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第三章 位置与坐标（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下面四个描述中，小佳能准确找到剧场具体位置的是（ ）
A．西长安街 B．人民广场北偏西 方向
C．北纬 ，东经 D．距离音乐厅 处
【答案】C
【分析】本题考查了确定位置的方法，确定一个点的具体位置的方法是确定点所在的方向和距离，或用有
序数对，根据确定一个点的具体位置的方法判断即可．
【详解】解：A. 西长安街不能确定一个点的具体位置，故该选项错误；
B. 人民广场北偏西 方向不能确定一个点的具体位置，缺少距离，故该选项错误；
C. 北纬 ，东经 可以确定一个点的具体位置，故该选项正确；
D. 距离音乐厅 处不能确定一个点的具体位置，缺少方向，故该选项错误，
故选：C．
2．若 ，且点 在第二象限，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值，平方根，点的坐标， 熟记坐标系中各象限点的坐标符号特征是解题的关键；
根据绝对值和平方根的定义分别求出a，b值，再根据第二象限点的坐标特征求解即可．
【详解】解： ，
，
点 在第二象限，
，
，
故选：B．
3．已知点 在第三象限内，化简 的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键．
根据各象限内点的坐标特征易得 ， ，然后利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解： 点 在第三象限内，
， ，
，
故选D．
4．在平面直角坐标系中，若点 是y轴上一点．则a的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查点在坐标轴上的特征，熟练掌握点在坐标轴上的特征是解题的关键．
根据点在坐标轴上的特征得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，且点A在y轴上，
∴根据y轴上点的横坐标为0，得： ，
解得： ，
故选：A
5．若点 与点 关于 轴对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．2025
【答案】A
【分析】本题考查的是关于y轴对称的点的坐标特点，根据平面直角坐标系中两点关于y轴对称的特点，
求出m、n的值，进而求出结果．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
， ，
解得： ， ，∴ ．
故选：A．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则点 一定在第二、四象限的角平分线上
B．点 到 轴的距离是2
C．若 中 ，则点 在 轴上
D．点 可能在第二象限
【答案】C
【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的
长度对各选项分析判断即可得解．
本题考查点坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义和所在象限的判断方法．
【详解】解：A、若 ，则x、y互为相反数，点 一定在第二、四象限的角平分线上，说法正
确，故此选项不符合题意；
B、点 到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意；
C、若点 中 ，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意；
D、因为 ， ，所以点 可能在x轴上，可能在y轴上，可能在第二象限，说法正确，
故此选项不符合题意．
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形， ，点 的坐标为 ，则点
的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
分别过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，证明 ，得到 ，进
而根据点 的坐标求出 ，进而可知点 的坐标．
【详解】如图，分别过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，
所以 ，
所以 ．
因为 为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
在 和 中， ，
所以 ，
所以 ．
因为点 的坐标为 ，
所以 ．
因为点 在第一象限，
所以点 的坐标为 ．
故选：A
8．已知点 及第一象限的动点 ，且 ，设 的面积为 ，当 时，则点P的坐标为( )
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标；根据三角形面积公式及点 在第一象限的条件求解，逐项分析判断，即可
求解．
【详解】解：点 、 、 构成的 ，以 为底边，其长度为 ．
点 到 的垂直距离为 ，故面积公式为：
当 时，
或
若 ，则 ，此时点 为 ，在第一象限，符合条件
若 ，则 ，此时点 为 ，在第四象限，不符合第一象限要求
选项C包含 ，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数 值，排除．
综上，唯一符合条件的点为 ，对应选项A．
故选：A．
9．如图，长方形 的两边 、 分别在 轴、 轴上，点 与原点重合，点 ．将长方形
沿 轴无滑动的向右滚动，经过第1次滚动，点 对应点记为 ；经过第2次滚动，点 对应点记
为 ；……；以此类推，经过第2025次滚动，点 对应的坐标为__________．
A． B． C． D．【答案】D
【分析】先确定长方形的边长，分析滚动过程中坐标的变化规律，找出循环周期，再根据周期计算第
次滚动后点 的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形滚动的坐标变化规律，熟练掌握找循环周
期及根据周期计算坐标的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ．
第一次滚动后， 的坐标为 ；
第二次滚动后， 的坐标为 ；
第三次滚动后， 的坐标为 ；
第四次滚动后， 的坐标为 ．
观察可得滚动周期为 ，每滚动 次，横坐标增加 ，纵坐标按 循环．
，即经过 个完整周期后，再滚动 次．
一个周期横坐标增加 ， 个周期横坐标增加 ．
初始 ，经过 个周期后对应点横坐标为 ，再滚动 次（第一次滚动规律），横
坐标变为 ，纵坐标为 ．
所以 的坐标为 ．
故选： ．
10．在平面直角坐标系中，若点 到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点 到两坐标轴距离之差的绝对值，
则称 ， 两点互为“等差点”，例如 和 到两坐标轴距离之差的绝对值都等于 ，它们互
为“等差点”．若点 和点 互为“等差点”，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先算出点 到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点 到两坐标轴距离之
差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解 的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键．
【详解】解：点 到两坐标轴的距离之差的绝对值为 ，点 到两坐标轴的距离之差的绝对值为
，
∴ ，
，
∴ 或 ，
解得 或
故选：
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点 在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．根据各象限内
点的坐标特征解答即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴点 在第四象限．
故答案为：四．
12．已知点A坐标 ，在点A左侧有一点 ，若 ，则
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，根据点
A和点B的纵坐标相等，得到 轴，再根据A、B两点间的距离求出点B的横坐标，即可得解．
【详解】解： 点A坐标 ，在点A左侧有一点 ，
轴，
，，
故答案为： ．
13．以水平数轴的原点 为圆心，过正半轴 上的每一个刻度点画同心圆，将 逆时针依次旋转
得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点 的坐标分别表示为
，则点 的坐标表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查特殊坐标确定位置，读懂题意，理解题中“圆”坐标系是解决问题的关键．数形结合，
由点 的坐标分别表示为 ，横坐标表示离圆心 的半径，纵坐标表示所在的射线上对应
的角度，按照这个规则写出点 的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，点 在第 圈、在 的射线上，则点 的坐标表示为 ，
故答案为： ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点P是y轴上的一个动点，则 的最
小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ，由轴对称
的性质可得， ， ，从而可得当点 、 、 在同一直线上时， 的值最小，为
，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ，
，
由轴对称的性质可得， ， ，
∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 的值最小，为 ，
由勾股定理可得： ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
15．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点P的伴随点．已知点 的
伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，…，这样依次得到点 ， ， ，…， ，…．
若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每 个点
为一个循环依次循环，用 除以 ，根据商和余数的情况确定点 的坐标即可．【详解】解：∵ 的坐标为 ，
∴ ， ， ， ， ，
以此类推，每4个点为一个循环依次循环，
∵ ，
∴点 的坐标与 的坐标相同，为 ，
故答案为： ．
16．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点C在x轴上，如果 ，则点C的坐标是
．
【答案】 或 / 或
【分析】本题考查的是坐标与图形，平面直角坐标系内三角形的面积的计算，熟练的表示坐标系内线段的
长度是解本题的关键．
设 再利用三角形的面积公式列方程，从而可得答案．
【详解】解：如图，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 面积为 ，
∴
解得 或
点坐标为 或 ．故答案为： 或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．如图所示的网格处于某个平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，如果点A的坐标为 ，
点E的坐标为 ．
(1)在图中画出这个平面直角坐标系；
(2)求点B，C，D的坐标；
(3)如果该平面直角坐标系中另有一点 ，请你在图中描出点F．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查平面直角坐标系：
（1）根据点A和点E的坐标及位置，确定坐标原点，进而建立坐标系；
（2）根据各点在坐标系中的位置可写出坐标；
（3）根据坐标在坐标系中描点即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如下图所示：
（2）解：由图可得 ；（3）解：如图，点 即为所求．
18．在平面直角坐标系中，已知点 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)在 轴上是否存在一点 ，使得 的面积等于 面积的一半？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 点坐标为 或
【分析】本题考查的是绝对值的非负性及坐标与图形，
（1）根据绝对值及平方的非负性求出 的值即可；
（2）先求出 ，设 ，作 轴于点D，分三种情况：当点M在y轴负半轴上时或当点
M在y轴正半轴且在直线 上方时或当点M在y轴正半轴且在直线 下方时，分别列方程解决即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
所以可得 ，
解得 ．
（2）解：存在， 点坐标为 或 ，理由如下：∵ ，
则 ，
∴ 的长度为 ，点 到 轴的距离就是 点的纵坐标的绝对值为 ，
∴ ．
设 ，作 轴于点D，
∵ ，则 ，
则 ，
当点M在y轴负半轴上时，如下图，
，
，
，
解得：
；
当点M在y轴正半轴上且在直线 上方时，如下图，，
，
，
解得：
；
当点M在y轴正半轴且在直线 下方时，此时点M在点O处时 面积最大 ，
故此种情况不存在，舍去；
综上所述， 点坐标为 或 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ．
(1)在图中作出 关于 轴的对称图形 ，并直接写出点 的坐标；
(2)求 的面积；(3)若点 与点 关于 轴对称， ，求出点 的坐标．
【答案】(1)图见解析，点 的坐标为
(2)
(3)点 的坐标为 或
【分析】本题考查了画轴对称图形，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， ，依次连接即可；
（2）把三角形的面积看成矩形面积减去三个三角形面积即可；
（3）根据题意可知 的纵坐标到 轴的距离为 ，即可列出关于 的方程，解方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求，点 的坐标为 ．
（2）解： ．
（3）解： 点 与点 关于 轴对称， ，
，
或 ，
点 的坐标为 或 ．
20．已知点 ，(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2)若点 ，且 轴，求a的值；
(3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐
标特点．
（1）在y轴上的点横坐标为0，据此列出方程求解即可；
（2）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此求出a的值即可；
（3）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，点到x轴的距离
为该点纵坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为8建立方
程求出a的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 在y轴上，横坐标为0，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 轴，
∴点P与点Q的纵坐标相同，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ 是第二象限的点，
∴ ， ，
∴点P到x轴的距离为： ，点P到y轴的距离为： ，∴ ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ．
21．在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标为 ．将点 到 轴的距离记作为 ，到 轴的距
离记作为
．
(1)若 ，则 ___________
(2)若 ， ，求点 的坐标；
(3)若点 在第一象限，且存在常数 ，使得不论 为何值，等式 一定成立，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）先根据 求出点 坐标，再分别确定 （点到 轴距离，即纵坐标绝对值）、 （点到
轴距离，即横坐标绝对值），最后求和．
（2）由 判断横、纵坐标正负，得出 ， ，再根据 列方程求解 ，进
而得点 坐标．
（3）根据第一象限点的坐标特征，确定 ， ，代入等式 整理，利用不论 为何
值等式恒成立，即含 项系数为 求解 ．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、绝对值的性质以及等式恒成立问题，熟练掌握点到坐标
轴的距离与坐标的关系、根据条件化简绝对值、利用等式恒成立求解参数是解题的关键．
【详解】（1）解：当 时，点 坐标为 ，即
；（2）解： ，则 ，
；
又 ，
，
解得 ，
当 时， ，
点 坐标为 ；
（3）解： 点 在第一象限，
， ，
∴
；
将 、 代入 得：
∴
不论 为何值，等式恒成立，
解得 ．
22．在平面直角坐标系中，一点从 开始按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移
动1个单位长度，其运动路线如图所示．根据规律，解决下列问题．
（1）填写下列各点的坐标：点 （___，___），
点 （___，___），
点 （___，___），
……
点 的坐标为 _________．
（2）指出从点 到点 的移动方向：_________．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）向右
【分析】本题考查同学们在平面直角坐标系中，循环问题的循环规律，通过奇偶性的不同来分别讨论，通
过横纵坐标的不通规律分别讨论，最后通过坐标上两点间的距离求解．
（1）通过图象，推理可得到 的坐标情况，通过分析各个点的坐标，找到对应的规律，通过分别讨论每
个点的横、纵坐标来总结规律；
（2）根据（1）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得从点 到点 的移动方向．
【详解】解：（1）由图可知， 、 、 、 、 、 ，……，
， ，
根据各点坐标的规律可知，n为偶数时， 的横坐标为 ，n为奇数时， 的横坐标为 ，n的纵坐标
为4次一循环，循环顺序为 → →0→0→ ，
为奇数，
点 的横坐标为 ，
，
点 的纵坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：因为每四个点一个循环，
所以 ，
所以从点 到点 的移动方向是向右．
23．阅读材料：
如图1，为了求平面直角坐标系中任意两点 之间的距离，可以以 为斜边作 ，
则点 的坐标为 ，于是 ， ，根据勾股定理，得
．因此，我们把 叫做 两点之间的距离公式，记作
．
根据上面材料，回答下面的问题：
(1)在平面直角坐标系中，已知点 ，则线段 的长为______；
(2)若点 在 轴上，点 的坐标是 ，且 ，则点 的坐标是______；
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点 ，点 是 轴上的一个动点，且 三点不在同一直
线上，求 的周长的最小值．
【答案】(1)6
(2) 或(3)
【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键．
（1）根据坐标的特征即可解答；
（2）设点 ，利用勾股定理列方程即可解答；
（3）设点 关于 轴的对称点为点 ，则点 的坐标为 ，连接 ，当点 为 与 轴的交点时，
的周长最小，再利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：设点 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
点 的坐标为 或 ．
（3）解：如图，设点 关于 轴的对称点为点 ，则点 的坐标为 ．
连接 ，当点 为 与 轴的交点时， 的周长最小．
，
的周长 ．
点 的坐标分别为 ，
， ．的周长的最小值为 ．
24．新定义：对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为 （其中 为常数，
且 ），则称点 为点 的“ 属派生点”．
例如： 的“2属派生点”为 ，即 ．
(1)点 的“2属派生点” 的坐标为________；
(2)若点 的“3属派生点” 的坐标为 ，则点 的坐标为________；
(3)若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 属派生点”为点 ，且线段 的长度为线段 长度的2倍，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形：
（1）根据“k属派生点”的定义即可得；
（2）设点 的坐标为 ，根据“k属派生点”的定义列方程组求解即可；
（3）根据题意得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求出 和 ，根据线段 的长度为线段
长度的2倍列方程求解即可
【详解】（1）解：点 的“2属派生点” 的坐标为 ，
即 ，
故答案为： ；
（2）解：设点 的坐标为 ，
由题意知 ，
解得： ，即点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：∵点 在 轴的正半轴上，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴线段 的长为 到 轴距离为 ，
∵ 在 轴正半轴，线段 的长为 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
25．综合与探究
如图①，在平面直角坐标系中，点 ，且a，b满足 ，点C在x轴正半轴上，
．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的
运动时间为t秒，连接 ，过点C作 的垂线交射线 于点M，交y轴于点N．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)当点P在线段 上时，如图②所示，求线段 的长度（用含t的式子表示）；
(3)若 ，则t的值为______；
(4)若 ，是否存在以 为腰的等腰三角形 ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)4或8(4)存在，点P的坐标为 或
【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用
这些性质解决问题是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可得 和 的值，确定点 和 的坐标；
（2）先求得点C的坐标，证明 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（3）分两种情况，列出方程可求出答案；
（4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ；
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）知， ， ，
， ，
，
，
，
当点 在线段 上时，即 时，
如图1，由运动知， ，
，
，
，
，
，在 和 中，
，
，
；
（3）解：当点 在线段 上时，
，
；
当点 在 轴正半轴时，即 ，
如图2，由运动知， ，
，
同（2）的方法得， ，
，
，
即 时， 的值为4或8；
故答案为：4或8；
（4）解： ， ，点 ，
， ， ，
当 时， ，
，点 ；
当 时，
又 ，
，，
，点 ，
综上所述：点P的坐标为 或 ．
