第一章勾股定理章末检测卷（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_05习题试卷_2单元试卷_单元测试（第2套）

第一章 勾股定理 章末检测卷（北师大版） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自 己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．（2022·广西贵港·八年级期末）下列条件：① ；② ， ， ；③ ；④ ．其中能判定 是直角三角形的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是 ；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平 方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】① ， ， 能判定 是直角三角形； ② ，∴ ， 能判定 是直角三角形； ③ ， ， ， 能判定 是直角三角形； ④ ， ， ， 能判定 是直角三角形； 综上所述，能判定 是直角三角形的有4个．故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，那么这个 三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理． 2．（2021·河南·郑州外国语学校经开校区八年级阶段练习）如图，校园内有两棵树，相距8m，一棵树高 13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）A．9m B．10m C．11m D．12m 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用 勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树高度相差为AE=13-7=6m，之间的距离为BD=CE=8m，即直角三角形的两直角边，故 斜边长AC= m，即小鸟至少要飞10m． 故选B 【点睛】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可． 3．（2022·陕西八年级期中）如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直 角，图中数据单位： ，那么 、 两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作 于点 ，求出BC，AC，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：作 于点 ，如下图所示 由图可得，由勾股定理得： 即A、B两点之间的距离为 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，构造出直角三角形是解题关键． 4．（2022·河南洛阳·八年级期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发 现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图， 的顶点 ， ， 在边 长为1的正方形网格的格点上， 于点 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可． 【详解】解：由勾股定理得： ， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积= ， ∴BD= ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键． 5．（2022·江苏·无锡市天一实验学校八年级阶段练习）如图，已知长方形纸板的边长 ， ， 在纸板内部画 ，并分别以三边为边长向外作正方形，当边 、 和点K、J都恰好在长方形纸 板的边上时，则 的面积为（ ）A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB= ，证明 △ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解． 【详解】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P， 设AC=b，BC=a，则AB= ， ∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形， ∴AB=BJ，∠ABJ=90°，∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=∠JBP， ∵∠ACB=∠BPJ=90°，∴△ABC≌△BJK（AAS），同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN， ∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a， ∵DE=10，EF=11，∴2b+a=10，2a+b=11，∴a+b=7，∴a2+b2=49-2ab， ∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，∴10×11=3ab+ ab×4+a2+b2+( )2，整理得：5ab+2(a2+b2)=110， 把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，∴ab=12，∴△ABC的面积为 ab=6，故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形． 6．（2022·河北省初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲． 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面 积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论： ①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长， 从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4× ×ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得 到③正确，根据①③可得②正确，④错误. 【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方= a2+b2， 由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长， ∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，即a2+b2=49，故①正确； 根据题意得4个直角三角形的面积=4× ×ab=2ab， 4个直角三角形的面积=S -S =49-4=45，即2ab=45，故③正确； 大正方形 小正方形 由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误， 由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键． 7．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到 左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠 在右墙时，梯子顶端到地面的距离 为1.5m，则小巷的宽为（ ）．A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 【答案】D 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后 可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB= =2.5m，∴A′B=2.5m， 在Rt△A′BD中，BD= =2m，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 8．（2022·陕西·交大附中分校八年级期末）如图，城南大道 的同一侧有A、B两个社区， 于 C， 于D，C、D两点相距 ，已知 ．现要在CD上建一个社区服务站E， 使得A、B两社区到E站的距离相等，则 的长是（ ） ． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设 ，则 ，再根据勾股定理分别可得 ，然后根据 建立 方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设 ，则 ， ，， 、 两社区到 站的距离相等， ， ，即 ， 解得 ，即 ，故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 9．（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个 长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，其边缘 ．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则 他滑行的最短距离约为（ ）m．（ 取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得 ，根 据对称求得 ，在Rt△CDF中，勾股定理求得 ． 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF= cm，故他滑行的最短距离约为 cm．故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．10．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图， 中， ，M，N分别是边 上的两个动点．将 沿直线 折叠，使得点A的对应点D落在 边的三等分点处，则线段 的长 为（ ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】根据题意，分 和 两种情形，设 ，在 中，勾股定理建立方程，解方 程即可求解． 【详解】解： ，点A的对应点D落在 边的三等分点处，设BN＝x， 则 和 ， ， 在 中， ， 当 时， ，解得： ， 当 时， ，解得： ，故选D． 【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．（2022·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起， 踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此 问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺 时，即PC 10尺，秋千踏板离地的距离PB就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋 千的绳索长为________尺．【答案】14.5 【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股 定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺， 在Rt OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5． 【点睛△】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键． 12．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在 中， ， ， ， ，分别以 的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月 牙”，即阴影部分的面积为________．（用含 ， ， 的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆 的面积，由勾股定理得到 ，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大 半圆的面积， ∵在 中， ， ， ， ， ∴ ， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上 直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积是解题的关键． 13．（2022·江苏）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离 MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向， 以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s 【答案】8 【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作 AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键． 14．（2022·湖北省崇阳县八年级期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行 12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号 航行的方向是_______．【答案】西北方向 【解析】 【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形 PQR是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）． ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°， 即“海天”号沿西北方向航行故答案为：西北方向． 【点睛】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形． 15．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝ 5，AD＝10，BE＝ ，则AB的长是 _____． 【答案】12 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可 求AB的长． 【详解】如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13，AF=5, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1 A,B,C 16．（2022·山西初二期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 ，点 在小正方形 AB,BC ABC  o 的格点上，连接 ，则 ________ ． 【答案】45 AC, AB2,AC2,BC2, ABC 【分析】连接 利用勾股定理求解 证明 为等腰直角三角形，从而可得答案． AC, 【解析】解：如图，连接 由勾股定理得：AB2 12 32 10,AC2 12 32 10,BC2 2242 20, AB  AC,AB2  AC2  BC2,  ABC BAC 90, ABC 45,  为等腰直角三角形， 45, 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 17．（2021·贵州九年级）如图，矩形ABCD中，AD8，AB6，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到 EFGD BC DE P BC FG Q BQ2BP BP 矩形 ，边 与 交于点 ，延长 交 于点 ，若 ，则 的长为______． 25 【答案】 4 【分析】连接DQ，过点P作PH //EF，设PC a，分别解得BP,BQ,CQ,GQ的长，继而证明  PHQ  PCD (AAS)，由全等三角形的性质得到PC HQa,EPFH a，由此解得PD8a，最后在 RtVPCD中，利用勾股定理解得a的值，据此解题． 【详解】如图，连接DQ，过点P作PH //EF，设PC a，则矩形ABCD中BC  AD8,ABCD6 BP8a,BQ2BP BQ2(8a)162a CQ162a882a GQ82a,FQ2a FG//EDFQPQPD   FQBCPD  PHQPCD90 在 与 中，   PHQ  PCD  PH CD   PHQ  PCD (AAS) PC HQa,EPFH aPD8a RtVPCD PD2 PC2CD2 (8a)2 a262 在 中， 7 7 25 25 a BPPQ8a8  ，故答案为： ． 6416aa2 a262 4 4 4 4 【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌 握相关知识是解题关键． 18．（2021·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图 一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方 体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬 行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm【答案】16 【分析】将正方形 沿着 翻折得到正方形 ，过点 在正方形 内部作 ， 使 ，连接 ，过 作 于点 ，此时 最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形 沿着 翻折得到正方形 ，过点 在正方形 内部作 ，使 ，连接 ，过 作 于点 ，则四边形 是矩形，四边形 是平行 四边形，∴ ， ， ， ， 此时 最小， ∵点 是 中点，∴ cm，∴ cm， cm， 在 中， cm， ∴ cm，故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定 理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 19．（2022·北京市第十三中学初二期中）如图，每个小正方形的边长为1． （1）直接写出四边形ABCD的面积；（2）求证：∠BCD=90°．【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5；（2）证明见解析． 【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边 形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长； （2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明； 【解析】（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5； 32 42 25 （2）连接BD．∵BD2 ，BC2+CD2=20+5=25， ∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°． 【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型． 20．（2022·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子 另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．A、B、F 三点在一 条直线上，CF  AF．回答下列问题：（1）根据题意可知：AC BCCE（填“＞”、 “＜”、“＝”）． （2）若CF 6米，AF 8米，AB3米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．  10 61 【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为 米． 【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得； （2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可． BCCE 【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长， 是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变， ∴AC BCCE，故答案为：=； AC  AF2CF2 10 （2）∵A、B、F三点共线， ∴在RtΔCFA中， ， BF  AFAB835 BC  CF2BF2  61 ∵ ，∴在RtΔCFB中， ，   10 61 由（1）可得：AC BCCE，∴CE  ACBC 10 61，∴小男孩需移动的距离为 米． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 21．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了 一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC ＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】绿化这片空地共需花费17100元 【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三 角形面积求法得出答案．【详解】解：连接AC，如图 ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝ ＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m， ∴AD2＋AC2＝DC2， ∴∠DAC＝90°， ∴S DAC＝ ×AD•AC＝ ×8×15＝60（m2）， △ S ACB＝ AB•AC＝ ×9×12＝54（m2）， △ ∴S ABCD＝60＋54＝114（m2）， 四边形 ∴150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键． 22．（2022·湖北八年级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5． （1）若BC＝6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长； （2）点D在BC的延长线上，且BC：CD＝2：3，若AD＝10，求证：△ABD是直角三角形． 10 【答案】（1） ；（2）见解析 3【分析】（1）如图1，过A作ADBC于D，根据等腰三角形的性质得到BDCD3，求得AD4，根 1 5 据折叠的性质得到 ， AN  AC  ，设 ，根据勾股定理即可得到结论； AM CM 2 2 AM CM x 1 （2）如图2，过 作 于 ，根据等腰三角形的性质得到BE CE  BC，设 ， ， A AEBC E 2 BC 2t CD3t AE h，得到BE CE t，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过A作ADBC于D，  AB AC 5，BC 6，BDCD3，AD4， 1 5 将 沿 折叠，使得点 与点 重合， ， AN  AC  ， ABC MN C A AM CM 2 2  设AM CM x，MDx3， 25 AD2DM2  AM2 ， 42(x3)2 x2，解得： x= 6 ，  25 5 10 MN  AM2AN2  ( )2( )2  6 2 3 ； 1 （2）如图2，过 作 于 ， ，BE CE  BC， A AEBC E  AB AC 2  BC:CD2:3，设BC 2t，CD3t，AE h，BECE t， AB5 AD10 h2t2 52 h2(4t)2 102  ， ， ， ， t  5 BD5 5 联立方程组解得， （负值舍去）， ， AB2AD2 52102 125(5 5)2 BD2  ABD ， 是直角三角形．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的 作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2021·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两 个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以 格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺 时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是 勾股四边形． 【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得 出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾 股四边形； 【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下： 如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：AB2BC2  AC2； 长方形DEFG中，由勾股定理有：DE2EF2 DF2； 都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．（2）解：答案如图所示． （3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决 问题． 24．（2022·山东潍坊·八年级期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古 代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”， 后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜 边长为c）．(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程； 探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； 问题解决：(3)如图2，若 ， ，此时空白部分的面积为__________； (4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24， ， 求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24． 【分析】（1）运用等面积法 计算即可； （2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法 化简计算即可； （3）先用勾股定理计算出c，再利用 计算面积即可； （4）将风车周长表示出来 ，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理 求解出b，最后计算面积即可． (1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为 ， 空白小正方形的面积为 ， 整个围成的大正方形的面积为 ， ∵ ，即 ， 故 ； (2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE 可知 ， 其中， ， ， ， 代入可得， ， 即 ；(3)由图2可知， ， ∵ ， ， ∴ ， 则 =100， ∴ ， 故空白部分的面积为52； (4)由题意可知，风车的周长为 ， 其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b， 且 ，即 ，将c=9-b代入得， ，解得b=4， 则 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． 25．（2022·全国·八年级专题练习）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算 经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数 直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如 ：等等都是勾股 数． 【探究1】 （1）如果 是一组勾股数，即满足 ，则 为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出 公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的 是一组勾 股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当 ， 为正整数， 时， 构成一组勾股数；请根据这一结 论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察 ；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 起就没有间断过，并且勾为 时股 ，弦 ；勾 为时，股 ，弦 ； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股 ___ _；弦 ___ _； （2）如果用 且 为奇数)表示勾，请用含有 的式子表示股和弦，则股 ___ ；弦 __ _； （3）观察 ；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从 起也没有间断 过． _； 请你直接用 为偶数且 ）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的 长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3） ；探究2（1） , ；（2） ， ；（3）①80，② ，弦【分析】探究1：（1）根据勾股定理 ，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出 、 根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝ ，弦＝ ； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数 且 )，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的 是一组勾股数； （3）∵ ＝ ∴满足以上公式的 是一组勾股数； 当 时， ， ∴ 构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为 ， 则股 ，弦 ， （2）如果勾用 ，且 为奇数）表示时， 则股 ， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果 是符合同样规律的一组勾股数， 为偶数且 )， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足 的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 26．（2022·山东九年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦． 一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流 传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′， ∴AC+CB=AC+ = ．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用 “两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上， 即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问 题的数学模型． 1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求 EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值 就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ； （2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当 △AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °． 2.拓展应用:如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现 有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达 码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 3 【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3 ；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最 5 短路程为 千米 【分析】1.简单应用（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；（2）作A关于BC和CD的 对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算； 2.拓展应用:分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA 于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案为：C′B；AB′；1.简单应用（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM， 6232 3 3 EM+MC的最小值就是线段BE的长度，BE= ， 3 3 3 3 则EM+MC的最小值是 ，故答案为：BE； ； （2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N， 则A′A″即为△AMN的周长最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°， ∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100； 2.拓展应用:如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C， 交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程， 由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°， OA'2OB'2  1222  5 5 ∴∠A′OB′=90°，∴A′B′= ，答：货船行驶的水路最短路程为 千米． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是 解题的关键．