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第四章 一次函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如 （k为常数， ）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、 满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；
B、 满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；
C、 满足一次函数的定义，故该选项不符合题意；
D、 不满足一次函数的定义，故该选项符合题意；
故选：D
2．下列各点中，在直线 上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
”是解题的关键．
依据题意，将下列各选项中的点的横坐标代入解析式，如果左右两边的值相同，即为在直线 上的点，
据此计算判断得解．
【详解】解：A．当 时， ，则点 不在直线 上，选项A不符合题意；
B．当 时， ，则点 在直线 上，选项B符合题意；
C．当 时， ，则点 不在直线 上，选项C不符合题意；D．当 时， ，则点 不在直线 上，选项D不符合题意．
故选：B．
3．已知汽车油箱中有油30升，行驶时油从油箱中均匀流出，流速为0.1升/分钟，则油箱中剩余油量
（升）与流出时间 （分钟）的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数关系式，理解“剩余油量 总油量 流出油量”是正确解答的前提．
根据“剩余油量 总油量 流出油量”，用代数式表示流出油量即可．
【详解】解：根据“剩余油量 总油量 流出油量”可得，
，
故选：B．
4．已知一次函数 的图象如图所示，则方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数 的图象经过点
， 即当 时，自变量 的值就是对应的一元一次方程 的解，掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】解：根据图象可得，一次函数 的图象经过点 ，
∴方程 的解是 ，
故选： ．
5．已知 ， ， 是直线 为常数 上的三个点，则 ， ， 的大小关系是（
）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 ，利用一次函数的性质，可得出 随 的增大而减小，再结合 ，即可得出
．
本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”是解题的
关键．
【详解】解： ，
随 的增大而减小，
又 ， ， 是直线 为常数 上的三个点，且 ，
．
故选：B．
6．已知： 是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．函数图象与y轴的交点为
C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，
一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴y值随x值的增大而减小，故C错误，函数图象经过第一、二、四象限，故D错误
当 时，
∴函数图象与y轴的交点为 ，故B正确，当 时， ，故A错误，
故选：B．
7．华氏温度规定：在一个标准大气压下，纯净的冰水混合物的温度为 ，（ ，读作华氏度），将（ ，读作摄氏度）之间划分为180等份，每一等份就是 ，已知 与 的换算公式为：
．根据以上信息，下列说法错误的是（ ）
A． 相当于
B．每增加 ，相当于增加
C．华氏度 与摄氏度 是一次函数关系
D．小明的体温为 ，他的体温约为
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据 与 的换算公式为 ，结合一次函数的性质逐项
分析即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、当 时， ，故 相当于 ，此选项正确；
B、由 与 的换算公式可得，每增加 ，相当于增加 ，此选项错误；
C、由 与 的换算公式可得，华氏度 与摄氏度 是一次函数关系，此选项正确；
D、当 时， ，解得 ，故小明的体温为 ，他的体温约为 ，此选项正
确；
故选：B．
8．已知 是 的函数；若函数图象上存在一点 ，满足 ，则称点 为函数图象上的“姐妹
点”．例如：直线 上存在的“姐妹点” ．直线 上的“姐妹点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解一次函数图象上点的坐标满足一次函数的表达式，
及“姐妹点”的定义是解决问题的关键．
先设直线 上的“姐妹点”的坐标是 ，再根据“姐妹点”定义得 ，然后将点M代入 之中求出m即可得出答案．
【详解】解：设直线 上的“姐妹点”的坐标是 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵点M是直线 上的“姐妹点”，
，
∴ ，
∴点 ，
故答案为：D．
9．如图①，在 中， ，D为 的中点，动点P从点A出发沿 运动到点B，设
点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则 的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当 时，
的面积最大，此时点 运动到点 ，此时 ，利用三角形面积求出 的长，再利用勾股定理
即可求解．
【详解】解：由题图②可知，当 时， 的面积最大，此时点 运动到点 ，
．
为 的中点，
，即 ，解得 ．
在 中， ，
故选：A．
10．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序．
a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间
的关系）；
b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）；
c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）；
d.小明从 地到 地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离 地的距离与时间的关系）．
正确的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实
际情况作出选择即可．
【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上
变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象；
b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的
变化越来越大，故为第四个图象；
c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，
因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象；
d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个
过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的
增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象．
综上，正确的顺序是 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过的象限是 ．【答案】第四象限
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于 与 轴交于 ，当 时， 在 轴的
正半轴上，直线与 轴交于正半轴；当 时， 在 轴的负半轴，直线与 轴交于负半轴．当 ，
的图象在一、二、三象限； ， 的图象在一、三、四象限； ，
的图象在一、二、四象限； ， 的图象在二、三、四象限．根据一次函
数的解析式可得 ， ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴一次函数 的图象不经过的象限是第四象限，
故答案为：第四象限．
12．已知点 在一次函数 的图象上，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数
图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即
可．
【详解】解：将点 坐标代入 得，
，
则 ，
所以 ，
故答案为： ．
13．已知一次函数 ，当 时，函数 的最大值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据 时，y随x的增大而减小， 当 时，函数 取得最大值，即可求解．
【详解】解：由 ，得
一次函数 的函数值随着x的增大而减小，
∵ ，
∴当 时，函数 的最大值为 ．故答案为：8．
14．如图，在长方形 中， ， 是边 上的动点，且不与点 ， 重合．设 ，
梯形 的面积为 ，则 与 之间的关系式是 ．（写出自变量 的取值范围）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以 是解答的关键．根据
是长方形知 ， ， ，若设 ，则 ，在梯形 中，
上底为 ，下底为 ，高为 ，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据 不与
、 重合求出 的范围．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，以 为一边作正方形 ，使得
点 在 轴正半轴上，延长 交直线于点 ，按同样方法依次作正方形 、正方形 、
正方形 ．使得点 均在直线 上，点 在 轴正半轴上，则点
的纵坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数
图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点 、 的坐标，同理可得出 、 、 、 、 的坐
标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当 时，有 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
∵四边形 为正方形，
∴点 的坐标为 ．
当 时，有 ，解得： ，
∴点 的坐标为 ．
同理，可得出： ，
∴ 的纵坐标为 （ 为正整数），
∴点 的纵坐标是 ．
故答案为： ．
16．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，若点 是 轴上一点（不与点A重合），且
，则点 的坐标为 ．【答案】 或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点，一次函数与几何综合，解题的关键在于根据 建
立等式．
利用解析式求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，再结合
建立等式求解，即可解题．
【详解】解： 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
当 时， ，当 时， ，解得 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 是 轴上一点（不与点A重合），且 ，
点 在点 右侧，
设点 的坐标为 ，
则 ，
整理得 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．已知 关于 的函数解析式为 （ 为常数）．
(1)若 是 的正比例函数，求 的值．
(2)若 ，求该函数图象与 轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数与 轴的交点坐标；
（1）由 是 的正比例函数，可得 ，再进一步求解即可；
（2）由 ，可得 ．令 ，即 ，从而可得答案．
【详解】（1）解： 是 的正比例函数，
，
解得 ．
（2）解：∵ ，则 ．
令 ，即 ，
解得 ，
该函数图象与 轴的交点坐标为 ．
18．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴于点 ．
(1)求 ， 两点的坐标；
(2)过点 作直线 与 轴负半轴交于点 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)点A的坐标为 ，则点B的坐标为(2)12
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数与x轴，y轴的交点，直线围成时三角形面积，
解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
（1）分别令x，y为0即可得出点A，B两点的坐标；
（2）画图结合三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，
解得： ，
则点A的坐标为 ，
当 时， ，则点B的坐标为 ．
（2）解： 当点P在x轴的负半轴上时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
19．已知 与 成正比，且 时， ．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)当 时，求 的值；
(3)将所得函数的图象平移，使它过点 ，求平移后图象的表达式．
【答案】(1) 关于 的函数表达式为 ；
(2) ；
(3)平移后图象的表达式为 ．
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，（1）根据题意设 ；然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）把 代入一次函数解析式可求得；
（3）设平移后直线的解析式为 ，把点 代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式．
【详解】（1）解：依题意设
∵ 时， ，
∴ ，解得
∴ 关于 的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ；
（3）解：将函数 平移的表达式设为
因为平移后的函数 的图象经过点 ，
所以 ，
解得
因此，平移后图象的表达式为 ．
20．点 在第一象限，且 ，点A的坐标为 ，设 的面积为S．
(1)用含x的式子表示S，并直接写出x的取值范围．
(2)当点P的横坐标为5时， 的面积为多少？
(3) 的面积能大于24吗？为什么？
【答案】(1)
(2) 的面积为9
(3) 的面积不能大于24，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形面积，坐标所在的象限，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据 ，将 代入整理可得 ，根据条件确定x的取值范围即可；
（2）将 代入（1）中的解析式计算即可；（3）根据面积逆推x值，再根据x的取值范围进行判断即可．
【详解】（1）解： 和P点的坐标分别是 、 ，
，
点P在第一象限， ，
，
，
，
；
，
解得： ；
又 点P在第一象限，
，
即x的范围为： ，
；
（2） ，
∴当 时， ．
即当点P的横坐标为5时， 的面积为9；
（3） 的面积不能大于24．理由如下：
， ，
随x的增大而减小，
又 时， ，
当 ．
即 的面积不能大于24．
21．画出函数 的图象．… 0 1 …
… 1 …
(1)根据列表， ．
(2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接．
(3)点 ， ， 中，在函数 图象上的点是 （填“ ”“ ”或“ ”）．
(4)若点 在函数 的图象上，求出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)C
(4)5
【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上：
（1）将值代入求解即可得到答案；
（2）根据表描点，连线即可得到答案；
（3）将点代入求解，比较判断即可得到答案；
（4）将点代入求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴
故答案为：
（2）解：描点并连接，画出图象如下：（3）解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点C在函数 图象上，点A、B不在函数 图象上，
故答案为：C
（4）解：∵点 在函数 的图象上，
∴ ，
解得： ．
22．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本 笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，
一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案：
甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本；
乙方案：所有商品按总价的9折出售．
(1)分别求出甲方案的实际付款金额 与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额 与x的函数关系式；
(2)如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱．
【答案】(1)甲方案的实际付款金额 与x的函数关系式为 ，乙方案的实际付款金额 与x的函
数关系式为 ；
(2)当 时，选择甲方案更省钱；当 时，两种方案花费都一样；当 时，选择乙方案更省
钱
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可；
（2）根据（1）所求，分三种情况讨论，计算即可得到答案．【详解】（1）解：由题意，得
；
；
答：甲方案的实际付款金额 与x的函数关系式为 ；乙方案的实际付款金额 与x的函数关系
式为 ；
（2）解：当 时，则有：
，
解得 ，
∴当 时，两种方案花费都一样，
当 时，则有： ，
解得 ，
∴当 时，选择乙方案更省钱，
当 时，则有： ，
解得 ，
又∵ ，
∴当 时，选择甲方案更省钱，
答：当 时，选择甲方案更省钱；当 时，两种方案花费都一样；当 时，选择乙方案更
省钱．
23．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 在 轴的
负半轴上，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴正半轴上的点 处．(1)求点 和点 的坐标以及 的长；
(2)求点 和点 的坐标；
(3) 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) , ，
(2) ,
(3) 或
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与
坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键．
（1）令 ，求出 ；令 ，求出 ；继而求出 ；
（2）由折叠的性质可知， ， ，则 ，即 ；设 ，
则 ， ，依题意得， ，计算求解，然后作答即可；
（3）存在；由 ，可得 ，可求出 ，进而可求点 坐标．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： ，
；
令 ，则 ，
；
， ，
；
（2）解：由折叠的性质可知， ， ，
则 ，
；设 ，
则 ， ，
，
解得： ，
；
（3）解： 轴上存在一点 ，使得 ，理由如下：
，
，
解得： ，
点 的坐标为 或 ．
24．阅读与理解
定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， ，如果点 满足 ，
，那么称点 是点 ， 的“和谐点”．
例如 ， ，当点 满足 ， ，则称点 是点 ， 的
“和谐点”．
(1)直接写出点 ， 的“和谐点” 的坐标______；
(2)已知点 是点 ， 的“和谐点”，当点 向左平移3个单位，求点 的像点 的坐标；
(3)点 ，点 ，点 是点 ， 的“和谐点”．
①求 与 之间的函数关系式；
②若直线 交 轴于点 ，当 时，求点 的坐标．【答案】(1) ；
(2) ；
(3)① ；② ．
【分析】本题考查了直角坐标系下“和谐点”的定义，直角坐标系下点的平移，函数解析式的求解，需理
解题目已知的“和谐点”的定义，由“和谐点”的定义求解是解决本题的关键．
（1）根据“和谐点”的概念，计算 ， 即可求解．
（2）先由“和谐点”的定义求解点P的坐标，再由直角坐标系下点的坐标平移规律，即“左右平移纵坐
标不变，横坐标左减右加相应的单位长度”求解即可．
（3）①先由“和谐点”的定义表示出x和y，再根据t的表达式求解即可；
②根据点 、点 的横坐标相同，可求解x的值进而可求解t的值，即可求解点E的坐标．
【详解】（1）解：∵点 ， ，
设点 ，
∴有 ， ，
∴点 的坐标 ；
故答案为： ．
（2）解：设 ，
∵点 是点 ， 的“和谐点”，
∴ ，
∴ ，∴点 向左平移3个单位的像点 的坐标为 ．
（3）①解：∵点 是点 ， 的“和谐点”，
；
，
，
即 ；
②解：∵直线 交 轴于点 ， ，
点 、点 的横坐标相同，
，
，
，
故 ．
25．建立模型：如图1，等腰 中， ，直线 经过点 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，可证明得到 ．
模型应用：
(1)如图2，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，经过点 和第一象限点 的直线 ，且
，求点 、点 和点 的坐标；(2)在（1）的条件下，求 的面积；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点 ，连接 ，在 轴左侧的平面内是否存在一点 ，使得
是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)10
(3)存在，点 的坐标为 或 或 ，理由见解析
【分析】（1）过点C作 轴于点H，根据直线 解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余
得出 ，利用“ 可证得” ，得到 ，即可求解；
（2）连接 ，由（1）中A、B、C的坐标可知 ，再利用
即可求解；
（3）设 ，分情况计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作 轴于点H，
直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
当 时， ；当 时， ，
，
，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
点C的坐标为 ；
（2）连接 ，
由（1）可知 ， ，
，
；
（3）存在，理由如下：
设 ，
当点P为直角顶点，Q在 上方时，过点P作 轴交x轴于点T，过点 作 交 的延长线
于点K，如图：同（1）可证 ，
，
，
解得 ，
；
当点P为直角顶点，Q在 下方时，过点P作 轴交x轴于点T，过点 作 交 的延长
线于点K，如图：
可得 ，
，
，
；当O为直角顶点，过点P作 轴交y轴于点K，过点 作 于点T，如图：
可得 ，
，
，
；
综上所述，点Q的坐标为 或 或
