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第一章 勾股定理达标测试卷
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，5，7 B. 5，7，9 C. 3，5，4 D. 2，2，3
2．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列不能确定△ABC
为直角三角形的是（ ）
A. a2+b2=c2 B. a:b:c=1:2:3
C. ∠A+∠B=∠C D. (a+b)(a-b)=c2
3．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，BD平分∠ABC交AC于点D，若DC=3，
BC=6，AD=5，则AB的长为（ ）
（第3题）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，AC=40，CB=9，点M，N在AB上，且
AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
（第5题）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
1/166．如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海
里/时的速度向南偏东45∘ 方向航行，顺艺号轮船向南偏西45∘ 方向航行，已知
它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航
行（ ）
（第6题）
A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里
7．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆
AB的高度，得到如下信息：
（第7题）
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距
离CE为9米（如图）。
根据以上信息，得旗杆AB的高度为（ ）
A. 10米 B. 13米 C. 15米 D. 17米
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘ ，分别以四边形ABCD的四
条边为边向外作四个正方形。若S +S =100,S =36,则S 等于（ ）
1 4 3 2
（第8题）
A. 136 B. 64 C. 50 D. 81
2/16二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．一个三角形的三条边长分别为8，15，17，那么其最短边上的高是。
10．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘ ，将△ABC折叠，使点A
与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为____。
（第10题）
11．如图，在正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构
成的三角形中，恰好是直角三角形的个数为____。
（第11题）
12．[［2025陕西师大附中期中］]消防车上的云梯如图①，已知云梯最多只能
伸长到25米，消防车高3.5米。如图②，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有
一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即AB=25米，此时消防
车的位置A与楼房的距离AO=20米。完成B处的救援后，消防员发现在B处的正
上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消
防车上的云梯仍伸至最长，即CD=25米，则消防车从A处向着火的楼房靠近的
距离AC为____米。
（第12题）
3/1613．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”
四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4，则AB2+CD2=。
（第13题）
三、解答题（共6小题，共61分）
14．（6分）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c且∠C=90∘ 。
（1） 若a=5,b=12，求c的值；
（2） 若a=16,c=20，求b的值；
（3） 若a:b=3:4,c=40，求a,b的值。
15．[［2025西工大附中期中］]（8分）如图，在△ABC中，AB=17，AC=15，
BC=8。
（1） 判断△ABC的形状，并说明理由；
（2） 若点D为线段AC上一点，连接BD，且BD-AD=1，求△ABD的面积。
4/1616．（10分） 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：
“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何。”大意如下：如图，推开两扇
门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺=10寸），两扇
门间的缝隙CD为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）AB为多少尺？
17．（12分）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，
是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业。某小区在社区管理
人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，
如图，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m。
5/16（1） 技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定
了∠ABC=90∘ 。请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2） 现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费
用是多少元？
18．（12分）如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm。若一只蚂
蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
画出侧面展开图，并解答。
6/1619．（13分）【问题背景】图①为著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较长
的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，则大正方形的面积
1
可以表示为c2，也可以表示为4× ab+(a-b) 2 ，由此推导出重要的勾股定理：
2
如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
【探索求证】
（1） 图②为勾股定理的“总统证法”，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置
放置，连接CD，其中∠A=∠B=∠DEC=90∘ ，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2） 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，
B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村
民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一
条路CH，且CH⊥AB。测得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA
少多少千米；
【延伸扩展】
（3） 在第（2）问中，若AB≠AC，AC=4千米，BC=5千米，AB=6千米，设
AH=x千米，求x的值。
7/16第一章 勾股定理达标测试卷 答案版
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，5，7 B. 5，7，9 C. 3，5，4 D. 2，2，3
8/16【答案】C
2．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列不能确定△ABC
为直角三角形的是（ ）
A. a2+b2=c2 B. a:b:c=1:2:3
C. ∠A+∠B=∠C D. (a+b)(a-b)=c2
【答案】B
3．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，BD平分∠ABC交AC于点D，若DC=3，
BC=6，AD=5，则AB的长为（ ）
（第3题）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
4．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A. 仍是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
【答案】A
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，AC=40，CB=9，点M，N在AB上，且
AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
（第5题）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
6．如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海
里/时的速度向南偏东45∘ 方向航行，顺艺号轮船向南偏西45∘ 方向航行，已知
它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航
行（ ）
9/16（第6题）
A. 15海里 B. 16海里 C. 17海里 D. 18海里
【答案】A
7．学过《勾股定理》后，老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆
AB的高度，得到如下信息：
（第7题）
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距
离CE为9米（如图）。
根据以上信息，得旗杆AB的高度为（ ）
A. 10米 B. 13米 C. 15米 D. 17米
【答案】B
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘ ，分别以四边形ABCD的四
条边为边向外作四个正方形。若S +S =100,S =36,则S 等于（ ）
1 4 3 2
（第8题）
A. 136 B. 64 C. 50 D. 81
【答案】B
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．一个三角形的三条边长分别为8，15，17，那么其最短边上的高是。
【答案】15
10/1610．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘ ，将△ABC折叠，使点A
与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为____。
（第10题）
【答案】4
11．如图，在正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构
成的三角形中，恰好是直角三角形的个数为____。
（第11题）
【答案】2
12．[［2025陕西师大附中期中］]消防车上的云梯如图①，已知云梯最多只能
伸长到25米，消防车高3.5米。如图②，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有
一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即AB=25米，此时消防
车的位置A与楼房的距离AO=20米。完成B处的救援后，消防员发现在B处的正
上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消
防车上的云梯仍伸至最长，即CD=25米，则消防车从A处向着火的楼房靠近的
距离AC为____米。
（第12题）
【答案】5
13．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”
四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O.若AD=1,BC=4，则AB2+CD2=。
11/16（第13题）
【答案】17
三、解答题（共6小题，共61分）
14．（6分）在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c且∠C=90∘ 。
（1） 若a=5,b=12，求c的值；
（2） 若a=16,c=20，求b的值；
（3） 若a:b=3:4,c=40，求a,b的值。
【答案】
（1） 解：因为∠C=90∘ ，a=5,b=12，
所以c2=52+122=169，所以c=13。
（2） 因为∠C=90∘ ，a=16,c=20，
所以b2=c2-a2=202-162=144,
所以b=12。
（3） 因为∠C=90∘ ，a:b=3:4，
所以a:b:c=3:4:5。
因为c=40，所以a=24，b=32。
15．[［2025西工大附中期中］]（8分）如图，在△ABC中，AB=17，AC=15，
BC=8。
（1） 判断△ABC的形状，并说明理由；
（2） 若点D为线段AC上一点，连接BD，且BD-AD=1，求△ABD的面积。
【答案】
（1） 解：△ABC是直角三角形。
理由如下：
因为AB=17，AC=15，BC=8，
12/1682+152=172，所以BC2+AC2=AB2，所以△ABC是直角三角形。
（2） 因为BD-AD=1，AC=15，
所以设AD=a，则BD=a+1，
CD=15-a。
由（1）知，△ABC是直角三角形，且∠C=90∘ ，
所以CD2+BC2=BD2，
即(15-a) 2+82=(a+1) 2，解得a=9，
1 1
所以AD=9，所以S = AD⋅BC= ×9×8=36。
△ABD 2 2
16．（10分） 在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：
“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何。”大意如下：如图，推开两扇
门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺=10寸），两扇
门间的缝隙CD为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）AB为多少尺？
1
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=10寸，OE= CD=1寸。
2
设OA=OB=AD=BC=r寸，则AE=(r-1)寸。
在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r-1) 2+102=r2，解得r=50.5，
所以AB=2r=101寸=10.1尺。； 答：门的宽度（两扇门宽度的和）AB为10.1
尺。
17．（12分）城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，
是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业。某小区在社区管理
人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，
如图，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m。
13/16（1） 技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定
了∠ABC=90∘ 。请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2） 现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费
用是多少元？
【答案】
（1） 解：测量的是点A，C之间的距离。
依据是：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形（或勾股定理的逆定理）。
（2） 如图，连接AC。
由（1）得∠B=90∘ ，
所以在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=25，所以AC=5m。
在△ACD中，CD=13m，AD=12m。
因为52+122=132，
所以AC2+AD2=CD2，
所以∠DAC=90∘ 。
1 1
S =S +S = ×3×4+ ×5×12=36(m2 )。
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2
因为36×30=1080（元），所以这块地全部种草的费用是1 080元。
18．（12分）如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm。若一只蚂
蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
画出侧面展开图，并解答。
14/16解：长方体侧面展开图如图所示。
由题意，得PA=2+4+2+4=12(cm)，QA=5cm。
在Rt△PQA中，PQ2=PA2+QA2=122+52=169,所以PQ=13cm。
所以蚂蚁爬行的最短路径长为13cm。
19．（13分）【问题背景】图①为著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较长
的直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，则大正方形的面积
1
可以表示为c2，也可以表示为4× ab+(a-b) 2 ，由此推导出重要的勾股定理：
2
如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
【探索求证】
（1） 图②为勾股定理的“总统证法”，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置
放置，连接CD，其中∠A=∠B=∠DEC=90∘ ，请你利用图②推导勾股定理；
【问题解决】
（2） 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，
B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村
民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一
条路CH，且CH⊥AB。测得CH=1.2千米，HB=0.9千米，求新路CH比原路CA
少多少千米；
【延伸扩展】
（3） 在第（2）问中，若AB≠AC，AC=4千米，BC=5千米，AB=6千米，设
AH=x千米，求x的值。
15/16【答案】
1 1 1
（1） 解：因为S = (a+b)(a+b)= a2+ab+ b2，
梯形ABCD 2 2 2
1 1 1
S =S +S +S = ab+ c2+ ab，
梯形ABCD △ADE △CDE △CBE 2 2 2
1 1 1 1 1
所以 ab+ c2+ ab= a2+ab+ b2 ，即a2+b2=c2。
2 2 2 2 2
（2） 设AC=AB=a千米，则AH=(a-0.9)千米。
在Rt△ACH中，由勾股定理,
得C A2=CH2+AH2，
所以a2=1.22+(a-0.9) 2，解得a=1.25，即CA=1.25千米，
所以CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），
所以新路CH比原路CA少0.05千米。
（3） 因为AH=x千米，AB=6千米，所以BH=(6-x)千米。
在Rt△ACH中，由勾股定理得
CH2=C A2-AH2，
在Rt△BCH中，由勾股定理得
CH2=CB2-BH2，
所以C A2-AH2=CB2-BH2，
9
即42-x2=52-(6-x) 2，解得x= 。
4
16/16
