文档内容
冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题五 解析几何（解析版）
第一部——高考真题练
1．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于
A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判
断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.3．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D
的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
5．（2021·全国·统考高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
6．（2021·全国·统考高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；
分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线
的距离的取值范围是 .
7．（2020·海南·高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
第二部——基础模拟题
8．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知椭圆 的上顶点为 ，两个焦
点为 ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 两点，若 的周长是26，则（ ）
A． B．
C．直线 的斜率为 D．
【答案】ACD
【分析】根据离心率为 ，得到 为等边三角形，再由过 且垂直于直线 的，得到 ，
为等腰三角形，再根据 的周长，得到a，进而得到b，c，然后设DE所在直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式验证D选项.
【详解】解：如图所示：
∵椭圆 的离心率为 ，
∴不妨设椭圆 ．
∵ 的上顶点为 ，两个焦点为 ，
∴ 为等边三角形，
∵过 且垂直于 的直线与 交于 两点，
∴ ．故C项正确．
由等腰三角形的性质可得 ．
由椭圆的定义可得 的周长为 ，
∴ ．故A项正确，B项错误．
对于D项，设 ，联立 ，
消去y得： ，则 ，
由韦达定理得 ，
所以 ，故D项正确．
故选：ACD
9．（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 向圆
作一条切线 与渐近线 和 分别交于点 （ 恰好为切点，且是渐近线与圆的
交点），设双曲线的离心率为 .当 时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当点 在第一象限时，
D．当点 在第三象限时，
【答案】BC
【分析】依据题意确定切点 不在双曲线上，根据勾股定理可计算 ，故可判断出 不正确， 正
确；画出图象，根据图象观察可求出渐进性的斜率，进一步计算离心率即可判断出
【详解】因为 且 ，所以 ，切点 不在双曲线上， 不正确， 正确；
若 ，在 中， ，当 分别在一二象限时（如图1）， ，设 的倾斜角为 ，
则 ；
当 分别在二､三象限时（如图2），设 的倾斜角为 ，
则 ，
正确， 错误.
故选：
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 过
交 于 两点， 在抛物线 的准线上的投影分别为 ，若 与 的面积比为 ，则
下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C． 与 的外接圆半径之比为
D．直线 上存在两个点 使得
【答案】ACD
【分析】利用三角形的面积公式，可先推出B选项是正确的，对于AC选项，结合抛物线焦点弦的性质，
可算出直线的倾斜角，从而发现 与 均是含有特殊角的等腰三角形，可用正弦定理解决C选项，
对于D选项，可以表示出圆的方程，检验直线 和圆的位置关系.【详解】根据抛物线的定义， ，设 ，由题意， ，
根据三角形的面积公式， ，
解得 ，B选项正确；
设 ，不妨假定A在第一象限，由于 ，如图可得 ，且显然 斜率存在，
设 方程为： ，和抛物线联立可得， ，
根据抛物线的定义和 可得， ，即 ，
结合韦达定理： ，解得 ，由 ，
由图可得 ，故解得 ，即 时，无论 取何值均符合题意，A选项错误；
C选项，由于 ，根据抛物线的定义， ，故 为等边三角形，
根据正弦定理，设 外接圆半径为 ，故 ，即 ，
又 ， ，故 ，
设 外接圆半径为 ，根据正弦定理， ，故 ，
于是 ，C选项错误；
D选项，设 ，则 ，
设以 为直径的圆经过 ，于是 ，根据A选项的分析过程， ，由 可得， ，
则圆的方程变为： ，
整理成标准方程为 ，则圆心为 ，半径为 ，
又因为直线 方程为， ，
圆心到直线 的距离为： ，而圆的半径也是 ，
故以 为直径的圆和 相切，
所以有且仅有一个点M，使得， ，D选项错误.
故选：ACD.
11．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知圆 和圆
的交点为 ，直线 ： 与圆 交于 两点，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线 的方程为B．圆 上存在两点 和 ，使得
C．圆 上的点到直线 的最大距离为
D．若 ，则 或
【答案】CD
【分析】将两圆方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断两圆相交，将两圆方程作差得到公
共弦方程，即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出 到 的距离，即可判断C，圆心 到直线 的
距离为 ，即可得到方程，判断D.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
所以 ，
所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得 ，
即直线 的方程为 ，故A错误；
圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，
对于圆 上的任意两点 ， ，故B错误；
圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，故C正确；
因为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，
故 或 ，故D正确.故选：CD
12．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了
双曲线的光学性质： ， 是双曲线的左､右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右支上一点 ，经点
反射后，反射光线的反向延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲线在点 处的切线平分 .若双
曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光线由 到 再到 所经过的路程为13
D．若点 坐标为 ，直线 与 相切，则
【答案】ABD
【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C选项，由双曲线定义可判断.
D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线 的方程为 ，所以 ，渐近线方程为 ，
选项A，因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知， ，
若 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，即B正确；
选项C： ，即C错误；
选项D，因为 平分 ，由角分线定理知， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，即D正确.
故选：ABD.
13．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线 是顶点分别为 的双曲线，
点 （异于 ）在 上，则（ ）
A．B． 的焦点为
C． 的渐近线可能互相垂直
D．当 时，直线 的斜率之积为1
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程的形式特征判断A、B；求出渐近线，利用渐近线互相垂直求解即可判断C；设点
的坐标，求解斜率之积即可判断D.
【详解】若 是双曲线，则 ，解得 ，
此时曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，
其焦点为 ， ，故选项A正确、选项B错误；
的渐近线方程为 ，当 时， 的渐近线的斜率为 ，此时两条渐近线互相垂直，
满足题意，故选项C正确；
当 时， ，其顶点坐标分别为 ， ，
设 ，则 ，故选项D正确.
故选：ACD.
14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知点 ， 动点 满足 ，则
下面结论正确的为（ ）
A．点 的轨迹方程为 B．点 到原点 的距离的最大值为5
C． 面积的最大值为4 D． 的最大值为18
【答案】ABD
【分析】设动点 ，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
【详解】设动点 ，则由 得： ，
即 ，
化简得： ，即 ，所以A选项正确；
所以点 轨迹是圆心为 ，半径为 的圆，
则点 到原点 的距离最大值为 ，所以B选项正确；
又 ， 和点 轨迹的圆心都在 轴上，且 ，
所以当圆的半径垂直于 轴时， 面积取得最大值 ，所以C选项错误；
又 ，
因为 （ ），
所以 （ ），
则 ，所以D选项正确；
故选：ABD.
15．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线 ： 上、下焦点分别为 ， ，
虚轴长为 ， 是双曲线上支上任意一点， 的最小值为 .设 ， ， 是直线
上的动点，直线 ， 分别与E的上支交于点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， .下
列说法中正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为 B．C．以 为直径的圆经过 点 D．当 时， 平行于 轴
【答案】ACD
【分析】根据题意，得出 ， ，即可求出双曲线标准方程判断A；设 ，表示出 ，
，即可判断B；利用直线与双曲线相交得出 坐标，即可判断C；利用 ，得出 的值，即可判断
D.
【详解】由题知， ， ， ，解得 ，所以双曲线方程为 ，A正确；
由A知， ， ，设 ，则 ， ，
所以 ，B错；
由上述知，直线 方程为 ，直线 方程为 ，
联立 ，得 ，因点 是异于 的上支点，
所以 ，代入直线 方程得 ，即 ，
联立 ，得 ，因点 是异于 的上支点，
所以 ，代入直线 方程得 ，即 ，
则 ， ，所以 ，即 ，所以以 为直径的圆经过 点，C正确；
当 时，即 ， ，所以代入 坐标得 ，
所以 平行于 轴，D正确.
故选：ACD
16．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设 ，过定点 的直线
与过定点 的直线 相交于点 ，线段 是圆
的一条动弦，且 ，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是
（ ）
A． 一定垂直
B． 的最大值为4
C．点 的轨迹方程为
D． 的最小值为
【答案】AB
【分析】A选项，根据两直线垂直满足的关系式进行判断；B选项，求出 和 ，由 ⊥ ，得到 ，再结合基本不等式得到答案；C选项，分析得到，点 的轨迹为以 为直径的圆，
求出轨迹方程；D选项，设 的中点为 ，求出 ，得到 点轨迹方程，进而得到 的最小值
为圆心距减去两半径，结合 求出答案.
【详解】A选项，因为 ，所以 一定垂直 ，A正确；
B选项， 变形得到 ，从而 ，
变形得到 ，从而 ，
由 ⊥ ，由勾股定理得 ，
由基本不等式可得 ，故 ，
当且仅当 时，等号成立，故B正确；
C选项，由B可知，点 的轨迹为以 为直径的圆，其中线段 的中点坐标为 ，半
径为 ，
故轨迹方程为 ，C错误；
D选项， 的圆心为 ，半径为2，
设 的中点为 ，由垂径定理得 ，故 点的轨迹方程为 ，
因为 点轨迹方程为 ，
则 的最小值为圆心距减去两半径，即 ，
其中 ，
所以 的最小值为 ，D错误.
故选：AB
17．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与该抛物线
交于 两点，且 的最小值为4， 为坐标原点，则（ ）
A．
B．存在直线 ，使得 的面积为1
C．对于任意的直线 ，都有
D．当 时，直线 的倾斜角为 或
【答案】AC
【分析】设直线 ： ，代入 ，得 、 、 ，根据 的最小值为4，求出
，故A正确；根据 ，得B错误；根据平面向量数量积的坐标表
示得C正确；根据弦长公式计算得D错误.【详解】设直线 ： ，代入 ，得 ，
恒成立，
设 ， ，
则 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ， ，故A正确；
由A知， ， ， ，
所以
，当且仅当 时，等号成立，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ,
当 时， ，得 ，得 ，
由 ，得直线 的斜率为 ，倾斜角为 ；
由 ，得直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
所以当 时，直线 的倾斜角为 或 ，故D错误.
故选：AC.
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经
抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射
后，必过抛物线的焦点.已知平行于 轴的光线 从点 射入，经过抛物线 上的点 反射，再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A．若 的方程为 ，则
B．若 的方程为 ，且 ，则
C．分别延长 交于点 ，则点 在 的准线上
D．抛物线 在点 处的切线分别与直线 ， 所成角相等
【答案】BCD
【分析】分别求出 、 的坐标，利用焦点弦公式求出弦长可判断选项A；利用角平分线的性质求点 的
坐标，判断选项B；联立方程组求点 的坐标，可判断选项B；求出抛物线在 处的切线方程及其斜率，
再求出切线与直线 及直线 所成角的正切值，可判断选项D．
【详解】对于选项A、B：
若 的方程为 ，则 ，又 ，
直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
， ， ，，所以A选项错误；
由 ， ，得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
若 ，则点 在 的平分线上，点 到直线 和到直线 的距离相等，设 ，
则有 ，由 ，解得 ，所以 ，B选项正确；
对于选项C：抛物线 ，焦点坐标 ，准线方程 ，
设 ， ，由 ，得 ， 即 ，由 ，
得 ，
又直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
分别延长 交于点 ，由 得 ，即点 横坐标为-2，所以点 在 的准线上，
C选项正确；
对于选项D：设抛物线在 处的切线方程为： ，
联立 ，得 ，
由 ，解得 ．该切线与直线 所成角的正切值为 ．
设该切线与直线 所成角为 ，
则 ，
该切线与直线 所成角的正切值与该切线与直线 所成角的正切值相同，
即抛物线 在点 处的切线分别与直线 、 所成角相等，D选项正确．
故选：BCD.
19．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）抛物线 为定值 焦点为 ， 与
直线 相交于 两点， 为 中点.过 作 轴的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，交
轴于 ，则（ ）
A．
B． 的纵坐标是定值
C． 为定值
D．存在唯一的 使得
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，判别式法可判断A；韦达定理得 ， ，进而求解中点M的纵坐
标可判断B；结合弦长公式可判断C；结合点到直线距离公式及弦长公式，利用几何法可判断D.
【详解】设 ， ， ，则 ，
联立 ，整理得 ，则 ，解得 ，故A错误；
因为 ， ，
所以 ， 为定值，故B正确；
，
又 ， ，所以 ，
所以 为定值，故C正确；
因为 ，且过 ，所以直线MN方程为： ，
令 得 ，点P到直线AB的距离 ，
要使 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以存在唯一的 使得 ，故D正确.
故选：BCD
20．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦点在 轴上，且 分别为椭圆 的左、
右焦点， 为椭圆 上一点，则下列结论正确的是（ ）A．
B． 的离心率为
C．存在 ，使得
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】A选项，根据焦点在在 轴上，列出不等式，求出答案；B选项，求出 ，进而求出离心
率；C选项，写出以 为直径的圆的方程，联立椭圆方程，得到当 时，方程有解，故C正确；D
选项，由几何性质得到当 点位于上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，表达出最大面积，配方
后求出最值.
【详解】A选项，椭圆 的焦点在 轴上，故 ，解得 ，A正确；
B选项，设 ，则 ，
故 的离心率为 ，B错误；
C选项，以 为直径的圆的方程为 ，与椭圆 联立得， ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，满足要求，故存在 ，使得 ，C正确；
D选项，因为 ，故当 点位于上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，
故最大面积为 ，
因为 ，所以当 时， 面积取得最大值，最大值为 ，D正确.
故选：ACD
21．（2023·福建漳州·统考模拟预测）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御
战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一
侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚 ， 两点和敌方
阵地 点在同一条直线上，某炮弹的弹道 是抛物线 的一部分，其中 在直线 上，抛物线的顶点
到直线 的距离为100米， 长为400米， ， ，建立适当的坐标系使得抛物线
的方程为 ，则（ ）
A． B． 的准线方程为
C． 的焦点坐标为 D．弹道 上的点到直线 的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，建立以 为坐标原点， 轴平行于 ， 轴垂直于 ，结合图像，求出抛物线方程，
准线方程，焦点坐标，即可判断ABC；根据题意，求出直线 的方程，不妨设 CE上一点为 ，判断
出当 该点处的切线与直线 平行时，其到直线 的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以 为坐标原点， 轴平行于 ， 轴垂直于 .
此时 ， ， ，
抛物线 的方程为 ，即 ，
解得 ，故A正确；
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，焦点坐标为 ，
故B正确，C错误；
因为 ， ，故 ，
所以直线 的方程为 即 ，
不妨设 上一点为 ， ，
当 该点处的切线与直线 平行时，其到直线 的距离最大.
由 可得 ，故 ，
解得 ，
此时 点到直线 的距离为 ，故D正确.
故选：ABD.
22．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 作x轴
的垂线与双曲线交于A，B两点，若 为直角三角形，则（ ）A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D． 的面积为
【答案】BD
【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可.
【详解】如图所示：
若 为直角三角形，由双曲线的对称性可知：
，且 .
设 ，则由双曲线的定义得： ， .
所以在直角三角形 中，由勾股定理得： .
解得： ，所以 ，
所以 的面积为： .故D正确；
，所以 ，故C不正确；
由 可知， ， ，
所以 ，故A不正确；，故B正确.
故选：BD.
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知点M，N在圆O： 上运动，点 ，且
，Q为线段M，N的中点，则（ ）
A．过点P有且只有一条直线与圆O相切
B．
C．点Q在直线 上运动
D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】首先判断 与圆 的位置关系，数形结合判断A、B；再应用两点距离、中点公式及已知求得 在
直线 上判断C；由几何法求得 ，结合点线距离求 的最大值.
【详解】由 ，故 在圆 外，故过点P有两条直线与圆O相切，A错；
由 为线段 的中点， 为圆 的弦，故 ，B对；
由 ，又 都在圆上，
所以 ，即 ，而 ， ，所以 ，即点 在直线 上，C错；
由 ，当 最小时， 最大，
而 最小值为 到 的距离为 ，此时Q在圆的内部，
所以 ，D对.
故选：BD
24．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系 中，双曲线 ：
的下、上焦点分别是 ， ，渐近线方程为 ， 为双曲线 上任意一点，
平分 ，且 ， ，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的方程为
C．若直线 与双曲线 的另一个交点为 ， 为 的中点，则
D．点 到两条渐近线的距离之积为
【答案】AD
【分析】延长 ， 交于点 ， 平分 ，且 ，则 为 的中点，可得 ，
渐近线方程为 ，得 ，可得双曲线方程，逐个验证选项即可.
【详解】不妨设 为双曲线 的下支上一点，延长 ， 交于点 ，如图，因为 ，因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 为等腰三角形，
则 为 中点，又 为 中点，所以 ，
根据双曲线的定义得， ，所以， ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，得 ， ， ，
所以双曲线 的标准方程为 ，离心率为 ，所以A正确，B不正确；
设 ， ， ，因为 ， 在双曲线 上，所以 ①， ②，
① ②并整理得， ，因为 ， ，
所以， ，所以C不正确.
由 ，代入 ，即 ，即 ，
所以点 到两条渐近线的距离之积为 ，所以D正确；
故选：AD.
25．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆 ：与双曲线 ： 的公共焦点， ， 分别是 与 的离心率，
且P是 与 的一个公共点，满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】根据椭圆和双曲线的焦点可判断A,由圆锥曲线的定义以及离心率的计算公式可判断B，结合对勾
函数的性质可判断C，利用三角换元可判断D.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故 ，故A错误；
对选项B： ，不妨设 为第一象限的点，即 ，由于 ， ，
故 ， ，故 ，即 ，即 ，故B正确；
对选项C：由 得 ，则 ，令 ，所以
，由于 ，所以对勾函数 在 单调递增，故 ,
没有最小值，故C错误，
对选项D：设 ， ， ，
，若最大值为 ，则 ， ， ，即 ，
， ，成立，故D正确；
故选：BD
26．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于
、 两点， ，直线 左边的抛物线上存在一点 ，则（ ）
A． B．
C．若点 ，则 D．当 的面积最大时，面积为
【答案】ACD
【分析】设直线 的方程为 ，联立抛物线方程联立，由韦达定理可判断A；利用弦长公式求出
可判断B；根据 是焦点弦，可以得以 为直径的圆与准线相切，求出圆与准线的切点可判断点
在圆外，可判断C正确；当过点 的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最大，设 ，
结合导数可得 点坐标，再求 点到正弦 的距离 ，再利用 可得答案.【详解】对于A，设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程 ，消去x化简得： ，
∴ ，代入抛物线方程得： ，A正确；
对于B，∵ ，解得 ，所
以 ，B错误；
对于C：分别做 、 于 、 点，弦 的中点 于 ，
所以 ， ， ，
，所以 ，所以以 为直径的圆 与准线相切，
由选项B得， 时， ，得 ， 时， ，得
，所以圆心 ，
所以与准线的切点为 ，所以点 在圆外，所以 是锐角，即 ，C正确；
对于D：直线 方程为 ，斜率为 ，
当过点 的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最大，
当 时， ，所以 ，设 ，所以 ，得 ，所以点 ，此时 ，所以 面积的最大值为 ，当斜率为 时，同理求得面积为 ，
D正确.
故选：ACD.
27．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，双曲线E： 的左右焦
点分别为 ， ，过 的直线l与其右支交于P，Q两点，已知 且 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线的离心率为2
C．
D． 的面积为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线定义及性质，结合余弦定理和面积公式逐个选项判断即可．
【详解】如图所示：对于A， 且 ，所以 ，故A正确；
对于B， ， ，所以 ，又由相似可得： ， ，
， ，所以离心率 ，故B正确；对于C， 中，由余弦定理可得
，故C错误；
对于D，由C可知， ，则其面积 ，故D正确．
故选：ABD．
28．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知点 是抛物线 的焦点，
为坐标原点，直线 与抛物线交于 两点，抛物线 的准线与 轴交于点 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 过抛物线 的焦点 ，则直线 斜率之积为定值
B．若抛物线上的点 到点 的距离为4，则抛物线的方程为
C．以 为直径的圆与准线相切
D．直线 过点 且交 于不同的 两点，则
【答案】AD
【分析】设 ，联立方程组求得 ，结合斜率公式，可判定A正确；由抛物
线的定义得到 ，求得抛物线的方程，可判定B不正确；设 为 的中点，结合直线过焦点和不过焦点，利用抛物线的定义，可判定C不正确；设 ，联立方程组，由 ，求得 ，结合
抛物线的定义得到 ，可判定D正确.
【详解】对于A中，设 且 ，
联立方程组 ，可得 ，则
则 ，故A正确；
对于B中，若抛物线上一点 到焦点 的距离等于4，
由抛物线的定义可得 ，解得 ，则抛物线的方程为 ，故B不正确；
对于C中，如图所示，当 过抛物线 的焦点 时，
设 为 的中点，分布过点 作 ，垂足分别为 ，
可得 ，由抛物线的定义，可得 ，
所以 ，此时以 为直径的圆与准线相切，
当直线 不过抛物线 的焦点 时，此时 ，
此时以 为直径的圆与准线不相切，综上可得，以 为直径的圆与准线不一定相切，所以C不正确；
对于D中，如图所示，设 且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，且 ，可得 ，
由抛物线的定义，可得
即 成立，故D正确.
故选：AD.
29．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设 ，圆 （ 为圆
心）， 为圆 上任意一点，线段 的中点为 ，过点 作线段 的垂线与直线 相交于点 ．当点在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ，点 的轨迹为曲线 ，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线 的方程为 B．当点 在圆 上时，点 的横坐标为
C．曲线 的方程为 D． 与 无公共点
【答案】ABC
【分析】对于A，连接OQ，则可得 ，从而可得曲线 的方程；对于B，圆B的方程与曲线
的方程联立求解即可；对于C，连接AR，则可得 ，从而可得点R的轨迹为双曲线；对于
D，求出曲线 的方程，然后判断.
【详解】如图1、图2，连接OQ．
因为点Q为线段AP的中点，O为线段AB的中点，所以 ，所以点Q的轨迹为以O为圆心，
1为半径的圆，即曲线 的方程为 ，故A正确；
当点Q在圆B上时，圆B的方程与曲线 的方程联立，可得 ，故B正确；
连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以 ，所以 ，所
以点R的轨迹为以 为焦点，2为实轴的双曲线，所以曲线 的方程为 ，故C正确；
由选项C可知，所以曲线 的方程为 ，所以 与 有两个公共点，故D错误．
故选：ABC．30．（2023·浙江·校联考模拟预测）抛物线 的准线方程为 ，过焦点 的直线 交抛
物线 于 ， 两点，则（ ）
A． 的方程为
B． 的最小值为
C．过点 且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条
D．过点 分别作 的切线，交于点 ，则直线 的斜率满足
【答案】BD
【分析】求出抛物线方程判断A；设出直线 的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计
算判断B；设出过点M的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C；求导并结合选项B的信息求解判断D
作答.
【详解】对于A；依题意， ，解得 ， 的方程为 ，A错误；
对于B，由选项A知， ，设直线 的方程为 ，由 消去y得 ，
设 ，则有 ，
，当且仅当 时取等号，B正确；对于C，过点 且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y轴，设此直线方程为 ，
由 消去y得： ，当 时， ，直线与抛物线仅只一个交点，
当 时， ，解得 ，即过点 且与抛物线相切的直线有2条，
所以过点 且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C错误；
对于D，由 求导得 ，由选项B知， ， ，
，由 两式相减得：
，即 ，则 ，
于是 ， ，即点 ，
所以 ，D正确.
故选：BD
31．（2023·浙江·校联考模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别 ，具有公共焦点的椭圆与双
曲线在第一象限的交点为 ，双曲线和椭圆的离心率分别为 的内切圆的圆心为 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A． 到 轴的距离为
B．点 的轨迹是双曲线
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得 ，可判断A；在等腰 中，利
用中位线结合双曲线的定义可求出 ，可判断B；设 ，由 ，即
，由余弦定理代入化简可得 ，再结合椭圆和双曲线的定义可判断
C；由 ，即 可判断D.
【详解】设圆 与 三边 的切点为 ，
，
又 ，故 ，故 ，所以 到 轴的距离为 ，故A正确；
过 作直线 的垂线，垂足为 ，延长 交 于点 ，
因为 ，则 为 的中点且 ，于是，
故点 的轨迹是在以 为圆心，半径为 的圆上，故B不正确；
设椭圆的长半轴长为 ，它们的半焦距为 ，并设 ，
根据椭圆和双曲线的定义可得： ，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，由 ，
两式相加，则 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，故C正确；
，即 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
32．（2023·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的右焦点为 ，过
且倾斜角为 的直线 分别交 的左、右两支于点 ， ，直线 交 于另一点 ，连接 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】确定直线方程，计算交点坐标，得到 ，A正确，根据两点间距离公式得到 ，
B正确，计算 ，C错误，计算 到两直线的距离不相等，正确，得到答案.【详解】双曲线 的右焦点为 ，直线 ，
，解得 或 ，
即 ， ，根据对称性知 .
对选项A： ，故 ，正确；
对选项B： ， ，故 ，正确；
对选项C： ， ， ，
，错误；
对选项D：直线 ， 到 的距离为 ，
到 的距离为 ，两者不相等， ，正确；
故选：ABD.
33．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知直线 ： ， ： ，圆C：
，下列说法正确的是（ ）
A．若 经过圆心C，则B．直线 与圆C相离
C．若 ，且它们之间的距离为 ，则
D．若 ， 与圆C相交于M，N，则
【答案】AC
【分析】将圆心 代入直线 的方程，求得k，判断A；求得直线 过圆内一定点，判断B；利用平行
线间的距离公式可判断C；根据圆的几何性质可求得 ，判断D.
【详解】对于A，因为圆心 在直线 上，所以 ，解得 ，A正确；
对于B，因为直线 恒过点 ，且 ，
即点 在圆C内，所以 与圆C相交，B错误；
对于C，因为 ，则 ，
故 与 之间的距离 ，所以 ，C正确；
对于D， 时，直线 ： ，即 ，
因为圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，D错误，
故选：AC.
34．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知圆 ，圆 ，
直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的圆心为B．圆 与圆 有四条公切线
C．点 在圆 上，点 在圆 上，则线段 长的最大值为
D．直线 与圆 一定相交，且相交的弦长最小值为
【答案】ACD
【分析】将圆 的方程化为标准方程，可判断A选项；判断圆 与圆 的位置关系，可判断B选项；求出
圆心距，利用圆的几何性质可判断C选项；求出直线 所过定点 的坐标，分析出点 与圆 的位置关系，
并求出直线 截圆所得弦长的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，圆 的标准方程为 ，圆 的圆心为 ，故A正确；
对于B选项，圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的半径为 ，
圆心距为 ，即 ，
所以，圆 与圆 相交，故圆 与圆 有两条公切线，故B错误；
对于C选项，因为两圆圆心距为 ，
又因为 在圆 上，点 在圆 上，则线段 长的最大值为 ，故C正确；
对于D选项，直线 的方程可化为 ，
由 得 ，所以，直线 过定点 ，
因为 ，故点 在圆 内，所以直线 与圆 相交，
当 时，圆心 到直线 的距离取得最大值，且最大值为 ，
此时，直线 截圆 所得弦长最小，且最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
35．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点 ，，动点P满足 ，记动点P的轨迹为曲线C，直线l： ，则下列结
论中正确的是（ ）
A．曲线C的方程为
B．直线l与曲线C相交
C．若直线l被曲线C截得的弦长为 ，则
D． 的最大值为3
【答案】ABD
【分析】设 ，代入 ，得曲线 的方程判断选项A；由直线 过的定点，判断直线 与曲线
的位置关系，验证选项B；由垂径定理求解k，验证选项C； 的最大值为B点到圆心距离加上半径，
计算验证选项D.
【详解】对A，设动点 ，由 ，则 ，化简得
， A选项正确；
对B，直线 过定点 ，点 在圆 内，直线 与曲线 相交，B选项正确；
对C，弦长为 ，半径为2，故圆心 到直线的距离 ，即 ，即
，解得 ，C选项错误；
对D，由 ，圆心 ，半径为2， ， D选项正确.
故选：ABD
36．（2023·山东烟台·统考三模）在正四棱柱 中， ，点 满足， ，则（ ）
A．当 时，直线 与 所成角为
B．当 时， 的最小值为
C．若 与平面 所成角为 ，则 点的轨迹长为
D．当 时，平面 截此正四棱柱所得截面的最大面积为
【答案】ACD
【分析】对于A，当 时可知点 为 的中点，从而可以判断 为等边三角形，即可判断；
对于B，当 时可得点 在 上，此时把正四棱柱 的后面和右面展开，从而可判断；
对于C，连接 ，可得 即为 与平面 所成角，从而可得点 的轨迹是以 为圆心，以1
为半径的 个圆，即可判断；对于D，过点 作 交 于点Q，可得四边形 为平面 截
此正四棱柱所得截面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得点 到直线 的距离，结合函数的单调性
即可判断.
【详解】
对于A，当 时，点 为 的中点，
所以 ， , ，所以 为等边三角形，所以直线 与 所成角为 ，A对；
对于B，当 时，点 在 上，此时把正四棱柱 的后面和右面展开，如图：
的最小值为 ，B错；
对于C，因为点 满足 ，所以点 在平面 内，
平面 ，连接 ，则 即为 与平面 所成角，
若 与平面 所成角为 ，则 ，所以 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的 个圆，所以 点的轨迹长为 ，C正确；
对于D，当 时，点 在 上，且 ，
过点 作 交 于点Q，则 ，所以
所以四边形 为平面 截此正四棱柱所得截面，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则根据题意可得：
， ，
所以 ， ，
点 到直线 的距离为
所以四边形 的面积
令 ，
所以
所以当 时， ， 单调递增，
所以当 时 取得最大值, 此时截面面积最大为 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据 的本题取值得到点 的位置，进而结合选项转化相应问题，
然后利用相关知识解答即得.
37．（2023·山东烟台·统考三模）已知点 为直线 与 轴交点， 为圆 上的一动点，点 ，则（ ）
A． 取得最小值时， B． 与圆 相切时，
C．当 时， D． 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A： 取得最小值时 位于 即 轴上，根据三角形面积公式可得.
B：直接在直角三角形 利用勾股定理可得.
C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得.
D：根据正弦定理 ，将求 的最大值转化为求外接圆半径最小，
此时，外接圆与圆 相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.
【详解】因 ，令 ，得 ，
故 ，
，圆心 ，半径
选项A：
如图，根据圆的性质当 位于 轴上时， 取得最小值，
此时 ，故A正确；
选项B：当 与圆 相切时，
，
故B正确；
选项C：
设 ，
则 ， ，
当 时， ，
故 ，
又 ，
得 ，
， ，若 ，则 ，
又 得， ， ，
此时 ，
这与点 在圆上矛盾，故C错误；
选项D：
设 外接圆圆心为 ，半径为
由题意可得 在 中垂线上，可设其坐标为 ，
则 ， ，
由正弦定理知 ，所以 ，
当 最小，即外接圆与圆 相内切时， 的最大值，
此时圆心距等于两圆半径之差，则
，
两边同时平方可得 ，
，故D正确.
故选：ABD.38．（2023·广东深圳·校考二模）已知抛物线C的方程为 ，过C焦点F的直线与C交于M，N两点，
直线MO与C的准线交于Q点（其中O为坐标原点），P为C准线上的一个动点，下列选项正确的是（
）
A．当直线MN垂直x轴时，弦MN的长度最短
B． 为定值
C．当PM与C的准线垂直时，必有
D．至少存在两个点P，使得
【答案】AB
【分析】设 ，直线 ，联立方程组求得 ， ，利用抛物
线的焦点弦的性质和基本不等式，可判定A正确；利用向量的数量积的运算公式，结合抛物线的方程，可
判定B正确；由直线 的方程为 ，求得 ，得到 ，可判定C错误；由直角梯形
的中位线 ，得到以 为直径的圆与抛物线的准线相切于点 ，可判定D错误.
【详解】如图所示，由抛物线 ，可得焦点 ，准线方程为 ，
设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，可得 ， ，
对于A中，由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，此时 垂直于 轴，所以A正确；
对于B中，由 ，所以B正确；
对于C中，直线 的方程为 ，令 ，可得 ，所以 ，所以 ，所以C错误；
对于D中，由抛物线的定义知，直角梯形 的中位线 ，
即以 为直径的圆与抛物线的准线相切于点 ，
所以满足 的点恰好有一个，所以D错误.
故选：AB.
39．（2023·广东汕头·统考三模）椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过 ， 分别作两条平
行的射线 ， 交椭圆C于A，B两点，（A，B均在x轴上方），则（ ）
A．当 时，
B． 的最小值为3
C．当 时，四边形 的面积为
D．四边形 面积的最大值为3
【答案】ABD
【分析】设直线 ．把 代入椭圆方程得出 的一元二次方程，从而得两根和及两根积，
由弦长公式得 ，再根据对称性判断A,B,C选项;写出平行四边形 面积，应用导数
求得最小值可得出D选项．【详解】
设 ， ， ： ．
联立 ,得 ．
由韦达定理有 ， ．
设 ， ，由 ，得 ： ．
联立 ,得 ．
∴ ， ．
而 ， ，
由对称性可知
,
当 时，∴ ， ．
,A选项正确;
,
, 的最小值为3,B选项正确；当 时，
四边形 的面积为 ,C选项错误.
，且 ．
四边形 为平行四边形,
，
设 （ ）， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ．
故 的最大值为6，此时 ． 四边形 面积的最大值为3,D选项正确.
故选:ABD.
40．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，已知抛物线 ，过抛物线焦点 的直线 自上而下，分别
交抛物线与圆 于 四点，则（ ）．
A． B．C． D．
【答案】AB
【分析】由题知 ，设直线 为 ， ， ，联立方程 ，消去 得
，根据韦达定理可得 ， ，然后根据直线与抛物线的位置关系，焦点弦
性质，均值不等式，求导逐个计算即可.
【详解】由抛物线方程可知 ，
设直线 为 ， ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
所以 ， ，
由抛物线的定义可知 ， ，
又点 是圆 的圆心，
所以 ， ，
所以 ，选项A正确；
因为 ，
由上述可知 ， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，选项B正确；
因为 ，由上述可知 ，所以 ，
所以 ，其中 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，选项C错误；
因为 ，
由上述可知 ， ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，选项D错误；
故选：AB
第三部分 能力提升模拟题
41．（2024·江西·校联考模拟预测）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究
圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称
为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 均在 的蒙日
圆 上， ， 分别与 相切于 ， ，则下列说法正确的是（ ）A． 的蒙日圆方程是
B．设 ，则 的取值范围为
C．若点 在第一象限的角平分线上，则直线 的方程为
D．若直线 过原点 ，且与 的一个交点为 ， ，则
【答案】BC
【分析】对于A，根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，可得A错误；对于B，利用椭圆的
定义求出 的取值范围可得B正确；对于C，利用导数的几何意义求解可得C正确；对于D，根据
椭圆的定义以及平面向量数量积的运算律可求出 ，可得D错误.
【详解】对于A，分别过椭圆 的顶点 ， 作椭圆 的切线，则两切线的交点 在椭圆
的蒙日圆上，
故该蒙日圆的半径 ，即椭圆 的蒙日圆的方程为 ，故A错误；对于B，由椭圆的定义得
，
当且仅当点 在 的延长线上时取等号，
，
当且仅当点 在 的延长线上时取等号，所以 的取值范围为 ，故B正确；
对于C，在方程 中，令 ，得 ，故 ，
设切点 ， ， 因为 ， ，所以 ， ，
由 两边对 求导得 ，所以 ， ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以点 、 都在直线 上，
所以直线 的方程为 ，故C正确；对于D， ，则 ，所以 ，
由 得 ①，
由 得 ②，
则① ②得 ，解得 ，
所以 ，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求解椭圆的切线方程，利用平面向量数量积求解向量的长度是
解题关键.
42．（2023·河北张家口·统考三模）已知 是圆 上不同的两点，椭圆
的右顶点和上顶点分别为 ，直线 分别是圆 的两条切线， 为
椭圆 的离心率.下列选项正确的有（ ）A．直线 与椭圆 相交
B．直线 与圆 相交
C．若椭圆 的焦距为 两直线的斜率之积为 ，则
D．若 两直线的斜率之积为 ，则
【答案】BCD
【分析】由 时，点 时，得到直线方程 ，联立方程组，结合 ，可判定A
错误；由原点到直线 的距离为 ，可判定B正确；设 ，根据题意求得
，进而得到 ，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设 ，根据得到
，求得 ，结合离心率的定义，求得 ，可判定D正确.
【详解】对于A中，当 时，点 的坐标可以为 ，
可得直线 为 ，即 ，
由 ，整理得 ，此时 ，
所以直线 与椭圆 无交点，所以A错误；
对于B中，因为 ，所以 ，设原点到直线 的距离为 ，由点到直线的距离公式，可得 ，
所以直线 与圆 相交，所以B正确；
对于C中，椭圆 的焦距为 ，可得 ，即 ，
不妨设 ，则直线 ，
由原点到直线 的距离等于1，可得 ，解得 ，
同理可得 ，因为 ，即 ，
解得 ，又由 ，解得 ，
所以离心率 ，所以C正确；
对于D中，不妨设 ，则 , ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、
图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）
导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
43．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱 高为1，下底面圆 的直径 长为2， 是圆柱 的一
条母线，点 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若 ，则 点的轨迹为圆
B．若直线 与直线 成 ，则 的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点 ，使得
D． 的取值范围是
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点 的轨迹方程判断
选项A和选项B，假设 ，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C，计算
的最大值 判断选项D.
【详解】对B，如图，不妨以 为原点，以 的垂直平分线，
分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，
，设 ，则 ，
由题意， ，化简得， ，
由于 点在上底面内，所以 的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对A， ，化简得 ，即 点的轨迹为椭圆，故A
错误；
对C，设点 在下平面的投影为 ，若 ，
则 ，则 ，
当 在线段 上时， 可取最小值，
由均值不等式， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，
而点 只有在与点 重合时， 才能取到 ，
此时点 与点 重合，点 与点 重合，故C正确；
对D，当点 与点 ，点 与点 重合，
的值为 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】判断本题选项B时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利
用向量夹角的计算公式列式计算.
44．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）抛物线C： ，AB是C的焦点弦（ ）A．点P在C的准线上，则 的最小值为0
B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π
C．若AB的斜率 ，则△ABO的面积
D．存在一个半径为 的定圆与以AB为直径的圆都内切
【答案】ABD
【分析】对于A：因为以AB为直径的圆与准线相切，结合圆的性质分析判断；对于B：根据抛物线的定义
结合韦达定理整理得 ，进而可得结果；对于C：根据题意求 ，进而可得结果；根据
两圆内切可得 ，列式分析求解即可.
【详解】由题意可知：抛物线C： 的焦点 ，准线 ，
对于选项A：根据抛物线的性质可知：以AB为直径的圆与准线相切，
若点P是以AB为直径的圆与准线的切点，则 ，所以 ；
若点P不是以AB为直径的圆与准线的切点，则 为锐角，所以 ；
综上所述： 的最小值为0，故A正确；
对于选项B：设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
可得 ，
当 时， 取到最小值6，此时以AB为直径的圆的面积最小，最小值为 ，故B正确；
对于选项C：若AB的斜率 ，则 ，直线 ，即 ，
由选项B可得： ，
点 到直线直线 的距离 ，
所以△ABO的面积 ，故C错误；
对于选项D：由选项B可知：以AB为直径的圆的圆心为 ，半径 ，
设圆 的圆心为 ，半径 ，
若圆 与圆 内切，则 ，即 ，
整理得 ，
因为对任意的 恒成立，则 ，解得 ，
即圆心为 ，半径 的圆恒与以AB为直径的圆都内切，故D正确；
故选：ABD.45．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆
上任意一点（不在 轴上）， 外接圆的圆心为 ，半径为 ， 内切圆的圆心为 ，半径为
，直线 交 轴于点 ， 为坐标原点，则（ ）
A． 最大时， B． 的最小值为2
C．椭圆 的离心率等于 D． 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据当 在短轴的端点时， 取得最大，且最大值为 ，再根据
，代入进而即可求解；
对于B，根据 ，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；
对于C，运用角平分线定理即可求解；
对于D，由正弦定理可得 ，再又结合A可得 ，从而得到 ，再根据题
意得到 ，进而即可求解．【详解】对于A，设 ， ，则 ，且 ，
所以 ，
则当 在短轴的端点时， 取得最大，且最大值为 ，
又 ，
所以当 最大时， ，即 ，故A正确；
对于B，过点 作 ，垂足为点G，
又点 为 外接圆的圆心，即为 三条边的中垂线的交点，则点G为 的中点，
由 ，
又 ，同理 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最小值为2，故B正确；
对于C，由 内切圆的圆心为 ，则 ， 分别是 ， 的角平分线，
则由角平分线定理可得 ，即 ，故C错误；
对于D，设 ， ， ，
由正弦定理可得 ，即 ，
则 ，即 ，因为 ，
又结合A有 ，所以 ，即 ，所以 ，
又因为当 在短轴的端点时， 最大，此时 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 ，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和
等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．
46．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知点 在抛物线C： 上，过P作圆
的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为 ，若F为C的焦点，
为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A． B．C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】BC
【分析】根据题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线 对称，即 ，结合 都在抛物
线上可得 ，所以A错误，B正确；根据抛物线定义可知 ，设 ，则
，当直线 与抛物线相切时， 的最大值是 ，即C正确，D错误．
【详解】由题意可知，点 与圆心同在 上，
所以过P所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ．
设 ， ， ，
则 ，
同理可得 ， ，
则 ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ．
将 代入抛物线C的方程，得 ，解得 ，
故抛物线C的方程为 ，所以A错误，B正确．
设 ，作 垂直准线于 ，如下图所示：由抛物线的性质可得 ，
所以 ，当 最小时， 的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即 最小．
由题意可得 ，设切线MN的方程为 ，
联立方程组 ，消去x，得 ，
由 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，即M的坐标为 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为 ，即C正确，D错误．
故选：BC
【点睛】方法点睛：求解抛物线最值问题时，往往利用抛物线定义和焦半径公式，将问题等价转化即可实
现求解.
47．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知抛物线 ， 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，准线
与 轴交于 点，过点 作不垂直于 轴的直线 与 交于 ， 两点．设 为 轴上一动点， 为 的中点，且 ，则（ ）
A．当 时，直线 的斜率为
B．
C．
D．若正三角形 的三个顶点都在抛物线上，则 的周长为
【答案】AC
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程，利用根与系数的关系及 求k，可判断A，由点
差法及垂直关系，抛物线的定义可得 判断B，由 可得 平分 ，据此可判
断C，根据正三角及抛物线的对称性求出DE坐标即可判断D.
【详解】如图，
对于选项A，设过焦点 的直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，∴ ， ，
由 可知 ，代入 ，得 ， ，由 ，得 ，∴ ，则 ，故A正确．
对于选项B， ，设点 的坐标为 ，则 ， ．
由 得 ，所以 ，则直线 的斜率为 ．
因为 ，所以直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ．
令 ，则 ，所以点 的坐标为 ，
则 ．
由抛物线的定义可知， ，
所以 ，故B错误．
对于选项C，因为
，
所以直线 与直线 关于 轴对称，即 平分 ，
所以 ，则 ．
整理得 ，故C正确．
对于选项D，设 ，因三角形 为正三角形，
则 ，
又 ，则 .
因 ，则 .
则 ，则 .
得 的周长为 ，故D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：处理抛物线中焦点弦问题，根据抛物线的定义，转化为坐标问题是常用方法之一，涉
及处理中点弦问题，点差法是重要方法，恰当使用可快速得出直线斜率与中点的坐标关系，注意直线关于
y轴对称可转化为直线倾斜角互补即直线斜率互为相反数.
48．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）已知 ， 分别为双曲线 ： 的左､右焦点，
为双曲线 的渐近线在第一象限部分上的一点，线段 与双曲线交点为 ，且 ，
为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线 的离心率
C．
D．若 的内心的横坐标为3，则双曲线 的方程为
【答案】ACD
【分析】求点 到渐近线的距离，由条件结合等腰三角形的性质可得 ，判断A，设 ，
求点 的坐标，根据 ，可得 的关系，由此可求离心率，判断B，由双曲线定义和余弦定理求，判断C，由双曲线定义和内切圆的性质可求 ，由此可求双曲线方程.
【详解】过点 作 ，
设双曲线的半焦距为 ，
则双曲线 的右焦点 的坐标为 ，渐近线方程为 ，
点 到渐近线 的距离 ，故 ，
在 中， ， ， ，
所以 ，
由已知， ， ，又 ，
所以 为 的中点，故 ，A正确；
设 ，则 ，
所以 ， ，又 ，
所以点 的坐标为 ，又 ，
所以 ，
两边平方化简可得 ，
所以 ，所以 ，B错误；
对于C，设 ，由双曲线定义可得 ，
因为 ，所以 ，由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，C正确；
设 的内心为 ，且内切圆 与 切与点 ，
根据双曲线的定义及内切圆的性质，可得
，又 ，
所以 ，
所以切点 为右顶点，又 的内心的横坐标为 ，
所以 ，由 ，可得 ，
所以 ，
所以双曲线 的标准方程为 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】知识点点睛：本题考查的知识点有双曲线的基本性质，余弦定理，双曲线的定义，内切圆的性质，
属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合能力.49．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
、 ，离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 .过 作直线 交双曲线 的右支于 、 两点，若 、
分别为 与 的内心，则（ ）
A． 的渐近线方程为
B．点 与点 均在同一条定直线上
C．直线 不可能与 平行
D． 的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据题意求出 、 、 的值，可得出双曲线 的渐近线方程，可判断A选项；利用切线长定理以
及双曲线的定义可判断B选项；取 轴，可判断C选项；设直线 的倾斜角为 ，求出 ，
求出 的取值范围，结合正弦函数的基本性质求出 的取值范围，可判断D选项.
【详解】设双曲线 半焦距为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
双曲线 的右焦点 到渐近线的距离为 ，
由题意知 ，
所以 ，所以 ，故双曲线 的方程为 ，
故渐近线方程为 ，故A正确；
对于B选项，记 的内切圆在边 、 、 上的切点分别为 、 、 ，由切线长定理可得 ， ， ，
由 ，即 ，
得 ，即 ，
记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得 ，
同理内心 的横坐标也为 ，故 轴，即 、 均在直线 上，故B正确；
对于C选项，当 与 轴垂直时， ，故C错误；
对于D选项，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
（ 为坐标原点），
在 中， .
，
由于直线 与 的右支交于两点，且 的一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，
结合图形可知 ，即 ，所以， ，故D正确.
故选：ABD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
50．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图， 为坐标原点， 分别为双曲线
的左､右焦点，过双曲线 右支上一点 作双曲线的切线 分别交两渐近线于 两点，
交 轴于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点 ，使得 ，且 ，则双曲线 的离心率为2或
【答案】AB
【分析】对于A,先证明双曲线 上一点 的切线方程为 ，与双曲线的渐近线
进行联立，可得 坐标，可得到 ，结合 即可判断；对于B，由A选项可得点
是线段 的中点，即可判断；对于C，由 即可判断；对于D，通过可得 ，则能算出 ，结合余弦定理即可求解
【详解】对于选项 ，先求双曲线 上一点 的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由 得： ，所以 ，
则在点 的切线斜率为 ，
所以在点 的切线方程为： ，
又因为 ，所以在点 的切线方程为： ，
当 为右顶点 时，切线方程为 ，易得也满足 ，
不失一般性，设点 是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点， 是切线与渐近线在第
一象限的交点， 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为 ，
联立 ，
所以点 ，同理可得： ，
则 ，
又因为 ，所以 ，即： ，故A项正确；对于选项B，由A项知， ，
所以点 是线段 的中点，所以 ，故B项正确；
对于选项 ，因为在点 的切线方程为： ，
令 得 ，所以点 ，
则 ，
当点 在顶点 时，仍然满足 ，故C项错误；
对于选项D，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，解得： ，
即： ，代入 得 ，
所以
，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
解得： 或6，所以离心率为 或 ，故D项错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：双曲线 上一点 的切线方程为 ，对椭圆、抛物线也有
类似结论．
51．（2023·广东·统考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 作不与坐标
轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 ， 在 轴上，其中 （ 为坐标原点），
，点 为直线 ， 的交点，当点 为椭圆 的上顶点时，直线 与直线 垂直，
则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的长轴长为
B．若点 ，则 的最大值为
C．点 的横坐标为
D．当 的面积取得最大值时，直线 的斜率为
【答案】AC
【分析】对于A，取 时，求出直线 斜率，使其与直线 的斜率相乘等于 即可；对于B，
取椭圆左焦点 ，根据椭圆定义，将 转化为 求解即可；对于C，设 方程并与椭
圆方程联立，由 ， ， ， 坐标求得直线 ， 方程，解得点 横坐标，结合韦达定理化简即可；
对于D，将 的面积看作 与 面积之和，即 ，结合韦达定理化简，
由基本不等式求解即可.【详解】
对于A，当点 为椭圆 的上顶点时，点 的坐标为 ，
∵ ，∴直线 即直线 的斜率 ，
∵直线 与直线 垂直，∴ ，解得 ，
∴ ，∴长轴长 ，故选项A正确；
对于B，记椭圆 的左焦点为 ，则 ， ，
如图， ，
当且仅当 三点共线时，取等号，故选项B错误；
对于C，易知直线 斜率不为 ，∴设直线 ，由 ，消去 ，整理得 ， ，
设 ， ，则 ， ，
由已知， ， ，
∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
∴由 解得点 横坐标 ，
其中 ，
∴ ，故选项C正确；
对于D， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，∴当直线 的方程为 ，即直线 的斜率为 时， 的面积取得最大值 ，故选项D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：椭圆上的点到焦点与定点的距离和、差最值问题，通常需要借助椭圆的定义转化求解；
椭圆中的定值问题，需根据题目中的几何关系，列式运算，通常会借助韦达定理，化简为一个常数；椭圆
与直线位置关系中的面积最值问题，通常需要借助基本不等式进行求解.
52．（2023·山东·校联考模拟预测）已知点 ，若过点 的直线 交圆 于
两点， 是圆 上的动点，则（ ）
A． 的最小值为2
B． 的最大值为
C． 的最小值为
D．当 取最大值时，底边 上的高所在的直线方程为
【答案】ACD
【分析】直线与圆相交，由图分析计算即可.
【详解】如图：
对于A选项，当 时， 的值最小， ，
，故选项A正确；
对于B选项，取 的中点 的中点 ，的轨迹方程为 ，
，故选项B错误；
对于C选项，设 ，
，故选项C正确；
对于D选项，当 时， 的面积最大，
，
所以底边 上的高所在的直线方程为 ，故选项D正确．
故选：ACD．
53．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 ， 是椭圆 上两个不同
点，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C． 的最大值为
D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】设 ，设 ，可得 ， ,可得 两点均在圆
的圆上，且 ，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及 的最值，可得答案.
【详解】由 ，可得 ，又 ， 是椭圆 上两个不同点,
可得 ，设 ，则 ，
设 ,O为坐标原点，可得 ， ,
可得 ，且 ，
所以 ， ，又 ，
可得 两点均在圆 的圆上，且 ，
设 的中点为 ，则 ,
根据点到直线的距离公式可知： 为点 两点到
直线 的距离 之和，
设 到直线 的距离 ，由题可知圆心到直线 的距离为 ，
则 ，
可得 的最大值为 ， 的最小值为 ；可得 ，可得 的最大值为
，最小值为 ，故A正确，B错误；
同理， 为点 两点到直线 的距离
之和，
设 到直线 的距离 ，由题可知圆心到直线 的距离为 ，
则 ， ，
可得 ，可得 的最大值为 ，最小值
为 ，故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的
性质即得.
54．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知 ， 是经过抛物线 焦点 的互相垂直
的两条弦，若 的倾斜角为锐角， ， 两点在 轴上方，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． 最小值为32
B．设 为抛物线上任意一点，则 的最小值为
C．若直线 的斜率为 ，则
D．
【答案】ACD【分析】选项AC:数形结合推导出 ,应用公式求解和判断；
选项B：根据抛物线定义和性质转化求解；
选项D：联立方程，应用韦达定理证得： 即可判断；
【详解】
设直线 的倾斜角为 . ，则 ，即 ，
同理可得 .
,根据定义得： 焦点坐标 ；
选项A： （当且仅当
时等号成立），
因为 ，所以 故A正确；
选项B：令 , 转换成抛物线上的点到焦点的
距离, 故B错误；
选项C：
若直线 的斜率为 ，则直线CD的倾斜角为 ，直线AB的倾斜角为
所以 ，故C正确；
选项D:
因为 的斜率为 ， ，所以 ，
设 ， ， 的方程为 ，
由 可得， ，
，
与 无关，
同理 ，故 即故D正确；
故选：ACD;
55．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）已知双曲线 与椭圆 的焦点相同，
双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 的直线与双曲线 的右支交于 两点， 与 轴相交于点 ，
的内切圆与边 相切于点 .若 ，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．过点 存在两条直线与双曲线 有且仅有一个交点
C．点 在变化过程中， 面积的取值范围是
D．若 ，则 的内切圆面积为
【答案】AC
【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得 ，从而求得双曲线 的方程，结合双曲线的渐近线、
直线和双曲线的交点、焦点三角形的性质、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题可得 ，
因为 的内切圆与边 相切于点 ，设 的内切圆与 分别切于 ，如图，
由切线长定理可知 ， ，
所以 ，
，所以双曲线 的方程为 ，
对A，由题可得双曲线 的渐近线方程为 ，故A正确；
对B，由双曲线的性质可知过点 的直线与渐近线平行时与双曲线有且仅有一个公共点，
又过点 的直线斜率不存在时，即 与双曲线 有且仅有一个公共点，
故过点 的直线存在三条直线与双曲线 有且仅有一个交点，故B错误.
对C，因为 面积为 ，因此只需求 的范围即可，可取临界位置，
当 与渐近线平行时，不妨设 ，令 可得 ，
当 与另一条渐近线平行时，不妨设 ，联立双曲线方程 ，
解得 ，即 ，所以 ，令 可得 ，
所以 ， ，故C正确；
对D，当 时，则 ， ，解得 ，
故 的内切圆的周长为 ，的面积为 ，
由题可知 ，故 ， ，即 ，
所以 ， ，设 的内切圆的
半径为 ，
则 ，即 ， 的内切圆的面积为 ，故D错误.
故选：AC.
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法有：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从
而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基
本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
56．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，
过点 作倾斜角为 （ 为锐角）的直线交抛物线于 两点（其中点A在第一象限）.如图，把平面
沿 轴折起，使平面 平面 ，则以下选项正确的为（ ）
A．折叠前 的面积的最大值为
B．折叠前 平分C．折叠后三棱锥 体积为定值
D．折叠后异面直线 所成角随 的增大而增大
【答案】BCD
【分析】对于A：利用弦长公式结合点到直线的距离运算求解；对于B：利用韦达定理证明 ，
即可得结果；对于C：根据面面垂直的性质结合锥体的体积公式运算求解；对于D：根据题意利用
结合空间向量可得 ，再根据复合函数单调性分
析判断.
【详解】由题意可得：抛物线 的焦点为 ，准线 ，则 ，
设直线 ，
联立方程 ，消去x得 ，
可得 ，
则 ，
对于选项A：因为 ，
点 到直线 的距离 ，
可得折叠前 的面积 ，
所以当 时，折叠前 的面积的最小值为 ，故A错误；
对于选项B：因为，
即折叠前直线 关于x轴对称，所以折叠前 平分 ，故B正确；
对于选项C：因为平面 平面 ，则可知点A到平面 的距离即为点A到x轴的距离 ，
的面积 ，
所以折叠后三棱锥体积 （定值），故C正确；
对于选项D：由抛物线的性质可知： ，
可得 ，
，
根据题中所给的空间直角坐标系，可得
，
则 ，
可得，
所以 ，
即折叠后异面直线 所成角的余弦值为 ，
因为 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
且 在定义域内单调递增，则 在 上单调递减，
所以折叠后异面直线 所成角随 的增大而增大，故D增大；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法
求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．
57．（2023·全国·校联考三模）已知直线 与椭圆 交于 两点，点 为椭圆 的
下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， ，使得
B．当 时， ，
C．当 时， ，使得
D．当 时， ，
【答案】BC
【分析】对于A，将直线 的方程与椭圆方程联立，求出 的取值范围，可求得 的取值范围，可判断A选项；求出线段 中点的轨迹方程，可求得 的取值范围，可判断B选项；将直线 的方
程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合 可求得 的取值范围，可判断C选项；求出线段 中
点的轨迹方程，可求得 的最小值，可判断D选项.
【详解】在椭圆 中， ， ， ，
由题意可得 ，上焦点记为 ，
对于A选项，设点 ， ，
联立 ，消去 得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
，
所以， ，选项A错；对于B选项，设线段 的中点为 ，
由题意可得 ，两式作差可得 ，
因为直线 的斜率存在，则 ，所以， ，
整理可得 ，又因为 ，消去 可得 ，其中 ，
所以， ，
所以，
，选项B对；
对于C选项，当 时，直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ，
，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，
同理 ，所以， ，
因为 ，所以，当 时， ，使得 ，选项C对；
对于D选项，设线段 的中点为 ，
由B选项可知， ，即 ，即 ，由 可得 ，故点 的横坐标的取值范围是 ，
而点 到直线 的距离为 ，
由 可得 ，当且仅当点 时，
取最小值 ，选项D错.
故选：BC.
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
58．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，过点
F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且 ，点M是抛物线上
间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，
则下列说法正确的有（ ）
A．抛物线焦点F的坐标为
B．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为
C．在△FMN中，若 ， ，则t的最小值为
D．若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则【答案】BCD
【分析】对于A项，利用抛物线定义即可判定；
对于B项，设切线方程联立抛物线解方程即可；
对于C项，利用抛物线的定义结合图象可知在MN与抛物线相切时t取最小值，计算即可；
对于D项，根据抛物线的切线方程用ABM的坐标来表示HGT的坐标，计算即可.
【详解】对于A项，如图所示，过A向准线作垂线，垂足为C，则由抛物线定义可得AF=AC=3，
又F为AD中点，则F到准线的距离为1.5，所以F ，故A错误；
对于B项，由上可得 ，即 ，抛物线方程为 ，
设过N的切线方程为： ，联立可得
由相切可得 ，即切点横坐标 ，
代入抛物线得切点坐标 ，故B正确；
对于C项，如图所示过M作准线的垂线垂足为E， ，
根据正弦的单调性知 越小正弦值越小，
即MN与抛物线相切时此角最小，由上可知此时M ，
易得 ，故C正确；对于D项，设 M ，
由 得 ，则过M的切线方程为 ，
化简得： ，
同理可得，过A、B的切线方程分别为 、 ，联立可得
，
则 ，
，故D正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于压轴题.关键在于积累二级结论：过抛物线 上一
点 的切线方程为 ，计算时注意技巧可简化计算量.
59．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，右顶点
为A，点M为椭圆 上一点，点I是 的内心，延长MI交线段 于N，抛物线 （其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆 交于B，C两点，若四边形 是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的离心率是
C． 的最小值为 D． 的值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用椭圆与抛物线的对称性得到 ，从而将 代入抛物线方程得到
，进而得以判断；对于B，将 代入椭圆 的方程得到 ，由此得以判断；对于C，利
用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性
质，结合比例的性质即可判断.
【详解】对于A，因为椭圆 的左、右焦点分别为 ，右顶点为A，则 ，
， ， ，
因为抛物线 （其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆 交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得， 两点关于 轴对称，不妨设 ， ， ，因为四边形 是菱形，所以 的中点是 的中点，
所以由中点坐标公式得 ，则 ，
将 代入抛物线方程 得， ，
所以 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，由选项A得 ，再代入椭圆方程得 ，
化简得 ，则 ，故 ，所以 ，故B错误；
对于C，由选项B得 ，所以 ，则 ，
所以 ，不妨设 ，则 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，连接 和 ，如图，因为 的内心为 ，所以 为 的平分线，则有 ，
同理： ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设 的坐标，再由菱形的性质与中
点坐标公式推得 ，从而求得 的值，由此得解.
60．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知椭圆C： ， 上有三点 、 、
， 、 分别为其左、右焦点.则下列说法中正确的有（ ）.
A．若线段 、 、 的长度构成等差数列，则点 、 、 的横坐标一定构成等差数列.
B．若直线 与直线 斜率之积为 ，则直线 过坐标原点.
C．若 的重心在 轴上，则
D． 面积的最大值为
【答案】ABC
【分析】先证明两个结论，结论1为焦半径公式，利用该公式可判断AC的正误，利用同一法可判断B的正
误，结论2为均值不等式，利用该结论可求内接三角形面积的最大值，从而可判断D的正误.
【详解】结论1：若 为椭圆 上的的动点， 为其左焦点，则 .
证明：
，因为 ，故 ，故 .
结论2：若 ，则 .
证明：因为 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
同理 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
由结论2可得 ，当且仅当 时等号成立.
对于A、C，设 ，则
由结论1可得： ，
因为 ，故 ，
整理得到： ，故A正确.
因为 的重心在 轴上，故 ，
故 ，故C正确.
对于B，设 关于原点的对称点为 ，则 ，
故 （ ，否则 ，这与题设矛盾），故 ，
但 所以 ，
所以 ，而 ，故 ，
因 均在椭圆上，故 重合即直线 过坐标原点，故B正确.
我们先证明一个命题
命题：设 为椭圆 上的点，直线 与椭圆交于不同的两点 ，则 面积的最大值
为 .
证明：当直线 的斜率不存在时，设直线 ， ，
则 的面积 ，
若 ，则 ，
因为 ，，故 ，即 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故此时 .
同理可证：当 时， .
过当直线 的斜率存在，可设 ，
由 可得 ，故 ，故 ，
而 ，
又 到 的距离为 ，故 的面积为：
对于给定的 ，先考虑 的最大值，
设 ，则
，其中 ，
若 ，则 的最大值为 ，
此时
设 ，则 ，故 ，
由结论2可得：
，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ，
故 ，
若 ，则 的最大值为 ，同理可得 ，综上， 面积的最大值为 .
对于D，考虑 为椭圆上的点，直线 为直线 ，
由前述命题可得： 面积的最大值为 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：椭圆上的动点到焦点的距离可以转化为动点的某坐标与离心率、半长轴的关系来处理，
而多变量的最值问题，往往是通过降低变元的个数逐步处理.
