题意；
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴上运动，当以点 、 ， 为顶点的三角形为等
腰三角形时，点 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分
三种情况讨论： 分别求出符合条件的点P的坐标，并验证是否构成三角形
即可．
【详解】解：①当 时：
的长度为 ．
设 ，则 的长度为 ．由 ，解得 或 ．
当 时，P与O重合，无法构成三角形，舍去；当 时，P 有效．
② ：
的长度为 ，由 ，解得 或 ．
对应的点 和 均不共线，有效．
③ ：
由 ，平方后解得 ．
点 与O、A不共线，有效．
综上，符合条件的点P共有4个： 、 、 、 ．
故选D．
7．如图，在平面直角坐标系中， ，其中 ， ， 满足
，若在第一象限内有一点 ，使得 ，则 的值为
（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，四边形的面积，非负数的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握这些知
识点是解题的关键．先根据绝对值、平方数的非负性求出a、b、c的值，进而得到A、B、C三点的坐标，
然后分别计算 和四边形 的面积，最后根据面积关系求出m的值．
【详解】解： 满足 ， ， ， ，， ， ，
，即点 的坐标分别为 ，
，
，
，
解得 ．
故选：A．
8．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点 ，点A第一次向上平移1个单位至点
，接着又向右平移1个单位至点 ，然后再向上平移1个单位至点 ，向右平移1个单
位至点 ，…，照此规律平移下去，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键．
分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时， ，当n为偶数时，
，即得．
【详解】 ， ，， ，
， ，
， ，
， ，
…，
观察发现，
当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
∴点 的坐标是 ．
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，若点 到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点 到两坐标轴距离之差的绝对值，
则称 ， 两点互为“等差点”，例如 和 到两坐标轴距离之差的绝对值都等于 ，它们互
为“等差点”．若点 和点 互为“等差点”，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先算出点 到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点 到两坐标轴距离之
差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解 的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝
对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键．
【详解】解：点 到两坐标轴的距离之差的绝对值为 ，点 到两坐标轴的距离之差的绝对值为
，
∴ ，，
∴ 或 ，
解得 或
故选：
10．在平面直角坐标系 中，对于不同的两点 ，若点 到 轴， 轴的距离的较大值等于点 到
轴， 轴的距离的较大值，则称点 互为“方格点”．例如：点 互为“方格点”；点
互为“方格点”．若点 与点 互为”方格点”，则 的值的个数有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程，分情况讨论，进而求得符合条件的 的值，掌握分类讨论
的数学思想是解题的关键．
【详解】解：若若点 与点 互为”方格点”，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， （舍去），
当 时， ，
∴ ；
， ，
∴ ，
∴ ，∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， （舍去），
∴ ，
综上， 或 ，共 个，
故选： ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若点 在y轴上，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是坐标轴上点的坐标，一元一次方程，熟知y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
根据y轴上点的坐标特点解答即可．
【详解】解： 点 在y轴上，
，
解得
故答案为：
12．如果将电影票“ 排 号”简记为 ，那么“ 排 号”可简记为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对左边的数表示排，右边的数表示号，
据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵电影票“ 排 号”简记为 ，
∴“ 排 号”可简记为 ，
故答案为： ．
13．如图所示， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标、勾股定理，熟练掌握点的坐标与勾股定理是解题关键．设点 的坐标是 ，
利用勾股定理可得 ，则可得 ，由此即可得．
【详解】解：设点 的坐标是 ，
∵ ， ，
∴ ，
由作图可知， ，
∵ ，点 在 轴负半轴上，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
14．将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对 表示第n行，从左到右第m个数，如
表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．
如图所示的规律为：第 行的最后一个数为 ，依此规律可以确定答案．
【详解】解：第一行的最后一个数是1，
第二行最后一个数是 ，
第三行最后一个数是 ，
第四行最后一个数是 ，
第五行最后一个数是 ．
第 行最后一个数是 ．
，
第63行的最后一个数是2016．
2025在第64行从左到右第9个数的位置．
正整数2025可以用 有序数对来表示．
故答案为： ．
15．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 的伴随点，已知点 的
伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，这样依次得到点 ， ．
若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键．根据伴随点的定义求出点 ， ， ， 的坐标，发现规律即可得出答案．
【详解】解：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，即 ， 点的坐标为 ，即
， 点的坐标为 ，即 ， 点的坐标为 ，即 ，由此可知，每4个
点为一个循环，
∵ ，
∴ 的坐标与点 的坐标相同，即为 ．
答案为： ．
16．已知点A在平面直角坐标系横轴上，且在原点的左边，并距离原点3个单位长度，同一平面直角坐标
系的另一点B在纵轴上，与A点直线距离为5个单位长度，则B点的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】此题考查了坐标系中两点间的距离公式．根据题意得到 ，设 ，根据点B与A点直
线距离为5个单位长度得到 ，求出 或 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点A在平面直角坐标系横轴上，且在原点的左边，并距离原点3个单位长度，
∴ ，
∵同一平面直角坐标系的另一点B在纵轴上，
∴可设 ，
∵点B与A点直线距离为5个单位长度，
∴ ，
解得 或 ，
∴B点的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，在方格纸中建立平面直角坐标系．
(1)写出图中点 ， ， 的坐标；
(2)在图中描出下列各点： ．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】本题主要考查直角坐标系中描点和写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标的概念，在坐标系
中描点，根据坐标系中的点的位置，直接写出坐标即可．
（1）根据点的坐标的概念，即可解答．
（2）通过点的横坐标在横轴上对应的点作轴的垂线，然后通过点的纵坐标，在纵轴上对应的点作轴的垂
线，两个垂线的交点，就是这个坐标表示的这个点．
【详解】（1）解：由图可知， ， ， ．
（2）解：如图，点 ， 即为所求．
18．如图是某植物园的平面示意图（图中每个小正方形边长均为 ），小兰和小佳分别描述了海棠园．
小兰：“它的坐标是 ”小佳：“它在牡丹亭的西南方向约 处．”(1)请以正东、正北方向为x轴、y轴正方向在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出丁香园和忍冬园的
坐标；
(2)用方向和距离描述牡丹亭相对于海棠园的位置．
【答案】(1)见解析，丁香园的坐标 、忍冬园的坐标
(2)牡丹亭相对于海棠园的位置是牡丹亭在海棠园的东北方向，距离约为
【分析】（1）根据海棠园坐标构造平面直角坐标系即可得到结论；
（2）根据“海棠园在牡丹亭的西南方向约 处”即可求解．
本题主要考查坐标确定位置，平面直角坐标系，方向角，掌握平面直角坐标系的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据海棠园坐标建立的平面直角坐标如图所示：
由图可知：丁香园的坐标 、忍冬园的坐标 ；
（2）由图可知：牡丹亭相对于海棠园的位置是牡丹亭在海棠园的东北方向，距离约为
19．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)在图中作出 关于x轴的对称图形 ；
(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点 、 、 的坐标： ； ； ；
(3)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ； ；
(3)4
【分析】本题考查作图 轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：∵点 、 ， 关于y轴的对称点 、 、 ，
∴ ， ， ．故答案为： ； ； ．
（3）解： 的面积为 ．
20．在平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)当点 在 轴上时，点 的坐标为______；
(2)当直线 平行于 轴，且 ，求出点 的坐标；
(3)若点 到 轴、 轴的距离相等，求出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知 轴上、平行于 轴的直线上及到坐标轴距离相等的点的
坐标特征是解题的关键．
（1）根据 轴上点的坐标特征进行计算即可．
（2）根据平行于 轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
（3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行计算即可．
【详解】（1）解：因为点 在 轴上，
所以 ，
解得 ，
则 ，
所以点 坐标为 ．
故答案为： ；
（2）∵直线 平行于 轴，且 ，
∴ ，
解得 ，
则 ，∴点 的坐标为 ；
（3）∵点 到 轴、 轴的距离相等，
则 或 ，
解得 或 ．
当 时，
， ，
则点 坐标为 ．
当 时，
， ，
则点 坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当
点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．
(1)点 的“短距”为 ；
(2)点 的“短距”为3，求m的值；
(3)若 ， 两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)2
(2) 或2
(3) 或2
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离，
（1）根据定义解答即可；
（2）根据定义可知 ，求出解；
（3）根据定义分两种情况讨论可得答案．【详解】（1）解：∵ ，
∴短距是2．
故答案为：2；
（2）解：由题意可知 ，解得 或2；
（3）解：当① ，解得 或 ，
时， ，符合题意；
时， ，符合题意；
② ，解得 或 ．
当 时，点 的“短距”为1，点 的“短距”为3，二者不相等，故舍去；
当 时，点 的“短距”为1，点 的“短距”为3，二者不相等，故舍去．
综上， 或2．
22．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形 变换成三角形 ，第二次将三角形 变
换成三角形 ，第三次将三角形 变换成三角形 ，依此变换下去．已知
．
(1)求出三角形 各个顶点的坐标．
(2)按此图形的变化规律，请你求出三角形 的面积与三角形 的面积的大小关系．
【答案】(1)点O的坐标是 ，点 的坐标是 ，点 的坐标是(2)
【分析】本题考查了点坐标规律探索，解题的关键是找出点的规律；
（1）先得到A的横坐标是 ，而纵坐标都是3，点 的横坐标是 ，纵坐标是0即可作答；
（2）根据三角形的面积公式计算解答即可．
【详解】（1）解：由图可知，点O的坐标是 ．
已知 ，从点 ， ，…， 的坐标中找规律，发现点 的横坐标是 ，
而纵坐标都是3．
同理，点 也一样找规律，发现点 的横坐标是 ，纵坐标是0．
由上述规律可知，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
（2）解：根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高都是3．
由（1），得 ，所以 ．
又因为 ，
所以 ．
23．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，给出如下定义：对于实数 ，我们称点
为 两点的“k”系和点．例如，已知点 ， ，则点 的“ ”系和
点的坐标为 ．已知点 ， ．
(1)直接写出点 的“2”系和点的坐标：_______；
(2)若点A为点 的“ ”系和点，求点C的坐标；
(3)若点D为点 的“k”系和点，三角形 的面积为6，求符合条件的k的值．
【答案】(1)(2)
(3) 或
【分析】（1）利用两点的“ ”系和点的定义，代入公式求解即可；
（2）利用两点的“ ”系和点的定义，代入公式求解即可；
（3）利用三角形的面积公式求得点 到 的距离为2，推得点 的纵坐标，代入公式求解，即可．
【详解】（1）解：由题意可知：点 ， ；
根据“ ”系和点的定义得： ， ，
故答案为： ；
（2）解：设 ，
则 ， ；
∴ ， ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵三角形 的面积为6，
∴点 到 的距离为2，
∵点 为 ， 的“ ”系和点，
或 ，
或 ．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，三角形的面积公式，理解掌握两点的“ ”系和点的定义是解
题的关键．24．在等腰直角三角形 中， ， ，点A，B分别在坐标轴上．
(1)如图①，若 ， ，求点C的坐标．
(2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标．
(3)如图③，若点A的坐标为 ，点B在y轴的正半轴上，以 为直角边在第一象限内作等腰直角三角
形 ，连接 交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时， 的长度是否发生改变？若不变，求
出 的长；若变化，求出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) ，即 的长度不发生改变，是定值，为3
【分析】（1）作 轴于点D，证明 ，可得 ， ，再进一
步求解即可；
（2）作 ，易证 ，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（3）如图，作 轴于点E．证明 ，可得 ， ．进一步证明
，可得 ，可得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：作 轴于点D，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ 点C的坐标为 ．
（2）解：如图，作 于D．
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴B点坐标 ．
（3）解： 的长度不发生改变．如图，作 轴于点E．∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 点A的坐标为 ，
∴ ．
∴ ，即 的长度不发生改变，是定值，为3．
【点睛】此题是考查了坐标与图形、等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形
全等的证明是解本题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，且满足 ，点 、点同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动， 点从 点出发沿 轴
负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1) 和 位置关系是_______；
(2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ．
①请分别用含t的式子表示 和 的面积；
②若 ，求出点P的坐标；
(3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
【答案】(1)平行；
(2)① ；② ；
(3) 或
【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握
非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键；
（1）根据非负数的性质分别求出 、 ，得到点 、 、 的坐标，根据坐标与图形性质判断 和
位置关系；
（2）①过 点作 于 ，设时间经过 秒， ，则 ， ， ，
， ，根据 ， ，代入即可求解；②根据 ，
由①得 ，求解得 ，即可求得 、 值，从而得出点 坐标；
（3）分点 在点 的上方、点 在点 的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ， ，
．
故答案为： ；
（2）解：①过 点作 于 ，
设时间经过 秒， ，则 ， ， ， ， ，
， ，
② ，
解得， ，
，
，
点 的坐标为 ；
（3）解： 或 ．
理由如下：
①当点 在点 的上方时，过 点作 ，如图2所示，，
， ，
，
，
，即 ；
②当点 在点 的下方时；过 点作 如图3所示，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，
综上所述， 或 ．
