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第一章 勾股定理（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10
C． ， ，1 D． ， ，
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据勾股数的定义，满足三个正整数且两个较小数的平方和等于最
大数的平方，逐一判断即可．
【详解】解：A． 0.3，0.4，0.5：非正整数，不符合勾股数条件，排除．
B． 6，8，10：均为正整数，验证得 ，满足勾股数定义．
C． ， ，1：含分数，非正整数，排除．
D． ， ， （即9，16，25）：验证得 ，不满足条件．
综上，正确答案为B．
故选：B．
2．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键；
根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可
【详解】解：A． ， ， ，不是直角三角形，故本选项不符合题意；B． ， ，满足 ，是直角三角形，故本选项符合题意；
C． ， ， ，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D． ， ， ，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，长为 的橡皮筋放置在地面上，固定两端点 和 ，然后把中点 向上拉升 至点 ，则
橡皮筋被拉长了（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算
是解题的关键．根据勾股定理，可求出 、 的长，则 即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】解： 中， ， ；
根据勾股定理，得： ；
∴ ；
∴橡皮筋被拉长了 .
故选：A．
4．如图，在 网格中，点 ， ， 都是网格线的交点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ， ， ，再证明 ， ，
从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
由勾股定理得： ， ， ，
， ，
， ，
故选B．
5．有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 的长，折叠，得到
，设 ，在 中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵折叠，∴ ，
∴ ， ，
设 ，
则 ，
由勾股定理，得： ，
解得： ；
∴ ；
故选：D．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适
一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，
问门的高和宽各是多少？(1丈 尺，1尺 寸)如图，若设门的高为 尺，则根据题意可列方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用．高是 尺，则宽为 尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直
角三角形，利用勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设门的高为 尺，则宽为 尺，根据勾股定理得，
，
故选：B．
7．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以
12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进， ，甲，乙两人同时出发，当出发 小时时，甲，乙两人之间的距离为（ ）
A．6千米 B．7千米 C．5千米 D．8千米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，求解出甲乙运动 小时所走过的路程是解决本题的关键．
根据甲乙的速度结合“路程 速度 时间”计算甲乙出发 小时所走过的路程，再由 可求解
与 的长度，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，
出发 小时后甲的路程为 千米，
又∵ 千米，
∴ 千米，
∵乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，
∴出发 小时后乙的路程为 千米，
∵ ，
∴在 中， 千米，
∴甲，乙两人之间的距离为6千米 ．
故选：A ．
8．如图，在 中， ， ， ，点D是 和 的角平分线的交点，且
于E，则 的长度为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查的是勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理和
角平分线的性质是解题的关键．根据勾股定理求出 的长，再由角平分线的性质得 ，然后利用三角形的面积公式求解即
可．
【详解】解：如图：过点D作 ， ，垂足分别为N，M，连接DA，
， ， ，
，
点D是 、 的角平分线的交点，且 于E，
，
，
，
，即 ，解得： ．
故选：A．
9．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；
乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出
的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键．
由图形中的面积关系：梯形的面积 直角三角形的面积 等腰三角形的面积，正方形的面积 小正方形
的面积 直角三角形的面积 ，化简即可求解．【详解】解：甲同学的方案：
由题意得等腰三角形的直角三角形；
梯形的面积 直角三角形的面积 等腰三角形的面积，
，
整理得 ，
因此甲同学的方案可以证明勾股定理．
乙同学的方案：
大正方形的面积 小正方形的面积 直角三角形的面积 ，
，
，
，
因此乙同学的方案可以证明勾股定理；
故选：C．
10．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中
间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交 于点P．如图所示，若
， ，则正方形 的面积为（ ）
A．28 B．25 C．30 D．24
【答案】A
【分析】首先证明出 ，得到 ，然后证明出 ，得到
， ，然后 ，得到 ，然后由 得到，相加求出 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，设 ， 交于点M
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴∴ 得，
∴
∴正方形 的面积 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理
等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 的两直角边分别是 ， ，则 的斜边上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上
的高，即可．
【详解】解：设 斜边上的高为 ，
的两直角边分别是 ， ，
斜边长 ，
，
，
即 的斜边上的高是
故答案为：
12．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条
“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路 比走路 ”少了
米．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
在 中，直接利用勾股定理得出 的长，再利用 进而得出答案．【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由
4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为 ， ，斜边长为 ，若
， ，则每个直角三角形的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，
根据勾股定理得 ，由已知条件结合完全平方公式可得 ，进而求出
，则此题可解．
【详解】解：根据勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴直角三角形的面积为 ．
故答案为：12．
14．如图，一只蚂蚁从底面为边长 的正方形，高是 的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，
那么它需要爬行的最短路线的长是 ．【答案】 /13厘米
【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题正确找到最短路径是解题关键．
先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图1所示展开时：
，
此时 ；
如图2所示展开时：
此时 ．
∵ ，
∴它需要爬行的最短路线的长是 ，
故答案为： ．
15．如图，点P是长方形 边上的一个动点，从A点开始，沿 顺时针运动一周，运动速度是 ．当运动时间t为 或 时，点P均满足 ，则 的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
利用“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，确定点 位置，再证明 ，得
，运用勾股定理列式，代入数值得 ，求解得出 的长度．
【详解】解：∵ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
连接
则长方形中 的垂直平分线是过 、 交点 ,
依题意，运动时间 时， 在 上， ；
依题意 时， 在 上， ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：12．
16．如图等腰三角形 的底边长为 ，腰长为 ，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C
以 的速度移动，当P运动 秒时，三角形 是直角三角形．
【答案】 或4
【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，
列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
先利用等腰三角形“三线合一”求出 、 以及 边上的高 ，再分别讨论 和 为直角
的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下 的长，即可求出所需时间．
【详解】解：如图，作 ，
∵ ，
∴ ，
当点P运动到与点D重合，即 为直角时， 是直角三角形，此时 ，
∴运动时间为 (秒)；
当 时，设
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以运动时间为 (秒)；
综上可得：当P运动4秒或 秒时， 是直角三角形；
故答案为： 或4．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图是某沿江地区交通平面图，该地区拟修建两条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路 ，
已知 ， ， ， ， ， ．求该沿江高速公路
预计要修多少千米？
【答案】180千米
【分析】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
利用勾股定理可得答案．
【详解】解：观察图形可得， ，
， ， ， ，
， ，，
答：该沿江高速公路 预计要修180千米．
18．如图，在等腰 中， ，点 是 上一点， ．
(1)试说明： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果
三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
（1）根据 得出 是直角三角形，且 ，即可得证；
（2）过点 作 于点 ，设 ，根据等腰三角形的性质可得 ，在 ，
中，得出 ，解方程，得出 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 是直角三角形，且
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，设 ，则 ，
∵ ，
∴
在 中，
在 中，
∴
∴
解得：
∴
∴
∴
19．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，点 为 上一点， ，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明 是解题的关键．
（1）利用 证明 得到 ，则由勾股定理可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得到 ，由勾股定理可得 ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1））证明： 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
，
；
（2）解： ，
．
在 中，由勾股定理可得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
∴ ．
解得 ，即 的长为 ．
20．如图，一根木杆在离地面 的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端 处，
(1)如图1，求木杆折断之前的高度；
(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端 处，求 的长．
【答案】(1)木杆折断之前的高度是
(2) 的长是
【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出 的长；
（2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，根据勾股定理： ， ，
答：木杆折断之前的高度是 ．
（2）解：设 的长为 ，则 ，
在 中，根据勾股定理：
，解得： ．
的长是 ．
21．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西
方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为 ， ，且
．根据实测数据，台风中心半径 范围内的地区会受到台风影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 ，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)海港C受台风影响
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键；
（1）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，进而得出 的度数；利用三角形面积得出
的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（2），利用勾股定理得出 以及 的长，进而得出台风中心的移动速度．
【详解】（1）解：海港C受台风影响．
过C作 于点D，
， ， ，
，
是直角三角形，；
∴∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴海港C受台风影响．
（2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港．
由题意，得 ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
答：台风中心的移动速度为 ．
22．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆 ，可
以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，
且 ，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面 的距离为 （绳子一直是直的）
(1)若 ， ，求从定滑轮C到D点的绳长；
(2)若 的长为 ， 比BC长 ，求桥面的宽
【答案】(1)定滑轮C到D点拉着的绳长为 ；
(2)桥面的宽 长为
【分析】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理．（1）过点D作 于F，在 中，根据勾股定理即可求出 ；
（2）先表示出 的长，在 中，根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽
【详解】（1）过点D作 于F，
由题意知： ，
，
，
由题意可知：四边形 是长方形，
，
，
在 中，
，
定滑轮C到D点拉着的绳长为 ；
（2）由（1）知 ，
，
比 长 ，
，
在 中，
，
，
，
桥面的宽 长为
23．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股
定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图①是以 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 ， ， ，请写出 ， ，
之间的数量关系：___________；
(2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为 ，
，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形 ，记图中正方形 ，正方形
，正方形MNKT的面积分别为 ， ， 若 ，则 ___________．
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键，
（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案；
（2）设 ， ，则 ，由题可得 ，再由勾股定理可得
，从而求出 ，进而求得飞镖的面积；
（3）设直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，斜边为 ，由勾股定理得 ，
再根据题意 ，代入可求得 ，从而得到答案．
【详解】（1）解：由题可得： ， ， ，
∴ ，故答案为： ；
（2）解：设 ， ，由题可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解： ，
∴飞镖状图案的面积为 ，
（3）解：设直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，斜边为 ，则： ，
由题意得： ， ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
24．如图 ，在 中， ， ，若点 是 延长线上一点，连接 ，以 为腰作
等腰直角 ，且 ， ，连接 ．(1)求证： ≌ ；
(2)试说明： ；
(3)如图 ，当点 是 延长线上一点改成点 是直线 上一点，其它条件不变，连接 ，若 ，
，请直接写出 的值．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) 或 ．
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及
分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证 ，即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质 ， ，则 ，再由全等
三角形的性质得 ， ，则 ，然后由勾股定理即可解决问题；
（3）分两种情况，①点 在 延长线上时，过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质得
，再由（2）可知， ， ，再由勾股定理求出 的长即可；
②点 在 延长线上时，过点 作 于点 ，由等腰直角三角形的性质得
，同（2）得 ，则 ；即可得出结论．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
即 ，
是等腰直角三角形，且 ，
，
在 和 中，
，；
（2）解： ， ， 是等腰直角三角形，且 ，
， ，
，
由（1）可知， ≌ ，
， ，
，
，
，
；
（3）解： 和 是等腰直角三角形， ， ，
， ，
， ， ，
分两种情况：
①如图 ，点 在 延长线上时，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
由（2）可知， ， ，
；②如图 ，点 在 延长线上时，过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
同（2）得： ，
；
综上所述， 的值为 或 ．
25．【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证
明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正
方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，化简得： ．这里用
两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
(1)如图2，在 的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ，求 边上的
高；(2)如图3，在 中， ， ， ， 是 边的中线．在 中，用a，b，c表示
．
【答案】(1) 边上的高 为
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积公式，解题的关键是熟练运用这些知识．
（1）先用割补法求出 的面积，再用 底 高表示面积，根据“双求法”列式，即可求出 边上
的高；
（2）过点 作 于点 ，如图3，由 是 边的中线，得到 ，设 ，则
， ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，作 边上的高 ，
，
，
，
，
解得 ，
（2）过点C作 于点F，如图3，∵ 是 边的中线，
∴ ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ， ，
即 ，得：
，
，
，
，
，
即 ，
．
