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第七章 证明（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列语句不是命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．作直线 垂直于直线
C．若 ，则 D．同角的补角相等
【答案】B
【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键．
判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可．
【详解】A、是命题，故不合题意；
B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意；
C、是命题，故不合题意；
D、是命题，故不合题意；
故选：B．
2．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．对顶角相等． B．作一条直线和已知直线垂直.
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. D．图形的平移不改变图形的形状和大小.
【答案】C
【分析】本题考查定义问题．掌握定义是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成．被定义项是需要明
确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来连接定义项和被定义项的．按照定义三
项进行排查即可．
【详解】A、对顶角相等是命题不是定义；
B、作一条直线和已知直线垂直是作图语句不是定义；
C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，平行线是被定义项，不相交的两条直线是定义
项，叫做定义联项；
D、图形的平移不改变图形的形状和大小是平移的性质不是定义．
故选：C
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、高都是直线
B．从三角形同一顶点引出的高、中线、角平分线中，高线最短C．三角形的高、中线、角平分线一定都在三角形内部
D．从三角形一顶点引出的高、中线、角平分线一定不重合
【答案】B
【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高的概念及性质，解题关键是准确理解三角形角平分线、中
线、高的定义．结合不同类型三角形（锐角、直角、钝角三角形）的特点来分析每个选项即可．
【详解】A．三角形的角平分线、中线、高都是线段，错误，故本选项不符合题意；
B．从三角形同一顶点引出的高、中线、角平分线中，根据垂线段最短的性质，高线最短，正确，故本选
项符合题意；
C．钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高是直角边，并不都在三角形内部，错误，故
本选项不符合题意；
D．等腰三角形（包括等边三角形）底边上的高、中线、角平分线是重合的，错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．下列命题中，逆命题正确的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．对顶角相等
C．若两个角是直角，那么这两个角相等
D． 如果两个实数相等，则它们的绝对值相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题的逆命题，判断命题的真假，平行线的判定方法，对顶角的定义等；写出各个命
题的逆命题逐一进行判断真假，即可求解．
【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行；此命题是真命题，故符合题意；
B、逆命题为：相等的角是对顶角；相等的角不一定是对顶角，此命题是假命题，故不符合题意；
C、逆命题为：若两个角相等，那么这两个角是直角；若两个角相等，那么这两个角不一定是直角，此命
题是假命题，故不符合题意；
D、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，则它们相等；如果两个实数的绝对值相等，则它们相等或互
为相反数，此命题是假命题，故不符合题意；
故选：A．
5．如图，下列判断错误的是（ ）A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，关键是掌握 “两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，
内错角相等”．
【详解】 、因为 与 是两直线 与 的同旁内角，又因为 ，所以
， 选项不符合题意；
、当 时，因为 与 为同旁内角，“两直线平行，同旁内角互补”，所以
， 选项不符合题意；
、由于 和 为直线 与 的内错角，当 时，可知 “内错角相等，两直线平行” ，即
， 选项不符合题意；
、由于 和 为直线 和 的内错角，因此， 并不能推出 ， 选项符合题意．
故选： ．
6．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源 点照射到抛物线上的光线 ，
等反射以后沿着与 平行的方向射出，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得 ，
，再根据角的和差即可解题．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．7．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
证明：延长 交 ※ 于点 ，
因为 ，
所以 ◎ ．
又 ，得 ▲ ，
故 ．（ @ 相等，两直线平行）
则回答正确的是（ ）
A．◎代表 B．@代表同位角 C．※代表 D．▲代表
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形外角性质，利用三角形外角的性质、邻补角的概念、
等量代换及平行线的判定求解可得．
【详解】证明：延长 交 于点 ，
因为 ，
所以 ．
又 ，得 ，
故 ．（内错角相等，两直线平行）
所以※代表 ，C选项错误，◎代表 ，A选项错误，▲代表 ，D选项正确，@代表内错角，
B选项错误，
故选：D．
8．在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线 、 ，诗诗、麦
麦、皓皓三位同学的做法如图所示：
上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（ ）
A．仅皓皓同学 B．诗诗和皓皓 C．麦麦和皓皓 D．诗诗和麦麦【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案，熟记平行线的判定
定理是解题的关键．
【详解】解：诗诗：∵ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）；
麦麦：∵ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）；
皓皓：如图，
∵ ，
∴ （同位角相等，两直线平行）；
故选：D ．
9．如图，已知直线 ，点E，F分别是 ， 上的两点．点H在直线 的上方，
， 平分 ，当 时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过 作 ，过 作 ，设
， ，可得 ，证明 ，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，过 作 ，过 作 ，设 ， ，∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：D
10．如图，已知 ， 平分 ， 平分 ，则下列结论中：① ；② 平分
；③ ；④ ，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，根据平行线的性质可得 ，根
据角平分线定义和平行线的性质可以得出 ，根据同位角相等，两直线平行
可以得出 ，再根据平行线的性质判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据已知不能得出 ，
即不能得出 平分 ，故②错误；
∵ ，
∴ ，③错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
即正确的有2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数也相等”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质．根据实数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等或互为相反数，
∴“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等”是假命题，
故答案为：假．
12．“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ．
【答案】 同位角相等 两直线平行
【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键．
由命题的题设和结论的定义进行解答．
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”
所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分；
故答案为：同位角相等；两直线平行．
13．如图，木条 ， 与木条 钉在一起， ，转动木条 ，当 时，木条 与 平行．【答案】 /45度
【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角、同位角相等两直线平行是解题的关键；
由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．
【详解】解： ,
要使木条 ，由内错角相等，两直线平行得：
当 时， ．
故答案为： ．
14．如图，现将一块三角板的 角的顶点放在直尺的一边上，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行的性质和平角的定义，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．先根
据两直线平行的性质，得到 ，再根据平角的定义，即可得出 的度数．
【详解】解：如图所示：
直尺的对边相互平行，
，
，
，
∵将一块三角板的 角的顶点放在直尺的一边上，
，
，
故答案为： ．15．如图，将长方形 的一角折叠，以 （点 在 上，不与A， 重合）为折痕，得到 ，
连接 ，设 ， 的度数分别为 ， ，若 ，则 ， 之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是
解题的关键．
根据长方形的性质，折叠的性质得到 ，根据平行线的性质，直角三角形两锐角
互余得到 ，化简即可求解．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
16．如图， ，连接 、 、 ，点 在 上，过点 作 交 于点 ，连接
交 于点 ， ， ， ， ， 且为偶数，则 与
的比值为 ．【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，根据三角形的三边
关系并结合已知可求出 ，根据平行线的性质、三角形的内角和定理并结合已知可得出
，然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， 且为偶数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．举反例说明下列命题是假命题．
(1)任何偶数都是4的整数倍；
(2)对于任意有理数x，代数式 的值总是正数；(3)有公共顶点且相等的角是对顶角．
【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一）
(2) 是有理数，但 不是正数（答案不唯一）
(3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题
的结论．据此判断即可．
【详解】（1）解：偶数 ， ，不是整数，所以 不是 的整数倍，说明“任何偶数都是 的整数
倍”是假命题．
所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍；
（2）解：当 时， ， 是负数，不是正数，说明“对于任意有理数 ，代数式
的值总是正数”是假命题．
所以反例为： 是有理数，但 不是正数；
（3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等
的角是对顶角”是假命题．
所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．
18．如图，已知 ，射线 交 于点 ，交 于点 ，从 点引一条射线 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若命题“已知 ________，则 ”是真命题，请填空，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平
行同旁内角互补是解决问题的关键．
（1）由对顶角定义得到 ，结合题意，等量代换即可得到 ，最后由同位角相等两直
线平行即可得证；
（2）由 ，得到同位角 ，由 ，得到同旁内角互补，即可得到答案．【详解】（1）证明： 和 是对顶角，
，
，
，
；
（2）解：已知 ，则 ，
理由如下：
，
，
，
，
，
故答案为： ．
19．如图，直线 交于点 分别平分 ，且 ．
(1)判断 是否平行，并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ；
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的
关键．（1）由角平分线定义可得 ，则可求得 ，从而可
求得 ，即可判定 ；
（2）由（1）可知 ，再根据 ，结合角的和差倍分进一步求解 ，然后
根据两直线平行，内错角相等求得 的度数．
【详解】（1）解： ，理由如下：∵ 分别平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得： ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，代入 ，
∴ ，
解得： ，
由（1）得 ，
∴ ．
故 的度数为 ．
20．根据推理过程，填空∶
已知∶如图， ， ，求证： ．
证明：∵ (已知)
∴ （ ① )．
∴ ( ② )．
又∵ (已知)
∴ ③ ( ④ )，即 ．
∴ ⑤ ⑥ ( ⑦ )．
∴ (⑧)．【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法和平行线的性质，进行作答即可．
【详解】解：证明：∵ (已知)
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴ ( 两直线平行，内错角相等)．
又∵ (已知)
∴ ( 等量代换 )，即 ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
∴ ( 两直线平行，内错角相等)．
21．如图，在 中， 是 的平分线，交边 于点 ，在 上取点 ，连接 ，使
．
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证 ，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互
补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等．
（2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出
的度数．
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【详解】（1）证明： 是 的平分线，
，
又 ，
，
；
（2）解： ，
，
在 中， ， ， ，
，
平分 ，
，
在 中， ，
．
22．观察下列各式，解答问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
…
(1)请按照以上规律写出第6个等式： ；
(2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成
立，请举反例．
【答案】(1)(2) ；该等式一定成立，理由见解析
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题；
（2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题．
【详解】（1）解：因为 ；
；
；
；
；
…，
所以第n个等式可表示为： ；
当 时，
第6个等式为： ；
故答案为： ；
（2）由（1）知，
第n个等式可表示为： ；
该等式一定成立，理由如下：
左边 右边，
所以此等式一定成立．
23．如图， 平分 ， 平分 ， ，点 在射线 上，直线 ，垂足为
点 ．设 ．
(1)请用含x的式子表示 的大小；(2)求证 ；
(3)设直线 与射线 交于点 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与
性质、角平分线的性质、垂线的定义，是解题的关键．
（1）由角平分线的性质可得 ，由 代入进行计算即可得到答案；
（2）由角平分线的性质可得 ， ，从而得到 ，由
可得 ，由（1）可得 ，从而得到
，最后由 ，即可得证；
（3）由平行线的性质及角平分线的性质，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，垂足为点 ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）解：由（2）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
24．如图，四边形 中， ， ．
(1)求证： ；(2)求证： ；
(3)若 平分 ，请探究 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查角的和差，平行线的判定与性质；
（1）根据 ，得到 ，即 ；
（2）由 得到 ，结合 ， ，得到 ，即可证明
；
（3）由 平分 ，得到 ，设 ，由 ，得到 ，
代入后得 ， ，由 ，得到 ，
，则 ，整体代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ．
25．综合与实践
如图1， ， 为直线 上的点， 和 交于点 ．
(1)若 ，则 的度数是______．
(2)写出 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2， 平分 ， 平分 ． ，直接用含 的代数式表示 的度数．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）过点E作直线 ，进一步利用平行线的性质求解即可．
（2）如图，过点 作 ，进一步利用平行线的性质求解即可．
（3）由（2）可知 ，进一步结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：过点E作直线 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ．
理由：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
即 ．
（3）解： ．理由如下：
由（2）可知 ，
平分 ， 平分 ，
，
，
，
∴ ．
