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第六章 数据的分析
知识点01 众数
众数：一组数据中出现次数最多的数据.
注：①众数不一定唯一；②众数反应了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量.、
知识点02 平均数
1.算术平均数
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学科网（北京）股份有限公司1
(x +x +¿⋅¿+x )
x n 1 2 n
1）算术平均数：一般地，有n个数x，x，…，x，那么 = .简称平均数.
1 2 n
算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平.
注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数.
1
(x +x +¿⋅¿+x )
x n 1 2 n
2）结论：若 = ； = .
则：①x±y，x±y，…，x±y 的平均数为 ± ；②x，y，x，y…，x，y 的平均数为 （ + ）.
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
③ax+b，ax+b，…，ax+b的平均数为a +b.
1 2 n
∵ax，ax，…，ax 的平均数为a ； ∴x+b，x+b，…，x+b的平均数为 +b.
1 2 n 1 2 n
2.加权平均数
加权平均数：一般地，若n个数x ，x ，…，x 的权分别是ω ，ω ，…，ω ，则叫做这n个数的加权平均
1 2 n 1 2 n
数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1.
注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆.
知识点03 方差、标准差
x ,x ,⋯,x , x
1）方差： 在一组数据 1 2 n 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的
1
s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
s2 n 1 2 n
方差.通常用“ ”表示，即
结论：若数据a ，a ，……a 的方差是s2，则数据a+b，a+b，……a+b的方差仍然是s2，数据ka+b，
1 2 n 1 2 n 1
ka+b，……ka+b的方差是k2s2.
2 n
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定.
2）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
√1
s= √s2 = [(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2 ]
n 1 2 n
知识点04 中位数
中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数
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学科网（北京）股份有限公司据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数.
注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了
中间水平.
知识点05 四分位数
在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为
m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。
知识点06 箱线图
用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范
围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最
小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影
响。
易错点1 利用已知的平均数求相关数据的平均数
1. 忽略权重差异：求加权平均数时，易直接用算术平均数计算，忘记根据数据不同权重（如次数、占比）
加权，导致结果偏差。
2. 数据增减错误：已知原平均数，求增减固定值后新平均数，易漏算增减值与数据个数的关联，直接
加/减固定值，忽略整体影响。
例题1：已知 ， ， ，…， 的平均数 ，求 ， ，…， 的平均数为 ．
【答案】
【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【分析】本题考查了平均数．由题意知， ， ， ， ， 的和为 ，则可计算出 ， ， ，
的和，除以10，即为新数据的平均数．
【详解】解： ， ， ， ， 的平均数为
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， 的平均数 ．
故答案为： ．
易错点2 利用平均数与加权平均数做决策
1. 误用平均数：未考虑数据权重（如不同类别占比），直接用算术平均数决策，导致结果偏离实际（如忽
视高权重数据影响）。
2. 权重设定错：计算加权平均数时，权重赋值与实际重要性不符（如权重颠倒），使决策依据失真，得出
错误结论。
例题2：（24-25九年级下·福建龙岩·月考）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、
体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各方面得分如下表：
序号项目 甲 乙 丙
笔试成绩/分 82 81 84
面试成绩/分 79 90 80
体能成绩/分 91 72 76
(1)根据三方面得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按 的比例计入
总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用．
【答案】(1)三名应聘者的排名顺序为甲、乙、丙
(2)丙将被录用
【分析】本题考查了平均数的计算以及加权平均数的实际应用，解题的关键是明确平均数与加权平均数的
计算公式，并结合题目给定的条件（如分数下限要求）进行准确计算与判断。
（1）根据平均数公式“平均数 所有数据之和 数据个数”，分别计算甲、乙、丙三人三项成绩的总和，
再除以3得到平均分，最后比较平均分大小确定排名；
（2）首先筛选出笔试 分、面试 分、体能 分的应聘者，排除不符合条件的人员；再根据“加
权总分 笔试成绩 面试成绩 体能成绩 ”，分别计算剩余应聘者的总分，比较总分大小
确定录用者。
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：计算甲的平均分： （分）
计算乙的平均分： （分）
计算丙的平均分： （分）
比较大小：
答：三名应聘者的排名顺序为甲、乙、丙。
（2）解：甲：笔试 ，面试 ＜ ，不符合规定，排除；
乙：笔试 ，面试 ，体能 ，符合规定；
丙：笔试 ，面试 ，体能 ，符合规定。
乙的总分：
（分）
丙的总分：
（分）
比较总分：
答：丙将被录用。
易错点3 根据方差判断稳定性或做决策
1. 忽视数据背景：仅对比方差大小判断稳定性，未结合数据实际意义（如不同单位、领域标准），导致决
策脱离实际场景。
2. 混淆方差与标准差：误将方差数值直接等同于离散程度直观指标，未明确其与数据单位的平方关系，影
响稳定性判断的准确性。
例题3：甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下
列问题：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 80 40 70 50 60
乙成绩 70 50 70 a 70
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学科网（北京）股份有限公司(1)统计表中， _________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________
(2)小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是 ，请你求出乙同学成绩的平均数和方差．
(3)从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．
【答案】(1)40，60，70
(2)乙同学成绩的平均数是60，方差是160
(3)乙同学的成绩更稳定
【知识点】利用平均数做决策、求中位数、求众数、根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了中位数和和众数、平均数和方差，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键．
（1）根据甲、乙同学5次考试的总成绩相同可求出 的值，再根据中位数和和众数的定义求解即可得；
（2）根据平均数和方差的计算公式求解即可得；
（3）根据平均数和方差的意义求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得： ，
解得 ，
将甲同学成绩从小到大进行排序为 ，
则甲同学成绩的中位数是60，
乙同学成绩中，70出现的次数最多，
所以乙同学成绩的众数是70，
故答案为：40，60，70．
（2）解：乙同学成绩的平均数是 ，
乙同学成绩的方差是 ．
（3）解：因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差，
所以乙同学的成绩更稳定．
易错点4 平均数、众数与箱线图
1. 割裂数据关联：单独用平均数、众数或方差分析，未结合箱线图的分布信息（如异常值、四分位距），
导致对数据整体特征判断片面。
2. 误读箱线图信息：混淆箱线图中中位数、四分位数位置，或忽略异常值对平均数、方差的影响，进而得
出错误的稳定性或集中趋势结论。
例题3：（25-26八年级上·全国·课后作业）三个小组（每组20人）答一道满分为4分的题目，得分情况如
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学科网（北京）股份有限公司下：
(1)请分别计算三个小组该题的平均得分和方差．
(2)观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，6，8，但是它们排列的顺序不
同，导致了平均数和方差发生了变化．若将这些“柱子”重新排列，则如何排列能使平均数最大？如何排
列能使方差最小？
(3)如果用三个箱线图分别表示这三个小组的成绩，那么这三个箱线图有什么差异？
【答案】(1)第一组： ； ；第二组： ， ；第三组： ，
(2)因为 ，所以应当按照第一组排列，使平均数最大；因为 所以应当按照第三
组排列，使方差最小
(3)见解析
【分析】本题考查条形统计图和箱线图、方差、中位数和平均数，会绘制箱线图是解答的关键．
（1）根据平均数和方差公式求解即可；
（2）根据（1）中求解数据，结合条形统计图可得结论；
（3）先分别求得三组的中位数，下四分位数，上四分位数，以及最大值和最小值，然后分别画出箱线图，
再根据箱线图的特点分析可得答案．
【详解】（1）解：第一组平均数 （分），
方差 ；
第二组： （分），
方差 ；
第三组： （分），
方差 ；
（2）解：因为 ，所以第一组得高分的人数较多，应当按照第一组排列，使平均数最大；
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学科网（北京）股份有限公司因为 所以第三组离平均分近的人数较多，应当按照第三组排列，使方差最小；
（3）解：第一组：最小值为0，下四分位数是 ，中位数是 ，上四分位数是 ，最
大值为4；
第二组：最小值为0，下四分位数是 ，中位数是 ，上四分位数是 ，最大值为4；
第三组：最小值为0，下四分位数是 ，中位数是 ，上四分位数是 ，最大值为4；
三个小组得分的箱线图如图所示：
由图知，第一组的“箱体”靠近最大值，说明第一组的中高分较多，中位数和平均数较大；
第二组的“箱体”靠近最小值，说明第二组的中低分较多，得分的中位数和平均数较小；
第三组的“箱体”处于中间偏上位置，且得分集中在2分到3分之间，说明第三组的中档分较多，平均分
略微高于中位数，方差小，得分较稳定．
一、单选题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（ ）
A．12 B．11 C．11.5 D．19
【答案】A
【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个．
根据众数的定义求解即可．
【详解】解： 数据11，12，12，19，11，x的众数是12，
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学科网（北京）股份有限公司．
故选：A．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据 的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是
（ ）
A．10 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平均数，离差平方和；先根据平均数的公式计算出 ，再结合离差平方和计算求
解即可．
【详解】解：∵一组数据 的平均数是5，
∴ ，
解得 ，
∴离差平方和： ，
故选：A．
3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知一组数据 的平均数为3，方差为2，那么数据
的平均数与方差分别是（ ）
A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8
【答案】B
【分析】本题考查平均数公式及方差公式，根据题中 的平均数为3，方差为2，运用平均数公式及
方差公式表示出来，然后代值表示数据 的平均数与方差即可得到答案，熟记平均数公式
及方差公式是解决问题的关键．
【详解】解： 一组数据 的平均数为3，方差为2，
， ；
数据 的平均数是 ；
方差是
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故选：B．
4．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，
4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的下四分位数是4
B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的上四分位数是15
D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13
【答案】B
【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据题意逐一分析即可．
【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选
项不符合题意；
箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意；
箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题
意；
箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18，
∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题
5．（24-25八年级下·陕西宝鸡·开学考试）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为
．
【答案】4
【分析】本题主要考查了众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的定义．
利用众数和平均数的定义和公式进行求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据众数定义得， ，
∴平均数为 ，
故答案为：4．
6．（24-25九年级下·广东中山·期中）有一组数据如下：3，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这
组数据的众数为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平均数的计算与众数的概念，解题的关键是先根据平均数公式求出未知数据 的值，
再根据众数的定义确定答案．
先利用平均数公式“平均数 ”列出关于 的方程，求解得到 的值；再观察完整的数据组，
找出出现次数最多的数，即为众数．
【详解】解：根据平均数的定义，可得 ，
等式两边同乘 ，得 ，
计算左边常数项之和，得 ，
移项，得 ，
此时数据组为3， 4， 4， 6， 8，其中 出现的次数最多，故众数为 ．
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知5个数 、 、 、 、 的平均数是 ，则数据 ，
， ， ， 的平均数为
【答案】 /
【分析】本题主要考查平均数的概念，熟练掌握算术平均数的计算是关键．根据平均数的算法计算即可．
【详解】解：由题意得， ，
则 ， ， ， ， 的平均数为：
．
故答案为： ．
8．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一组数据的方差
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学科网（北京）股份有限公司，则 ．
【答案】25
【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设 个数据 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．
根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解．
【详解】解：由方差公式 可知，
该组数据的平均数为9，
因此，有 ，
整理得 ，
即 ，
所以 ．
故答案为：25．
三、解答题
9．（24-25八年级下·福建泉州·期末）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系
列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师组织全班同学通过层层筛选，决定从
以下两名同学中选一名成绩较高的学生代表班级参加比赛．下表是这两名同学参加各项活动的比赛成绩
（单位：分）：
主题活动项目
选
手
在线学习 知识竞赛 演讲比赛
甲 89 99 85
乙 84 96 90
(1)如果根据三项比赛的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？
(2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项成绩得分按 ， ， 的比例确定两人的比赛成绩，
那么谁将被选中？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)甲
(2)甲
【分析】本题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的计算方法来解答．
（1）根据平均数的计算方法进行解答即可；
（2）根据按 ， ， 的比例计算出两人的成绩，再进行比较即可．
【详解】（1）解：甲的平均成绩为 （分），
乙的平均成绩为 （分），
∵ ，
∴甲将被选中．
（2）根据题意，两人的比赛成绩如下：
甲的比赛成绩为 （分）
乙的比赛成绩为 （分）
∵ ，
∴甲将被选中．
10．（2025·湖南·模拟预测）为提高学生身体素养，某校在10月举行最美课间操比赛，最终甲、乙、丙三
个班级进入决赛．决赛需进行五个单项比赛，计分规则如下：①单项比赛计分规则：五名裁判打分，去掉
一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分．②团体决赛计分规则：各单项得分之
和为团体最终成绩，名次按成绩由高到低排序；若成绩相同，则方差较小的班级排名靠前．现将参加比赛
的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理并绘制统计图表，部分信息如下：丙班在第二个单项比赛中，
五名裁判的打分为：85，88，90，92，95．根据以上信息，回答下列问题：
项目 一 二 三 四 五
得分 95 m 88 92 90
丙班五个单项得分表
(1)上述m的值为___；
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学科网（北京）股份有限公司(2)已知甲班团体总分为450分，乙班和丙班总分均为455分，请通过计算判断哪个班级获得冠军；
(3)获得前两名的班级可分别从A、B、C三种图书中选择一套作为奖励，求两个班级选择同一套图书的概
率．
【答案】(1)90
(2)乙班方差较小，乙班获得冠军
(3)
【分析】本题考查了方差、平均数、概率的计算：
（1）根据①单项比赛计分规则进行计算即可；
（2）求出乙班和丙班的方差，方差小的获得冠军；
（3）采用列举法即可解答．
【详解】（1）解：裁判打分： ，
去掉最高分95和最低分85，剩余分数为 ，
平均分 ，
故丙班第二个单项得分 ，
故答案为：90；
（2）解：乙班方差计算：
单项得分： ，
平均分 ，
方差
；
丙班方差计算：
单项得分： ，
平均分 ，
方差
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学科网（北京）股份有限公司结论：乙班方差更小，因此乙班获得冠军；
（3）解：两班独立选择 三种图书，共有9种等可能结果：
，
其中选择相同的有三种，概率 ．
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