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第一章 勾股定理（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10
C． ， ，1 D． ， ，
2．依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，长为 的橡皮筋放置在地面上，固定两端点 和 ，然后把中点 向上拉升 至点 ，则
橡皮筋被拉长了（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 网格中，点 ， ， 都是网格线的交点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（ ）A． B． C． D．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适
一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，
问门的高和宽各是多少？(1丈 尺，1尺 寸)如图，若设门的高为 尺，则根据题意可列方程为（
）
A． B．
C． D．
7．如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以
12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进， ，甲，乙两人同时出发，当出发 小时时，甲，
乙两人之间的距离为（ ）
A．6千米 B．7千米 C．5千米 D．8千米
8．如图，在 中， ， ， ，点D是 和 的角平分线的交点，且
于E，则 的长度为（ ）．A．2 B．3 C．4 D．5
9．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；
乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出
的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
10．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中
间的小正方形 拼成的一个大正方形 ，连接 ，交 于点P．如图所示，若
， ，则正方形 的面积为（ ）
A．28 B．25 C．30 D．24
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 的两直角边分别是 ， ，则 的斜边上的高是 ．
12．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条
“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”！走“路 比走路 ”少了
米．13．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由
4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．如图，直角三角形的直角边长为 ， ，斜边长为 ，若
， ，则每个直角三角形的面积为 ．
14．如图，一只蚂蚁从底面为边长 的正方形，高是 的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，
那么它需要爬行的最短路线的长是 ．
15．如图，点P是长方形 边上的一个动点，从A点开始，沿 顺时针运动一周，
运动速度是 ．当运动时间t为 或 时，点P均满足 ，则 的长为 ．
16．如图等腰三角形 的底边长为 ，腰长为 ，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C
以 的速度移动，当P运动 秒时，三角形 是直角三角形．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图是某沿江地区交通平面图，该地区拟修建两条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路 ，
已知 ， ， ， ， ， ．求该沿江高速公路
预计要修多少千米？
18．如图，在等腰 中， ，点 是 上一点， ．
(1)试说明： ；
(2)求 的长．
19．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，点 为 上一点， ，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．20．如图，一根木杆在离地面 的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端 处，
(1)如图1，求木杆折断之前的高度；
(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端 处，求 的长．
21．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西
方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为 ， ，且
．根据实测数据，台风中心半径 范围内的地区会受到台风影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 ，求台风中心的移动速度．
22．古代护城河上有座吊桥，图①是它的结构原理图，图②是它的示意图．把桥面看成是均匀杆 ，可
以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，
且 ，人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面 的距离为 （绳子一直是直的）
(1)若 ， ，求从定滑轮C到D点的绳长；
(2)若 的长为 ， 比BC长 ，求桥面的宽
23．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股
定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图①是以 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 ， ， ，请写出 ， ，
之间的数量关系：___________；
(2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为 ，
，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形 ，记图中正方形 ，正方形
，正方形MNKT的面积分别为 ， ， 若 ，则 ___________．
．
24．如图 ，在 中， ， ，若点 是 延长线上一点，连接 ，以 为腰作
等腰直角 ，且 ， ，连接 ．
(1)求证： ≌ ；
(2)试说明： ；
(3)如图 ，当点 是 延长线上一点改成点 是直线 上一点，其它条件不变，连接 ，若 ，
，请直接写出 的值．
25．【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证
明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正
方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，化简得： ．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
(1)如图2，在 的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ，求 边上的
高；
(2)如图3，在 中， ， ， ， 是 边的中线．在 中，用a，b，c表示
．
